湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东七校2020届高三12月联考 数学（文）（PDF版） 13页

- 1 - 湖南省湘东七校 2019 年下期高三联考 文科数学试题 总分： 150 分 时量：120 分钟 考试时间：2019 年 12 月 8 日 由株洲二中·浏阳一中·攸县一中·株洲八中·株洲四中·九方中学·醴陵一中联合命题 姓名 考号 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1、集合 , ，则 （ ） A. B. C. D. 2、复数 满足 ，则 ( ) A. 2 B. C.1 D. 3、已知条件 ，条件 ，则 是 成立的( ) A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 4、《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 120 个面包分给 5 个人，使每个人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的七分之一是较小的两份之和，则最大一份的个 数为（ ） A.2 B.15 C.32 D.46 5、函数 （ ）在 处取得最大值，则( ) A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 6、已知曲线 在 处的切线 与直线 垂直，则实数 的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7、在 中， ，点 满足 ，则 ( ) A. B. C. 4 D.8 8、已知 在 处取得极值，则 的最小值为( ) A. B. C. D. - 2 - 9、 ,则 （ ） A. B. C. D. 10、函数 的图象大致为( ) 11、过双曲线 的右焦点 作一条渐近线的垂线，与 左支交于点 ，若 ，则 的离心率为( ) A. B.2 C. D.5 12、已知函数 ，若关于 的方程 无实根，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每道试题考生都必须做答．第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡相应位置． 13、已知 与 之间的一组数据如下表所示： 当 变化时，回归直线 必经过定点 ． - 3 - 14、若 满足约束条件 ，则 的最大值等于 ． 15、已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为 2，体积的比值为 ，则 该球的表面积为 ． 16、如图在 中， ， 为 边 上 一 点 ． 若 ，则 的取值范围为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分 12 分）某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了 30 名男性和 30 名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如下： 男性观众 女性观众 （Ⅰ）根据该等高条形图，完成下列 2×2 列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超 过 0.05 的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？ 喜欢节目A 不喜欢节目A 总计 男性观众 女性观众 总计 60 （Ⅱ）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取 5 名做进一步调查．从这 5 名中任选 2 名， 求恰有 1 名喜欢节目A和 1 名不喜欢节目A的概率． - 4 - 18、（ 本小题满分 12 分）如图所示，四棱锥 的底面是梯形，且 平面 ， 是 中点， ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）若 ，求三棱锥 的高． 19、（本小题满分 12 分）已知数列 的前 项和为 ， ． （Ⅰ）求证：数列 是等差数列； （Ⅱ）若 ，设数列 的前n项和为Tn，求T2n. - 5 - 20、（ 本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为 ， 为椭圆 上两点，圆 . （Ⅰ）若 轴，且满足直线 与圆 相切，求圆 的方程； （Ⅱ）若圆 的半径为 2，点 满足 ，求直线 被圆 截得弦长的最大值. 21、（本小题满分 12 分）已知函数 ， ． (Ⅰ)讨论函数 的单调性； (Ⅱ)当 时， ≤ 恒成立，求 的取值范围． - 6 - 请考生在第 22、23 两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．以 为极点， 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）写出 的极坐标方程； （Ⅱ）设曲线 经伸缩变换 后得到曲线 ，曲线 （ ）分别与 和 交于 , 两点，求 ． 23、（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知不等式 的解集为 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）设关于 的方程 （ ）有实数根，求实数 的值． - 7 - 湖南省湘东七校 2019 年下期高三联考 文科数学试题答案及评分参考 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分． 1、C 2、B 3、C 4、D 5、A 6、B 7、D 8、C 9、B 10、C 11、C 12、D 12.解析:因为函数 ，所以方程 无实根等价于函数 的图像与直线 无交点.由图像知，若 ，则直线 与曲线 必有交点，则 . 设 直 线 与 曲 线 相 切 时 ， 切 点 为 ，由 ，得 解得 ，则 ，所以切线方程为 得 .