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- 2023-11-17 发布
1
（1）了解圆锥曲线的简单应用.
（2）理解数形结合的思想.
一、直线与圆锥曲线的位置关系
1．曲线的交点
在平面直角坐标系 xOy 中，给定两条曲线 ，已知它们的方程为 ，
求曲线 的交点坐标，即求方程组 的实数解.
方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点.若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点.
2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定
设直线 ，圆锥曲线 ，把二者方程联立得到方程组，消去 得到一
个关于 的方程 .
（1）当 时，
方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点；
方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点；
方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点.
（2）当 a=0 时，方程为一次方程，若 b≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点；
若 b=0,c≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点.
3．直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点.
（1）直线与椭圆有两个交点 相交；直线与椭圆有一个交点 相切；直线与椭圆没有交点 相离.
（2）直线与双曲线有两个交点 相交.
当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直
线与双曲线的渐近线平行.
直线与双曲线没有交点 相离.
（3）直线与抛物线有两个交点 相交.
当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直
线与抛物线的对称轴平行或重合.
1 2,C C 1 2: ( , ) 0, : ( , ) 0C f x y C g x y
1 2,C C ( , ) 0
( , ) 0
f x y
g x y
: 0l Ax By C : ( , ) 0C f x y ( )y x
( )x y 2 20( 0)ax bx c ay by c
0a
0
0
0
2
直线与抛物线没有交点 相离.
二、圆锥曲线中弦的相关问题
1．弦长的求解
（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；
（2）当直线的斜率存在时，斜率为 k 的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 两个不同的点，
则弦长 .
（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长.
2．中点弦问题
（1）AB 为椭圆 的弦， ，弦中点 M(x0，y0)，则 AB 所在直
线的斜率为 ，弦 AB 的斜率与弦中点 M 和椭圆中心 O 的连线的斜率之积为定值 .
（2）AB 为双曲线 的弦， ，弦中点 M(x0，y0)，则 AB 所在
直线的斜率为 ，弦 AB 的斜率与弦中点 M 和双曲线中心 O 的连线的斜率之积为定值 .
（3）在抛物线 中，以 M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率 .
考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用
1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次
方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.
2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程并消元，得到一元方程,此时注意观察方程的二次项
系数是否为 0,若为 0,则方程为一次方程；若不为 0,则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解.
典例 1 已知椭圆 ，直线 :y＝x＋m．
(1)若 与椭圆有一个公共点，求 的值；
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 2 2
2 1 2 1 1 2 1 22
1( ) ( ) 1 | | 1 | | ( 0)＝AB x x y y k x x y y kk
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2
0
2
0
b xk a y
2
2
b
a
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2
0
2
0
b xk a y
2
2
b
a
2 2 ( 0)y px p
0
pk y
3
(2)若 与椭圆相交于 P,Q 两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求 m 的值．
典例 2 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 ．
（1）若过点 的直线 与抛物线 有且只有一个交点，求直线 的方程；
（2）若直线 与抛物线 交于 ， 两点，求 的面积．
【解析】（1）由题意知抛物线 的焦点为 ，抛物线 的焦点为 ，
所以 ， ，
2: 2 ( 0)C y px p (1,0)F 2: 2 ( 0)E x py p M
M l C l
MF C A B OAB△
2: 2 ( 0)C y px p (1,0)F 2: 2 ( 0)E x py p M
2p (0,1)M
4
1．已知直线 与双曲线 ．当 k 为何值时，直线与双曲线：
（1）有两个公共点；
（2）有一个公共点；
（3）没有公共点．
考向二 直线与圆锥曲线的弦长问题
直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：
（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．
（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．
（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系
数的关系.
y kx 2 24 16x y
5
典例 3 已知抛物线 ： （ ），焦点为 ，直线 交抛物线 于 ， 两点，
为 的中点，且 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 ，求 的最小值．
∴ ，
即 ，∴ ，
∴ ， ，
0x
AB
6
典例 4 已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，且椭圆 上一点 到其两焦点 ， 的距
离之和为 ． 学@
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 ： （ ）与椭圆 交于不同的两点 ， ，且 ，若点 满足
，求 的值．
【解析】（1）由已知得 ，则 ，
又 ，
∴ ，
∴椭圆 的方程为 ．
（2）由 得 ①.
∵直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，∴ ，得 ，
2 2
112 4
x y
2 2
112 4
y x m
x y
7
设 、 ，
则 ， ，
当 时， ，
此时，线段 的中垂线方程为 ，即 ，
令 ，得 ．
当 时， ，
此时，线段 的中垂线方程为 ，即 ．
令 ，得 ．
综上所述， 的值为 或 ．
2．直线 与双曲线 相交于 A，B 两点．
（1）当 时，求线段 AB 的长；
（2）若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数 a 的值．
考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题
定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等
问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参
数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用
1y ax 2 23 1x y
2a
8
特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.
典例 5 如图，已知点 E(m,0)(m＞0)为抛物线 y2＝4x 内一个定点，过 E 作斜率分别为 k1，k2 的两条直线交
抛物线于点 A，B，C，D，且 M，N 分别是 AB，CD 的中点．
（1）若 m＝1，k1k2＝－1，求△EMN 面积的最小值；
（2）若 k1＋k2＝1，求证：直线 MN 过定点． 学!
