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- 2023-11-21 发布
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第三章 不等式
一、选择题.
1. 若 a∈R，则下列不等式恒成立的是( )．
A. a2 + 1＞a B.＜1 C. a2 + 9＞6a D. lg(a2 + 1)＞lg|2a|
2. 下列函数中，最小值为 2 是( )．
A. y =，x∈R，且 x≠0 B. y = lgx +，1＜x＜10
C. y = 3x + 3-x，x∈R D. y = sin x +，
3. 不等式组表示的平面区域的面积等于( )．
A. 28 B. 16 C. D. 121
4. 不等式 lgx2＜lg2x 的解集是( )．
A. B. (100，＋∞)
C. ∪(100，＋∞) D. (0，1)∪(100，＋∞)
5. 不等式(x4 - 4)-(x2 - 2)≥0 的解集是( )．
A. x≥或 x≤- B. -≤x≤ C. x＜-或 x＞ D. -＜x＜
6. 若 x，y∈R，且 x + y = 5，则 3x + 3y 的最小值是( )．
A. 10 B. C. D.
7. 若 x＞0，y＞0，且 ，则 xy 有( )．
A. 最大值 64 B. 最小值 C. 最小值 D. 最小值 64
8. 若，则目标函数 z = 2x + y 的取值范围是( )．
A. [0，6] B. [2，4] C. [3，6] D. [0，5]
9. 若不等式 ax2 + bx + c＞0 的解是 0＜α＜x＜β，则不等式 cx2 - bx + a＞0 的解为( )．
A. ＜x＜ B. -＜x＜-
C. -＜x＜- D. ＜x＜
10. 若 a＞0，b＞0 ，且 ，则的最小值是( )．
A. 9 B. 8 C. D. 6
二、填空题.
1. 函数 的定义域是 ．
2. 若 x，y 满足 ，则的最大值为_____ __，最小值为____ __．
3. 函数 的最大值为 ．
4. 若直角三角形斜边长是 1，则其内切圆半径的最大值是 ．
5. 若集合 A = {(x，y)| |x| + |y|≤1}，B = {(x，y)|(y - x)(y + x)≤0}，M = A∩B，则 M 的面积为___________．
6. 若不等式 2x - 1＞m(x2 - 1)对满足 -2≤m≤2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围是 ．
三、解答题．
1. 若奇函数 f(x)在其定义域(-2，2)上是减函数，且 f(1 - a)+ f(1 - a2)＜0，求实数 a 的取值范围．
2. 已知 a＞b＞0，求的最小值．
(选)3. 设实数 x，y 满足不等式组 ．
（1）作出点(x，y)所在的平面区域；
（2）设 a＞-1，在（1）所求的区域内，求f(x，y)= y – ax 的最大值和最小值．
4. 某工厂拟建一座平面图形为矩形，且面积为 200 m2 的三级污水处理池（平面图如右）. 如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元，中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元，池底建造单价为每平方米 80 元，池壁的厚度忽略不计. 试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价．
参考答案
一、选择题．
1. A
【解析】A：a2 - a + 1 = a2 - a +=+＞0. a2 + 1＞a 恒成立．
B：当 a = 0 时，左 = 右．
C：当 a = 3 时，左 = 右．
D：当 a = ±1 时，左 = 右．
2. C
【解析】A：y没有最小值．
B：∵ 1＜x＜10，
∴ 0＜lg x＜1．
∴ y≥2．
lg x=1，即x =10时，ymin = 2．
此时不符合1＜x＜10．
C：∵ 3x＞0，
∴ y = 3x +≥2．
x = 0时，ymin = 2．
D：∵ 0＜x＜，
∴ sin x＞0．
∴ y≥2．
当 sin x =时，此时 sin x = 1，x =，不符合 0＜x＜．
3. B
【解析】由不等式组，画出符合条件的平面区域（下图阴影部分）.
