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- 2023-11-23 发布
文科数学答案 第 1 页，共 10 页
惠州市 2020 届高三第三次调研考试
文科数学参考答案与评分细则
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B D B A B D D C C A A
1.【解析】 B={0,2,4,6}. A B=｛0，1，2，3，4，6｝U .故答案选 C
2.【解析】
2
21 3 1 1 3 3 1 3i 2 i+ i i2 2 4 2 2 2 2 2z
（ ） ，故答案选 B
3.【解析】由韦达定理可知 1 5 5a a ， 1 5 3a a ，则 1 0a ， 5 0a ，从而 3 0a ，
且 2
3 1 5 33 3a a a a ，故答案选 D
4.【解析】 1 11 1 0 1 1
a ab a b b
或 ， 1 0 1log 0 1 0 1a
a ab b b
或 ，
所以答案选 B
5.【解析】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心， C l -2,0 ， 2 2 0k ，得 1k ，
所以答案选 A
6.【解析】 1 1 4 22 2AP mAB AC mAB AD mAB AD
，又 B P D、 、 三点共线，所以
2 1m ，得 1m ，故选 B
7.【解析】当另外两个月的通话时长都小于 530（分钟）时，中位数为 530 550 5402
（分钟），当
另外两个月的通话时长都大于 650（分钟）时，中位数为 610 650 6302
（分钟），所以 8 个月
的月通话时长的中位数大小的取值区间为 540,630 ，故选 D
8.【解析】 f x 为偶函数，则 1a ， ( ) x xf x e e + ， '( ) .x xf x e e 设切点得横坐标为 0x ，
则 0 0
0
3'( ) .2
x xf x e e 解得 0 2xe ，所以 0 ln2x 。故答案选 D
9.【解析】 f x 为奇函数，则排除 B；当 0, ( ) 0x f x ， ，排除 A； '( ) cos cos2f x x x ，
'( ) 0f x 解得 5
6x 或 0x ，对比图象可知，答案选 C
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10.【解析】C(-3,0)，D(3,0)恰好为椭圆的两个焦点，因为
, 1PM r PD PN PC 1 20 1 17PM PN PC PD r r ， 2r ，
所以答案选 C
11.【解析 1】 ( ) sin cos6 2
af x x x
= 3 1sin cos2 2
ax x
2
2
max
3 (1 )( ) 3 ( )2 2
af x ， 2a ， ( ) 3sin( )3f x x
0 , 0x ，
3 3 3x ， 3 ( ) 32 f x ，
2
2 3 3
， 1 1
6 3
所以答案选 A
【解析 2】本题也可通过分析临界值求出答案。由 3(0) 2f 可知 3( ) 2f 或 ( ) 3f 为两个临界
值，由此可解得 1= 6
，及 1= 3
，结合图象可知 1 1
6 3
，所以答案选 A
12.【解析】由题得 2'( ) 2 ( 1)f x x ax a a ，由已知得 1 2+ =2t t a ， 1 2( + ) 0f t t m 恒成立，
(2 )( 1)m f a a 恒成立。令 3 24( ) (2 ) 2 1( 1)3g a f a a a a ，
则 2'( ) 4 4 4 ( 1)g a a a a a ，当 ( ,0), '( ) 0a g a ，当 (0,1), '( ) 0;a g a
( ) ( ,0)g a 在 上单调递减，在 (0,1) 上单调递增。
min( ) (0) 1, 1, 1.g a g m m 故选答案 A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空3分，第二空2分。
13．6 14． 2
3
（或 120°） 15. 3:2（或 3
2
，或 1.5） 16． 3
8
（3 分）， 1
2
（2 分）
13.【解析】① 22,2 20;n ② 44,2 20;n ③ 66,2 20.n 故答案为 6．
14.【解析】因为 7 5,3 3a b c b ，
2 2 2
2 2 2
5 7( ) ( ) 13 3cos 52 22 ( )3
b b bb c aA bc b b
， 2
3A ．
15.【解析】设球的半径为 R ，则圆柱的底面半径为 R ，高为 2R ，
圆柱的表面积 2 2
1 2 2 2 6S R R R R ；球的表面积 2
2 4S R
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圆柱的表面积与球的表面积之比为
2
1
2
2
6 3
4 2
S R
S R
，本题正确结果： 3
2
16.【解析】由题意可得，平面区域 M 的面积为 1 8 4 162
