2020年中考数学专题复习：因式分解基本方法 7页

1 初中因式分解的基本方法 因式分解（factorization） 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中， 是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与 技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的 思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公 式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十 字相乘法，轮换对称法等． ⑴提公因式法 ①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～. ②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面， 将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母 取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的， 一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的. ⑵运用公式法 ① 平方差公式：. a2－b2＝(a＋b)(a－b) ② 完全平方公式： a2±2ab＋b2＝(a±b)2 ※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式) 的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的 2 倍. ③立方和公式：a3+b3＝ (a+b)(a2-ab+b2). 立方差公式：a3- b3＝ (a-b)( a2+ab+ b2). ③ 完全立方公式： a3±3 a2b＋3a b2±b3＝(a±b)3 ④ an-bn=(a-b)[a(n-1)+a(n-2)b+……+b(n-2)a+b(n-1)] am + bm =(a+b)[a(m-1)-a(m-2)b+……-b(m-2)a+b(m-1)] (m 为奇数) ⑶分组分解法 分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法. 分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式. 2 ⑷拆项、补项法 拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式 适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相 等的原则进行变形. 例： 分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b) ⑸十字相乘法 ① x2＋（p q）x＋pq 型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是两个数的积；一次项系数是常 数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是 1 的二次三项式因式分解： x2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q） 这个很实用,但用起来不容易. 在无法用以上的方法进行分解时,可以用下十字相乘法. 例： x2+5x+6 首先观察,有二次项,一次项和常数项,可以采用十字相乘法. 一次项系数为 1.所以可以写成 1*1 常数项为 6.可以写成 1*6, 2*3, -1*-6, -2*-3 (小数不提倡) 然后这样排列 1 - 2 1 - 3 (后面一列的位置可以调换,只要这两个数的乘积为常数项即可) 然后对角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘积相加.2+3=5,与一次项系数相同(有可能不相等,此 时应另做尝试),所以可一写为(x+2)(x+3) (此时横着来就行了) 我再写几个式子,楼主再自己琢磨下吧. x2-x-2=(x-2)(x+1) 3 2 x2+5x-12=(2x-3)(x+4) ② mx2 +px+q 型的式子的因式分解 对于 mx2 +px+q 形式的多项式，如果 a×b=m, c×d=q 且 ad+bc=p，则多项式可因式分 解为(ax+ c)(bx+ d) 例： 分解因式 7x2 -19x-6 分析： 1 - －3 7 - 2 1×2＋（－3×7）= －19 解：7 x2 -19x-6=(x-3)（7x+2） ⑸ 双十字相乘法 难度较之前的方法要提升许多。 用来分解形如 2ax ＋bxy＋c 2y ＋dx＋ey＋f 的二次六项式 在草稿纸上，将 a 分解成 mn 乘积作为一列，c 分解成 pq 乘积作为第二列，f 分解 成 jk 乘积作为第三列，如果 mq＋np＝b，pk＋qj＝e，mk＋nj＝d，即第 1,2 列和 第 2,3 列都满足十字相乘规则。 则原式＝（mx＋py＋j）（nx＋qy＋k） 要诀：把缺少的一项当作系数为 0，0 乘任何数得 0， 例： a b＋ 2b ＋ －b－2 分解因式 解：原式＝0×1× 2a ＋ b＋ ＋ －b－2 ＝（0× ＋b＋1）（ ＋b－2） ＝（b＋1）（ ＋b－2） (7) 应用因式定理： 如果 f（a）=0，则 f（x）必含有因式（x-a）。如 f（x）= x2+5x+6，f（-2）=0，则可 确定（x+2）是 x2+5x+6 的一个因式。 经典例题： 1. 分解因式 (1＋y)2－2 x2 (1＋y2)＋x4(1－y)2 4 解：原式=(1＋y)2＋2(1＋y) x2 (1－y)＋ x4 (1－y)2－2(1＋y) x2 (1－y)－2 x2 (1＋y2) =[(1+y)+ x2 (1－y)]2－2(1+y) x2 (1－y) －2 x2 (1+ y2) =[(1+y)+ x2 (1－y)]2－(2x)2 =[(1+y)+ x2 (1－y)+2x] [(1+y)+ x2 (1－y) －2x] =( x2－x2y+2x+y+1) ( x2－ x2y－2x+y+1) =[(x+1)2－y(x2－1)] [(x-1)2－y(x2－1)] =(x+1) (x+1－xy+y) (x－1) (x－1－xy－y) 2.