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- 2023-11-23 发布
华中师大一附中2018—2019学年度下学期期中检测
高二年级文科数学试题
时限：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．命题“，”的否定为
A．“， ” B．“，”
C．“，” D．“，”
2. 在复平面内，复数(为虚数单位)对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．“”是“函数有零点”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数的定义域为开区间(a, b)，其导函数在(a, b)内的图象如图所示，则函数在开区间(a, b)内极大值点的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．i是虚数单位，
A．i B． C．1 D．
6．已知命题p：方程有实数根，命题，，则，，
，这四个命题中，真命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数，为的导函数，则
A．1 B． C．0 D．
8．已知函数的图像在点处的切线的斜率为3，设数列的前n项和为Sn，则S2019的值为
A． B． C． D．
9．设点P是曲线上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是
A． B． C． D．
10．下列命题正确的是
（1）命题“，”的否定是“，”；
（2）l为直线，，为两个不同的平面，若，，则；
（3）给定命题p，q，若“为真命题”，则是假命题；
（4）“”是“”的充分不必要条件．
A．（1）（4） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（3）
11．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有
A． B． C． D．
12．已知直线，若与直线和曲线分别交于A，B两点，则的最小值为
A．1 B．2 C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．函数在[2, 6]内的平均变化率为 ．
14．复数，，则的最大值是__________．
15．古埃及发现如下有趣等式：，，，，…，
按此规律，______
16．已知函数与x轴有唯一公共点，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）已知复数．
（1）求复数z的模；
（2）若复数z是方程的一个根，求实数m，n的值．
18．（本小题12分）已知命题函数在上单调递增；命题关于x
的不等式的解集为R．若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．
19．（本小题12分）已知函数，若在处取极大值，且极大值为7，在处取极小值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函数在[0, 4]上的最小值．
20．（本小题12分）在即将进入休渔期时，某小微企业决定囤积一些冰鲜产品，销售所囤积产品的净利润万元与投入x万元之间近似满足函数关系：，若投入2万元，可得到净利润5.2万元．
（1）试求实数a的值，并求该小微企业投入多少万元时，获得的净利润最大；
（2）请判断该小微企业是否会亏本，若亏本，求出投入资金的范围；若不亏本，请说明理由．
（参考数据：，，此题运算过程及结果都用此参考数据计算．）
21．（本小题12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在上有零点，求实数a的取值范围．
22．（本小题12分）设函数，其中，，且．
（1）当时，函数在处的切线与直线平行，试求m的值；
（2）当时，令，若函数有两个极值点x1，x2，且，求 的取值范围；
（3）当时，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．
华中师大一附中2018—2019学年度第二学期期中检测
高二年级数学（文科）试题参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
A
B
D
B
D
C
B
D
C
B
二、填空题
13.24 14. 15． 16.
三、解答题
17．解：（1），∴…………………………………………………4分
（2）∵复数是方程的一个根
∴
由复数相等的定义，得：
解得：………………………………………………………………………………………10分
18．解：若命题为真，因为函数的对称轴为，则
若命题为真，当时原不等式为，显然不成立
当时，则有………………………………………6分
由题意知，命题、一真一假
故或
解得或
……………………………………………………………………………………12分
19．解：（1）∴f（x）＝x3+ax2+bx+c
∵f′（x）＝3x2+2ax+b
而x＝－1和x＝3是极值点
所以，解之得：a＝－3，b＝－9
又f（－1）＝－1+a－b+c＝－1－3+9+c＝7，故得c＝2
∴a＝－3，b＝－9，c＝2………………………………………………………………………………………6分
（2）由（1）可知f（x）＝x3－3x2－9x+2
∴f′（x）＝3x2－6x－9＝3（x－3）（x+1）
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜－1
令f′（x）＜0，解得：－1＜x＜3
∴函数f（x）在[0，3]递减，在[3,4]递增，
∴f（x）最小值＝f（3）＝－25……………………………………………………………………………12分
20．解：(1)由题意可知，当x＝2时，f(2)＝5.2，即有aln2－×22＋×2＝5.2
解得a≈－4……………………………………………………………………………………………………1分
则f(x)＝
当2≤x≤15时，f′(x)＝－－x＋＝－
当2＜x＜8时，f′(x)＞0，f(x)单调递增
当8＜x＜15时，f′(x)＜0，f(x)单调递减
故当2≤x≤15时，f(x)max＝f(8)＝－4ln8－16＋36≈11.6
当0＜x＜2时，f′(x)＝4x－2ln2≈4x－1.4，令f′(x)＝0，得x＝0.35
当x∈(0，0.35)时，f′(x)＜0，当x∈(0.35，2)时，f′(x)＞0
所以易知f(x)＜2×4－(2ln2)×2≈5.2
故该小微企业投入8万元时，获得的净利润最大……………………………………………………………7分
(2)当0＜x＜2时，2x2－(2ln2)x＜0，解得0＜x＜ln2，
即当0＜x＜ln2时，该企业亏本；
当2≤x≤15时，f(2)≈5.2，f(15)＝－4ln15－×152＋×15≈0.45＞0，
则f(x)min＝f(15)≈0.45＞0.
综上可得，当0＜x＜0.7，即0＜x＜0.7时，该企业亏本………………………………………………12分
21．解：（1）因为，所以
①当时，因为，所以在上单调递增
②当时，令，解得或
令，解得
则在，上单调递增
在上单调递减…………………………………………………………………………………4分
（2）因为，所以
在上有零点，等价于关于的方程在上有解
即在上有解
因为，所以
令，则
令，，解得；令，，解得
则上单调递减，在上单调递增
因为，
所以
则，
故的取值范围为………………………………………………………………………12分
22．解：（1）依题意得，，
∴
由题意知，
∴m=1……………………………………………………………………………………………………………2分
（2）由题意知：
则
令，得
故方程有两个不相等的正数根，（）
则解得
由方程得，且
由，得
，
，即函数是上的增函，
所以，故的取值范围是………………………………………………8分
（3）依题意得，，
∴
令，得，∴，∵
∴函数在上单调递减，在上单调递增
∴
令（），则
∴
∴，即
∵，∴
又∵
∴
根据零点存在性定理知函数在和各有一个零点……………………………………12分