，
当 1t 时，平面区域 N 的面积为 2 3 6 ，所以 P 6 3
16 8
；
如图，当 2 4t t 取得最大值时，即 2t 时， P 最大，
当 2t 时，平面区域 N 的面积为 2 4 8 ，所以最大值 8 1
16 2P ；故答案为 3
8
， 1
2
。
三．解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
17．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）设{ }na 的公差为 d ，则由题可知： 4
5
0
0
a
a
...............1 分
1
1
3 0
4 0
a d
a d
，即 7 3 0
7 4 0
d
d
............................2 分
解得 7 7
4 3d .................3 分
因为 d 为整数， d =2................................................4 分
1 ( 1) 7 2( 1) 2 9na a n d n n
所以数列{ }na 的通项公式为 2 9na n ........................5 分
（2）当 4n 时， 0na ；当 5n 时， 0na .........................................6 分
1 2 3 4 5 20 1 2 3 4 5 20..... ( ) ( ...... )a a a a a a a a a a a a ......7 分
5 201 4 ( ) 16( ) 4
2 2
a aa a ......................9 分
( 7 1) 4 (1 31) 16
2 2
..................10 分
=272 ................................................................11 分
所以数列 na 的前 20 项和为 272.................................................................12 分
18．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）连接 BD，设 AC BD O ，连接OE ，则点 O 是 BD 的中点．
又因为 E 是 BS 的中点，所以 SD OE∥ ，………1 分
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又因为 SD 平面 ACE ，OE 平面 ACE ，………3 分【注：每个条件 1 分】
所以 SD∥平面 ACE ．………………………………4 分
（2）因为四边形 ABCD 是菱形，且 120ABC ，
所以 1 602ABD ABC ．又因为 AB AD ，
所以三角形 ABD是正三角形．…………5 分
取 AB 的中点 F ，连接 SF ，则 DF AB ，且
2 3DF ．…………………………………6 分
又平面 ABS ⊥平面 ABCD ， DF 平面 ABCD ，平面 ABS 平面 ABCD AB ，…………7 分
所以 DF 平面 ABS ．即 DF 是四棱锥 D AES 的一条高……………………………………8 分
【解法 1】而 1 sin 2 32ASES SA SE ASE △ ． ………………………………………9 分
所以 E ADS D AESV V ………………………………………………………10 分
1 1 2 3 2 3 43 3ASES DF △ ． ………………………11 分
综上，三棱锥 E ASD 的体积为 4. ………………………………12 分
【解法 2】因为 E 是 BS 的中点，所以 1
2E ADS B ADSV V ……………………………10 分
而 B ADS D ABSV V 1 1 4 2 3 2 3 83 3 2ABSS DF △ ．……………11 分
所以，三棱锥 E ASD 的体积为 4. …………………………12 分
19．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）当10 14x 时……………………………………………………………1 分
40 10 14 =50 140y x x x …………………………………………2 分
当14 20x 时……………………………………………………………3 分
40 14 30 14 =30 140y x x ………………………………………4 分
所求函数表达式为：
30 140 14 20
50 140 10 14
x x
y
x x
．……………………5 分
【注：函数解析式分段正确的前提下，定义域错误最多扣 2 分】
（2）①由频率分布直方图得：
海鲜需求量在区间 10,12 的频率是 1 2 0.05 0.1f ；
海鲜需求量在区间 12,14 的频率是 2 2 0.1 0.2f ；…………………………6 分
文科数学答案 第 5 页，共 10 页