解两两直线方程组成的方程组，可得 A(3，5)，B(3，-3)， C(-1，1)．
∴ S阴 =· |AB| · |xA - xc| = ×8×4 = 16．
4. D
【解析】∵
∴ x＞0．∵ lg x2＜lg2x，∴ lg2x - 2lg x＞0．∴ lg x＞2 ，或 lg x＜0，∴ x＞100 ，或 0＜x＜1．
5. A
【解析】∵（x4 - 4）-（x2 - 2）≥ 0，∴ x4 - x2 - 2≥0，∴（x2 - 2）（x2 + 1）≥0.∴ x2≥2．
∴ x≥，或 x≤-．
6. D
【解析】 3x + 3y≥2= 2，
∴ 3x + 3y≥2×9×= 18，当 x = y = 时，等号成立．
7. D
【解析】 ≥2= 8，当，即 时，8取最大值，即 xy 取最小值 64．
8. A
【解析】 据不等式组画出可行域．
易知 A(-1，2)，B(2，2)．
将 y = -2x 进行平移，当直线过 A 点时，zmin = 0，
当直线过 B 点时，zmax = 6．
9. C
【解析】由题知， 且 a＜0.
∴ b = -a(a + b )，
c = a(ab )．
∴ 所求不等式可代为 a(ab )x2 + a(a + b )x + a＞0．
∴(ab )x2 +(a + b )x + 1＜0．
∴(ax + 1)(bx + 1)＜0．
∵ 0＜a＜b，
∴ -＜-．
∴ -＜x＜-．
10. A
【解析】 =+ 1 =+ 1 =+1≥+ 1 = 9．∴ 当 a = b=时，原式取最小值 9．
二、填空题．
1. （-8，8）．
【解析】∵ 64 - x2＞0 ∴ x2＜64，-8＜x＜8，即(-8，8)．
2. 2，0.
【解析】 据不等式组画出可行域．
由图可知，，0．
3. ．
【解析】设 x = cos q，q∈[0，π]．
∴ y = cos q sin q
=sin 2q．
∵ q∈[0，π]，∴ 2q∈[0，2π]，
∴ ymax =，此时 q =，x = cos=．
4. ．
【解析】
如图，r ==≤==. 当且仅当 a = b = 时， rmax =．
5. 1．
【解析】如图，M为阴影部分. M的面积为= 1．
6. ＜x＜．
【解析】令 f(m)= m(x2 - 1)-(2x - 1)(x≠±1)，把它看作关于 m 的一次函数．
由于 -2≤m≤2 时，f(m)＜0 恒成立，
解得 1＜x＜，或＜x＜1，又x = 1 时，亦符合题意．
∴ ＜x＜．
三、解答题．
1. 由f(1 - a)+ f(1 - a2)＜0，得 f(1 - a)＜- f(1 - a2). 又因为函数f（x）为奇函数，所以- f(1 - a2) = f(a2 - 1)．
∴ f(1 - a)＜ f(a2 - 1). 又∵ 函数 f(x) 在其定义域(-2，2)上是减函数，
∴ a∈（-1，1）．
2. 由 a＞b＞0 知，a - b＞0，
∴ b（a - b）≤．
∴ a2 +≥a2 +≥2= 16．
当且仅当 a2 =，b = a - b，
即当 a = 2，b =时，a2 +取得最小值 16．
3. （1）（-3，7）
【解析】
（2） 最大值为7+3a，最小值为
4. 【解】设污水池总造价为 y 元，污水池长为 x m. 则宽为m，水池外圈周壁长2x + 2 · （m），中间隔墙长2 · （m），池底面积200（m2）．
∴ y = 400+ 248 · · 2 + 80×200 = 800+ 16 000
≥1 600+ 16 000 = 44 800．
当且仅当 x =，即 x = 18，=时，ymin = 44 800．
答：当污水池长为 18 m，宽为m 时，总造价最低，最低为 44 800元．