证明：对于任何数 x, y，下式的值都不会为 33 x5＋3x4y－5x3y2－15x2y3＋4xy4＋12y5 解：原式=( x5+3x4y)－( 5x3 y2+15x2y3)+(4xy4+12y5) = x4 (x+3y)－5 x2 y2 (x+3y)+4 y4 (x+3y) =(x+3y)( x4－5 x2 y2+4 y4) =(x+3y)( x2－4 y2)( x2－ y2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y) 当 y=0 时，原式= x5 不等于 33；当 y 不等于 0 时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y 互不相同， 而 33 不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立 (8)、 换元法 整体代入，免去繁琐的麻烦，亦是建立的之前的基础上 例： 2)( yx  -2(x+y)+1 分解因式 考虑到 x+y 是以整体出现，展开是十分繁琐的，用 a 代替 x+y 那么原式= 122  aa = 2)1( a 回代 原式= 2)1(  yx (9)、求根法 令多项式 f(x)=0,求出其根为 x1 , x2 , x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为 f(x)=(x- x1 )(x- x2 )(x- x3 )……(x- xn) 例 8、分解因式 2x4 +7 x3 -2 x2 -13x+6 5 解：令 f(x)= 2x4 +7 x3 -2 x2 -13x+6=0 通过综合除法可知，f(x)=0 根为 1，-3，-2，1 则 2x4 +7 x3 -2 x2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1) (10)、 图象法 令 y=f(x)，做出函数 y=f(x)的图象，找到函数图象与 X 轴的交点 x1 , x2 , x3 ,……xn ，则 多项式可因式分解为 f(x)= (x- x1 )(x- x2 )(x- x3 )……(x- xn) 例：因式分解 x3 +2 x2 -5x-6 解：令 y= x3 +2 x2 -5x-6 作出其图象，见右图，与 x 轴交点为-3，-1，2 则 x3 +2 x2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2) (11)、 主元法 先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。 （备注：这种方法要难一些，多练即可 即把一个字母作为主要的未知数，另一个作为常数） 例：分解因式 a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b) 分析：此题可选定 a 为主元，将其按次数从高到低排列 解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b) = a2 (b-c)-a(b2 - c2 )+( b2 c- c2 b) =(b-c) [a -a(b+c)+bc] =(b-c)(a-b)(a-c) (12)、 利用特殊值法 将 2 或 10 代入 x，求出数 P，将数 P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后 的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式，将 2 或 10 还原成 x，即得因式分解式。 例 11、分解因式 x3 +9x2 +23x+15 解：令 x=2，则 x3 +9x2 +23x+15 =8+36+46+15=105 将 105 分解成 3 个质因数的积，即 105=3×5×7 注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、5、7 分别为 x+1，x+3，x+5，在 x=2 时的值 则 x3 +9x2 +23x+15 =（x+1）（ x+3）（ x+5） (13)、待定系数法 6 首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多 项式因式分解。 将式子看成方程，将方程的解代入 这时就要用到(1)中提到的知识点了 当一个方程有一个解 x=a 时，该式分解后必有一个(x-a)因式 例： 2x + x- 2 该题可以用十字相乘来做，这里介绍一种待定系数法 我们可以把它当方程做， +x-2=0 一眼看出，该方程有一根为 x=1 那么必有一因式为(x-1) 结合多项式展开原理，另一因式的常数必为 2（因为乘-1 要为-2） 一次项系数必为 1（因为与 1 相乘要为 1） 所以另一因式为（x+2） 原式分解为： + x- 2 =(x-1)(x+2) (14) 、 列竖式法 原理和小学的除法差不多 要建立在待定系数法的方程法上 不足的项要用 0 补 除的时候，一定要让第一项抵消 例：3 3x +5 2x -2 分解因式 提示：x=-1 可以使该式=0，有因式（x+1） 223 0.......................... 22............... 22............... 22......... 02......... 33 20531 2 2 2 23 23        xx x x xx xx xx xxxx 解 原式=（x+1)(3 +2x-2) (15) 、 解方程法 此方法是对 cbxax 2 分解的万能方法，但在学过解方程后才会使用 设 02  cbxax 7 解得方程得 21, xxxx  ∴ ))(( 21 2 xxxxacbxax  例： 2x -x-1 分解因式 设 012  xx 解得方程得 2 51,2 51 21  xx ∴ )2 51)(2 51(12  xxxx ※ 多项式因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ③ 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 考虑到每种方法只有一个例题，下面提供一些题目，供大家练习。 （1） 22 )()( babab  （2） 222 )(4)( axaxxa  （3） 3222223 963 cabcbacba  （4）xy＋6－2x－3y （5） 22 )3(4)3)(3(4)3( babababa  （6）12 2x －29x＋15 （7）(x＋2)(x－3)＋(x＋2)(x＋4) （8）x(y＋2)－x－y－1 （9）4 ＋4xy＋ 2y －4x－2y－3 （10） 21120132 234  xxxx （11） 33552272 22  yxyxyx （12） 22 384 nmnm  （13） 1544 2  nn （ 14 ） +2x-8 （ 15 ） +3x-10 （ 16） +x-6 （17）2 +5x-3 （18） +4x-2 （19） -2x-3 （20）5ax+5bx+3ay+3by （21） 3x - +x-1 （22） baba 24183218 22  希望同学们能掌握因式分解，把因式分解看成一种乐趣~