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- 2023-11-22 发布
江苏省沭阳县2018～2019学年度第二学期期中调研测试
高二数学试卷
（考试时间120分钟，试卷满分160分)
注意事项:
1．答题前，请将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方．
2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔书写，字迹工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1．已知集合，若，则实数a的值为 ▲ ．
2．已知复数满足（为虚数单位），则的模为 ▲ ．
3．已知幂函数的图象过点，则实数的值为 ▲ ．
4．已知，若，则实数的取值范围为 ▲ ．
5．已知函数那么 ▲ ．
6．为虚数单位， ▲ ．
7．若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为
▲ ．
8．已知，则 ▲ ．
9．设，集合，则的值为 ▲ ．
10．有下面四个不等式：① ；②；③；
④．其中恒成立的有 ▲ 个．
11．若函数是上的奇函数，当时，，则 ▲ ．
12．已知的三边长为，内切圆半径为，则的面积．类比这一结论有：若三棱锥的四个面的面积分别为，内切球半径为，则三棱锥的体积 ▲ ．
13．已知函数，若函数有三个零点，则实数 的取值范围是 ▲ ．
14．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，…，
如图所示，在宝塔形数表中位于第行、第列的数
记为，比如，，．
若，则 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，15~17题每题14分，18~20题每题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
设全集，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
16．（本小题满分14分）
已知复数，其中是虚数单位，且为纯虚数．
（1）求实数的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
17．（本小题满分14分）
（1）已知，求证：．
（2）已知成等差数列，且公差，求证：不可能成等差数列．
18．（本小题满分16分）
据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015年，2016年，2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数(其中为常数)或函数 (其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
19．（本小题满分16分）
函数．
（1）求函数的定义域；
（2）若，函数，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知函数，．
（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
高二数学试题
（考试时间120分钟，试卷满分160分)
注意事项:
1．答题前，请将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方．
2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔书写，字迹工整，笔迹清楚．
3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
1. 已知集合，若，则实数a的值为 ▲ ．
答案： 0
2.已知复数满足（为虚数单位），则的模为 ▲ ．
答案：
3．已知幂函数的图象过点，则实数的值为 ▲ ．
答案：
4．已知，若，则实数的取值范围为 ▲ ．
答案：
5. 已知函数那么 ▲ ．
答案：25
6．为虚数单位， ▲ ．
答案：0
7．若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围为
▲ ．
答案：
8．已知，则 ▲ ．
答案：47
9.设，集合，则的值为 ▲ ．
答案： 2
10. 有下面四个不等式：①；②；③；
④．其中恒成立的有 ▲ 个．
答案：2
11.若函数是上的奇函数，且当时，，则 ▲ .
答案：
12．已知的三边长为，内切圆半径为，则的面积.类比这一结论有：若三棱锥的四个面的面积分别为，内切球半径为，则三棱锥的体积 ▲ .
答案：
13．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 ▲ .
答案：
14. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，…，
如图所示，在宝塔形数表中位于第行、第列的数
记为，比如， ， .
若，则 ▲ ．
答案：65
二、解答题：本大题共6小题，15~17题每题14分，18~20题每题16分，共计90分．请在
答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
设全集，集合．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）当时，. …………………2分
由 …………………4分
所以. …………………7分
（2）由得. …………………10分
所以. …………………14分
16．（本小题满分14分）
已知复数，其中是虚数单位，且为纯虚数．
（1）求实数的值；
（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
解：(1) ．………3分
因为为纯虚数，所以 ，所以． ………………7分
(2) ， ……………………9分
由已知， ……………………11分
解得，
所以实数的取值范围为. ……………………14分
17.(本小题满分14分）
（1）已知，求证：．
（2）已知成等差数列，且公差，求证：不可能成等差数列．
（1）证明：
…………………4分
因为，所以
从而，即．所以． …………………7分
（2）证明：假设成等差数列，则． …………………8分
又成等差数列，所以．
则，即． …………………10分
故，即有：，所以．
从而．这与公差矛盾． …………………13分
从而假设不成立，所以不可能成等差数列． …………………14分
18. （本小题满分16分）
据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015年，2016年，2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模拟每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数(其中为常数)或函数 (其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？
解： 若以作模拟函数，
则依题意得：⇒，∴. …………………5分
若以作模拟函数，
则⇒，∴. …………………10分
利用，对2018年CO2浓度作估算，
则其数值分别为：单位，单位，
∵||>||， …………………14分
故作模拟函数与2018年的实际数据较为接近，用作模拟函数较好．
…………………16分
19．（本小题满分16分）
函数．
（1）求函数的定义域；
（2）若，函数，是否存在实数使得的最小值为，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意：，∴，则， ……………2分
所以函数的定义域为． ……………4分
（2）
……………7分
令, 因为，所以．
则． ……………9分
对称轴为，
①若时，在上为增函数，此时当时，最小，
即 ，解得成立； ……………11分
②若时，在上为减函数，此时当时，最小，
即 ，解得不合，舍去； ……………13分
③若时， ，即此时不满足条件；
……………15分
综上，存在实数使得的最小值为． ……………16分
20．（本小题满分16分）
已知函数，．
（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；
（3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．
解：（1）函数为奇函数． ……………1分
当时，，，
∴ ，
∴ 函数为奇函数； ……………4分
（2），
当时，的对称轴为：；
当时，的对称轴为：；
∴当时，在上是增函数，
即时，函数在上是增函数； ………………8分
（3）方程的解即为方程的解．
①当时，函数在上是增函数，
∴关于的方程不可能有三个不相等的实数根； ………………9分
②当时，即，
∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，
∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，即，
∵，∴．
设，
∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，
∴，又可证在上单调增．
∴，∴； ………………………12分
③当时，即，
∴在上单调增，在上单调减，在上单调增，
∴当时，关于的方程有三个不相等的实数根；
即，∵∴，
设
∵存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，
∴，又可证在上单调减，∴
∴； …………………………15分
综上：． …………………………16分