由图像知实数 的取值范围为 ，选D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分． 13、 14、2 15、 16、 15.解析：易知球心在两四棱锥顶点连线的中点，设体积较小的锥体的高为 ，则 解得 ，半径为 ，所以表面积为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17、本小题主要考查等高条形图、独立性检验、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力 以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分 12 分． - 8 - 解：（Ⅰ）由题意得 列联表如下： 喜欢节目A 不喜欢节目A 总计 男性观众 24 6 30 女性观众 15 15 30 总计 39 21 60 3 分 假设 喜欢娱乐节目A与观众性别无关， 则 的观测值 ， 5 分 所以能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关． 6 分 （Ⅱ）利用分层抽样在男性观众 30 名中抽取 5 名，其中喜欢娱乐节目A的人数为 ， 不喜欢节目A的人数为 ． 7 分 被抽取的喜欢娱乐节目A的 4 名分别记为 ；不喜欢节目A的 1 名记为 ． 则从 5 名中任选 2 人的所有可能的结果为： ， 共有 10 种． 9 分 其中恰有 1 名喜欢节目A和 1 名不喜欢节目A的有 ，共 4 种．…… 10 分 所以所抽取的观众中恰有 1 名喜欢节目A和 1 名不喜欢节目A的观众的概率是： ．…… 12 分 18、本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及三棱锥的高等基础知识，考查空间想象能 力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分 12 分． （Ⅰ）证明：取 的中点 ，连结 ，如图所示． 因为点 是 中点， 所以 且 ． 1 分 又因为 且 ， 所以 且 ， 2 分 所以四边形 为平行四边形， 所以 ， 3 分 因为 平面 ， 平面 ， - 9 - 所以 ． 4 分 所以 ． 5 分 （Ⅱ）解：设点 为 的中点，连结 ，如图所示， 因为 ， 由（Ⅰ）知， 6 分 又因为 ，所以 ， 所以 7 分 所以 为正三角形， 8 分 所以 ，且 ． 9 分 因为 平面 ， ， 所以 平面 ． 10 分 因为 平面 ， 所以 ， 11 分 又因为 ，所以 平面 ． 所以三棱锥 的高为 ． 12 分 19、本小题主要考查 与 的关系、等差数列的定义与通项公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能 力，考查化归与转化思想等．满分 12 分． 解：（Ⅰ）证明：因为当 时， ， 所以 ． 1 分 所以 , 2 分 因为 所以 ，所以 ， 3 分 所以 ． 4 分 所以 是以 为首项，以 1 为公差的等差数列． 6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，所以 . 8 分 9 分 - 10 - ∴ 12 分 20、解：（Ⅰ）因为椭圆 的方程为 ，所以 ， . ...............1 分 因为 轴，所以 ，而直线 与圆 相切， 根据对称性，可取 ， ...............2 分 则直线 的方程为 ，即 . ......3 分 由圆 与直线 相切，得 ，所以圆 的方程为 . ...............5 分 （Ⅱ）易知，圆 的方程为 . ①当 轴时， ，所以 ， 此时得直线 被圆 截得的弦长为 . ...............7 分 ②当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ， ， 首先由 ，得 ， 即 ，所以 （*）. ..........9 分 联立 ， 消 去 ，得 - 11 - ，在 时 代入（*）式，得 . ……………10 分 由于圆心 到直线 的距离为 ， 所以直线 被圆 截得的弦长为 ，故当 时， 有最大值为 . 综上，因为 ，所以直线 被圆 截得的弦长的最大值为 . ……………12 分 21、解：(Ⅰ) 的定义域为 ， ...............1 分 若 则 在 上单调递增， ...............2 分 若 则由 得 ，当 时， 当 时， ， 在 上单调递增，在 单调递减. 综上：当 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 上单调递增，在 单调递减. ...............5 分 (Ⅱ) , 令 , ,令 , ...............7 分 . ..............8 分 (2) , 以下论证同（1）一样，所以不符合题意 ................10 分 , , - 12 - , 综上所述， 的取值范围是 ...............12 分 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22、选修 ；坐标系与参数方程 本小题考查极坐标方程和参数方程、伸缩变换等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、 化归与转化思想等．满分 10 分． 解：（Ⅰ）将 消去参数 ，化为普通方程为 ， 即 ， 2 分 将 代入 ，得 ， 4 分 所以 的极坐标方程为 ． 5 分 （Ⅱ）将 代入 得 ， 所以 的方程为 ． 7 分 的极坐标方程为 ，所以 ． 又 ，所以 ． 10 分 23、选修 ：不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能 力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等． 满分 10 分． 解：（Ⅰ）由 得， 或 2 分 解得 ．依题意 ． 5 分 （Ⅱ）因为 当且仅当 时取等号， 7 分 - 13 - 因为关于 的方程 （ ）有实数根， 所以 ． 8 分 另一方面， ，所以 ， 9 分 所以 或 ． 10 分