2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练14　导数与函数的单调性 7页

课时分层训练(十四)　导数与函数的单调性 (对应学生用书第 287 页) A 组　基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．函数 f(x)＝ex－x 的单调递增区间是(　　) A．(－∞，1]　　　　　 B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．[0，＋∞) D　[∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，令 f′(x)≥0，得 ex－1≥0，即 x≥0， 故 f(x)的单调递增区间是[0，＋∞)．] 2．已知函数 f(x)＝1 2x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在 R 上单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[f′(x)＝3 2x2＋a，当 a≥0 时，f′(x)≥0 恒成立，故“a＞0”是“f(x)在 R 上单调递增”的充分不必要条件．] 3．若幂函数 f(x)的图象过点( 2 2 ，1 2)，则函数 g(x)＝exf(x)的单调递减区间为 (　　) 【导学号：97190078】 A．(－∞，0) B．(－∞，－2) C．(－2，－1) D．(－2,0) D　[设幂函数 f(x)＝xα，因为图象过点( 2 2 ，1 2)，所以1 2 ＝( 2 2 )α ，α＝2，所 以 f(x)＝x2，故 g(x)＝exx2，令 g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)＜0，得－2＜x＜0， 故函数 g(x)的单调递减区间为(－2,0)．] 4．已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 y＝f′(x)的图 象如图 2­11­2 所示，则该函数的图象是(　　) 图 2­11­2 B　[由 y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)在[－1,1]上为增函数，且在区间[－1,0)上 增长速度越来越快，而在区间(0,1]上增长速度越来越慢．] 5．(2017·安徽二模)已知 f(x)＝ln x x ，则(　　) A．f(2)＞f(e)＞f(3) B．f(3)＞f(e)＞f(2) C．f(3)＞f(2)＞f(e) D．f(e)＞f(3)＞f(2) D　[f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝1－ln x x2 ，令 f′(x)＝0，得 x＝e. ∴当 x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当 x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0， f(x)单调递减，故 x＝e 时，f(x)max＝f(e)＝1 e ，而 f(2)＝ln 2 2 ＝ln 8 6 ，f(3)＝ln 3 3 ＝ln 9 6 ， ∴f(e)＞f(3)＞f(2)，故选 D.] 二、填空题 6．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间为________． (2，＋∞)　[函数 f(x)＝(x－3)ex的导数为 f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝ (x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当 f′(x)＞0 时，函数 f(x)单调递增， 此时由不等式 f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得 x＞2.] 7．已知函数 f(x)＝ax＋ln x，则当 a＜0 时，f(x)的单调递增区间是________， 单调递减区间是________． (0，－1 a)　(－1 a ，＋∞)　[由已知得 f(x)的定义域为(0，＋∞)；当 a＜0 时， 因为 f′(x)＝a＋ 1 x ＝ a(x＋1 a) x ，所以当 x≥－1 a 时，f′(x)≤0，当 0＜x＜－ 1 a 时， f′(x)＞0，所以 f(x)的单调递增区间为(0，－1 a)，单调递减区间为(－1 a ，＋∞).] 8．若函数 f(x)＝－1 3x3＋1 2x2＋2ax 在[2 3 ，＋∞)上存在单调递增区间，则 a 的 取值范围是________. 【导学号：97190079】 (－1 9 ，＋∞)　[对 f(x)求导，得 f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－(x－1 2) 2 ＋1 4 ＋2A． 当 x∈[2 3 ，＋∞)时，f′(x)的最大值为 f′(2 3 )＝2 9 ＋2A． 令2 9 ＋2a＞0，解得 a＞－1 9 ， 所以 a 的取值范围是(－1 9 ，＋∞).] 三、解答题 9．已知函数 f(x)＝x 4 ＋a x －ln x－3 2 ，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线垂直于直线 y＝1 2x. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间． [解]　(1)对 f(x)求导得 f′(x)＝1 4 －a x2 －1 x ， 由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝1 2x，得 f′(1)＝－3 4 －a＝－2，解 得 a＝5 4. (2)由(1)知 f(x)＝x 4 ＋ 5 4x －ln x－3 2 ，则 f′(x)＝x2－4x－5 4x2 ，令 f′(x)＝0，解得 x ＝－1 或 x＝5. 因 x＝－1 不在 f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当 x∈(0,5)时，f′(x)＜0，故 f(x)在(0,5)内为减函数；当 x∈(5，＋∞)时， f′(x)＞0，故 f(x)在(5，＋∞)内为增函数． 所以 f(x)的单调减区间为(0,5)，单调增区间为(5，＋∞)． 10．(2017·河南新乡第一次调研)已知函数 f(x)＝ex－x2＋2ax. (1)若 a＝1，求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若 f(x)在 R 上单调递增，求实数 a 的取值范围． [解]　(1)∵f′(x)＝ex－2x＋2，∴f′(1)＝e， 又 f(1)＝e＋1， ∴所求切线方程为 y－(e＋1)＝e(x－1)，即 ex－y＋1＝0. (2)f′(x)＝ex－2x＋2a， ∵f(x)在 R 上单调递增， ∴f′(x)≥0 在 R 上恒成立， ∴a≥x－ex 2 在 R 上恒成立， 令 g(x)＝x－ex 2 ， 则 g′(x)＝1－ex 2 ， 令 g′(x)＝0，则 x＝ln 2， 在(－∞，ln 2)上，g′(x)＞0；在(ln 2，＋∞)上，g′(x)＜0， ∴g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减， ∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1， ∴实数 a 的取值范围为[ln 2－1，＋∞)． B 组　能力提升 (建议用时：15 分钟) 11．函数 f(x)在定义域 R 内可导，若 f(x)＝f(2－x)，且当 x∈(－∞，1)时，(x －1)f′(x)＜0，设 a＝f(0)，b＝f(1 2 )，c＝f(3)，则(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a C　[依题意得，当 x＜1 时，f′(x)＞0，f(x)为增函数； 又 f(3)＝f(－1)，且－1＜0＜1 2 ＜1， 因此有 f(－1)＜f(0)＜f(1 2 )， 即有 f(3)＜f(0)＜f(1 2 )，c＜a＜b.] 12．(2017·安徽江淮十校第三次联考)设函数 f(x)＝1 2x2－9ln x 在区间[a－1，a ＋1]上单调递减，则实数 a 的取值范围是(　　) A．1＜a≤2 B．a≥4 C．a≤2 D．0＜a≤3 A　[易知函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－9 x ，由 f′(x)＝x－9 x ＜0， 解得0＜x＜3.因为函数f(x)＝ 1 2x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，所以Error! 解得 1＜a≤2，选 A．] 13．若函数 f(x)＝2x3－3mx2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数 m 的 取值范围为________. 【导学号：97190080】 (－∞，5 2]　[∵f′(x)＝6x2－6mx＋6， 当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0 恒成立， 即 x2－mx＋1≥0 恒成立， ∴m≤x＋1 x 恒成立． 令 g(x)＝x＋1 x ，g′(x)＝1－1 x2 ， ∴当 x＞2 时，g′(x)＞0， 即 g(x)在(2，＋∞)上单调递增， ∴m≤2＋1 2 ＝5 2.] 14．已知函数 f(x)＝x2＋aln x. (1)当 a＝－2 时，求函数 f(x)的单调递减区间； (2)若函数 g(x)＝f(x)＋2 x 在[1，＋∞)上单调，求实数 a 的取值范围． [解]　(1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，当 a＝－2 时，f′(x)＝2x－ 2 x ＝2(x＋1)(x－1) x ，由 f′(x)＜0 得 0＜x＜1，故 f(x)的单调递减区间是(0,1)． (2)由题意得 g′(x)＝2x＋a x －2 x2 ，函数 g(x)在[1，＋∞)上是单调函数． ①若 g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则 g′(x)≥0 在[1，＋∞)上恒成立， 即 a≥2 x －2x2 在[1，＋∞)上恒成立，设 φ(x)＝2 x －2x2， ∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x)max＝φ(1)＝0， ∴a≥0. ②若 g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数，则 g′(x)≤0 在[1，＋∞)上恒成立， 不可能． ∴实数 a 的取值范围为[0，＋∞)．