海鲜需求量在区间 14,16 的频率是 3 2 0.15 0.30f ；
海鲜需求量在区间 16,18 的频率是 4 2 0.12 0.24f ；
海鲜需求量在区间 18,20 的频率是 5 2 0.08 0.16f ；………………………7 分
【注：写对任意 2 个得 1 分，全部写对得 2 分】
这 50 天商店销售该海鲜日需求量的平均数为：
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5x x f x f x f x f x f ……………………………………8 分
11 0.1 13 0.2 15 0.30 17 0.24 19 0.16 …………………………9 分
15.32 （公斤）………………………………………………………………10 分
②当 14x 时， 560y ，
由此可令 30 140 620x ，得 16x …………………………………………11 分
所以估计日利润不少于 620 元的概率为 0.12 0.08 2 0.4 .…………12 分
20．（本小题满分 12 分）
【解析】（1） f x 的定义域为 0, ，
当 1a 时， 1ln 1f x x x
.…………………………………………………1 分
由 2
1 1'' 0f x x x
恒成立，知 f x 在 0, 上是单调递增函数，……2 分
又 1 ln1 1 1 0f ，所以 f x 的零点是 1x .…………………………3 分
（2） ln 1 lnx a af x x xx x
，
令 1 lnag x xx
，则 2 2
1a x ag x x x x
..………………………………………4 分
① 当 0a 时， 1 lnf x x ，
令 0f x ，得 1x e
；令 0f x ，得 10 x e
，
所以 f x 在 10, e
上单调递减，在 1 ,e
上单调递增，
所以当 0a 时， f x 存在极小值点 1
e
，符合题意.……………………………………5 分
② 当 0a 时， 0g x 恒成立，所以 g x 在 0, 上单调递增
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又 1 0g aee
， 11 1 1 0a
a a
ag e a ae e
，
由零点存在定理知， g x 在 1 , aee
上恰有一个零点 0x ，.………………………6 分
且当 00,x x 时， 0f x g x ；当 0 ,x x 时， 0f x g x ，
所以 f x 在 00, x 上单调递减，在 0 ,x 上单调递增，
所以当 0a 时， f x 在 1 , aee
存在极小值点 0x ，符合题意.…………………7 分
③ 当 0a 时，令 0g x ，得 x a .
当 0,x a 时， 0g x ；当 ,x a 时， 0g x ，
所以 min 2 lng x g a a .……………………………………………8 分
若 2 ln 0g a a ，
即当 2a e 时， 0f x g x g a 恒成立，
即当 2a e 时， f x 在 0, 上单调递增，无极值点.…………………9 分
若 2 ln 0g a a ，
即当 2 0e a 时， 1 1 ln 1 01
ag a aa
，
所以 1 0g a g a ，即 g x 在 ,a 上恰有一个零点 1x ，……10 分
当 1,x a x 时， 0f x g x ；当 1x x 时， 0f x g x
所以当 2 0e a 时， f x 存在极小值点 1x .……………………………11 分
综上可知， a 2 ,e 时，函数 f x 存在极小值点.……………………12 分
21．（本小题满分 12 分）
【解析】（1）由题意知：直线 : 02
pl x my 过定点 ( ,0)2
p ，该点为抛物线焦点。…………1 分
联立
2
2
2
px my
y px
，消去 x得： 2 22 0y pmy p …………………………………2 分
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设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，
有 1 2 2y y pm ， 2
1 2y y p ………………………………………………………3 分
2
1 2 1 2 1 2( ) 2 2 ( 1)2 2
p pAB x x x x p m y y p p m …………4 分
【注：只要学生写出 1 2=AB x x p 即可给 1 分】
20, 0p m ，当 0m 时，
min 2AB p …………………………………………5 分
162 3p ，解得 8
3p …………………………………………………………………6 分
【注：如果解答过程没有证明当 0m 时 min 2AB p ，最多可得 3 分】
（2）证明：由已知可知直线 PM、PN 的斜率存在，且互为相反数………………………7 分
设 3 3 4 4( , ), ( , )M x y N x y ，直线 PM 的方程为 ( 3) 4y k x .
联立
2 16
3
( 3) 4
y x
y k x
，消去 x 整理得： 23 16 64 48 0ky y k .………………8 分
又 4 为方程的一个根，所以 3
64 484 3
ky k
，得 3
16 12 16 43 3
ky k k
……………9 分
同理可得 4
16 43y k
…………………………………………………………………10 分
3 4 3 4
2 23 4 3 4
3 4
16 1 16 1 2
3 3 3 ( 8) 3( )16
MN
y y y yk x x y yy y
………………11 分
所以直线 MN 的斜率为定值 2
3
.……………………………………………………12 分
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22.（本小题满分 10 分）
【解析】（1）【解法 1】由 1 2cos ， 2 2cos 6
， 3 2cos 6
，…3 分
则 2 3 2cos 2cos6 6
2 3cos ………………4 分
所以 1 2 33 ……………………………………………………………5 分
【解法 2】 M 的直角坐标方程为 2 21 1x y ，如图所示，……………1 分
假设直线 OA、OB、OC 的方程为 y kx ， 2y k x ， 3y k x ， 3, 3k ，
由点到直线距离公式可知
2 1
kMF
k
在直角三角形 OMF 中，由勾股定理可知
2
2
1
1 + 12 MF
，得 1 2
2
1k
……………2 分
由直线方程可知 tank ， 2 tan + 6k
， 3 tan 6k
所以 2
tan +tan 3 +16 =
31 tan tan 6
kk
k
，得
2 2
3
1
k
k
………3 分
所以 3
tan -tan 3 16 =
31 tan tan 6
kk
k
，得
3 2
3
1
k
k
……4 分
所以 1 2 33 ……………………………………………………………5 分
（2）【解法 1】曲线 M 的普通方程为： 2 2 2 0x y x ，……………………………………6 分
将直线 BC 的参数方程代入上述方程，整理得 2 3 0t t ，解得
1 20, 3t t ；………7 分
平面直角坐标为 1 3, , 2,02 2B C
………………………………………………………8 分
则 2 31, 2, 6
；又得
1 3 . ……………………………………9 分
即四边形面积为
1 2 1 3
1 1 3 3sin sin2 6 2 6 4OBACS 为所求. ………10 分
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【解法 2】由 BC 的参数方程化为普通方程得： .23 yx ………………………5 分
联立
02
23
22 xyx
yx 解得
0
2
1
1
y
x 或
2
3
2
1
2
2
y
x
，即 )2
3,2
1(B , )0,2(C …………6 分
,6,12
点 A 的极坐标为 ），（
63 ，化为直角坐标为 ），（
2
3
2
3 ………7 分
直线 OB 的方程为 xy 3 ，点 A 到直线 OB 的距离为 .2
3
)3(1
2
3
2
33
2
d ………8 分
.4
33
2
322
1
2
312
1 OACOBAOBAC SSS …………………………10 分
23．（本小题满分 10 分）
【解析】（1）当 4x 时，原不等式等价于 2 4 3x x x ，解得 2x ，所以 4x ………1 分
当 2x 时，原不等式等价于 2 4 3x x x ，解得 2
5x ，所以此时不等式无解…2 分
当 2 4x 时，原不等式等价于 2 4 3x x x ，解得 2x ，所以 2 4x ……3 分
综上所述，不等式解集为 2, ．………………………………………………………5 分
（2）由 1f x k x ，得 2 4 1x x k x ，
当 1x 时， 6 0 恒成立，所以 Rk ； …………………………………………6 分
当 1x 时， 2 4 1 3 1 3 3 31 11 1 1 1
x x x xk x x x x
．……7 分
因为 3 3 3 31 1 1 1 21 1 1 1x x x x
……………………8 分
当且仅当 3 31 1 01 1x x
即 4x 或 2x 时，等号成立， …………9 分
所以， 2k ；
综上， k 的取值范围是 ,2 ． …………………………………………………10 分
【注】①如果本题两个小问通过图象法解答，分别正确作出图象（如下图）各 1 分，正确写出结果各
1 分，中间过程可酌情给 1 分，但每小问给分最多不超过 3 分。
②如果作图的坐标系没有标记箭头或 x O y、 、 ，扣过程分 1 分。
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