9
典例 6 已知椭圆 E: 与 y 轴的正半轴相交于点 M,点 F1,F2 为椭圆的焦点,且
是边长为 2 的等边三角形,若直线 l:y=kx+2 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B.
（1）直线 MA,MB 的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由；
（2）求 的面积的最大值.
【解析】（1）因为 是边长为 2 的等边三角形,所以 2c=2,b= c,a=2,
所以 a=2,b= ,
所以椭圆 E: + =1,点 M(0, ).
将直线 l:y=kx+2 代入椭圆 E 的方程,整理得(3+4k2)x2+16 kx+36=0. (*)
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由(*)式可得 Δ=(16 k)2-4(3+4k2)×36=48(4k2-9)>0,
所以 k∈(-∞,- )∪( ,+∞),x1+x2= ,x1x2= .
则直线 MA,MB 的斜率之积为 kMA·kMB=
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b 1 2△MF F
△ABM
1 2△MF F
2
16 3
3 4
k
k 2
36
3 4k
1 21 2
1 2 1 2
3 33 3 kx kxy y
x x x x
1 22
1 2
3 3k x xk x x
10
, 学！
3．已知双曲线 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，离心率 ，虚轴长为 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若直线 与双曲线 相交于 两点（ 均异于左、右顶点），且以 为直径的
圆过双曲线 的左顶点 ，求证：直线 过定点，并求出定点的坐标.
4．已知椭圆 的离心率为 ，右焦点 与抛物线 的焦点重合，左顶点为 ，
过 的直线交椭圆于 两点，直线 与直线 交于 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）试计算 是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.
2 2
2 2
2
16 33 33 4 9 36 1
36 36 4
3 4
kk k kk k
k
C x 5
2e 2
C
:l y kx m C ,A B ,A B AB
C D l
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b
11
1．直线 = 与椭圆 = 的位置关系为
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2．已知直线 与双曲线 的右支有两个交点，则 的取值范围为
A． B．
C． D．
3．设 为抛物线 ： 的焦点，过 作倾斜角为 30°的直线交 于 、 两点，则
A． B．16
C．32 D．
4．若平行四边形 内接于椭圆 ，直线 的斜率 ，则直线 的斜率
A． B．
C． D．
5．过双曲线 的右顶点 A 作倾斜角为 135°的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的
交点分别为 B,C,若 ,则双曲线的渐近线方程为
A．( +1)x+y=0 B．( +1)y-x=0
C．( +1)x±y=0 D．( +1)y±x=0
6．已知 O 是坐标原点，F 是椭圆 + =1 的一个焦点，过 F 且与 x 轴垂直的直线与椭圆交于 M,N 两点，则
cos∠MON 的值为
A． B．
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
2
2AB BC
5
13
5
13
12
C． D．
7．直线 过抛物线 的焦点 且与抛物线交于 两点，若线段 的长分别为 ，则 的最小
值是
A．10 B．9
C．8 D．7
8．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 两点．若 的
中点坐标为 ，则 的方程为
A． B．
C． D．
9．已知双曲线 的一条渐近线截椭圆 所得弦长为 ，则此双曲线的离
心率为
A． B．
C． D．
10．过抛物线 上的焦点 ，作直线 与抛物线交于 ， 两点，已知 ，则
A．2 B．3
C． D．
11．若椭圆 与直线 有公共点，则该椭圆离心率的取值范围是
A． B．
C． D．
2 13
13
2 13
13
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b (3,0)F F ,A B AB
(1, 1) E
2 2
118 9
x y
2 2
136 27
x y
2 2
127 18
x y
2 2
145 36
x y
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
10, 2
10, 2
1 ,12
1 ,12
13
12．如图,过抛物线 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C,若|BC|=2|BF|,且
|AF|=3,则此抛物线的方程为
A． B．
C． D．y2= x
13．已知椭圆 C: + =1,过点 M(1,0)的直线 l 与椭圆 C 交于点 A,B,若 =2 ,则直线 l 的斜率为
A． B．
C． D．
14．若直线 y=kx-1 与抛物线 y2=4x 有且只有一个公共点,则 k 的值为_________.
15．如图，已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 C： 的下焦点，交椭圆 C 于 A，B 两点，则弦 AB 的长
等于__________．
16．如果双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率为___________.
17．直线 与椭圆 分别交于点 ， ，线段 的中点为 ，设直线 的斜率为 ，直线
2 2 ( 0)y px p
2 9y x 2 6y x
2 3y x
1
14 1
14
14
14 14
14
2 2
18 4
y x
14
的斜率为 ，则 的值为__________．
18．过抛物线 C:y2=x 上一点 A(1,1)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于 P,Q(异于点 A)两点,则直线 PQ
恒过定点_________.
19．已知椭圆 的离心率 ，焦距是 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 与椭圆交于 、 两点， ，求 的值．
20．已知抛物线 上的点 P 到点 的距离与到直线 的距离之差为 ，过点 的直
线 交抛物线于 两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若 的面积为 ，求直线 的方程.
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b 6
3e 2 2
2( 0)y kx k C D 6 2
5CD k
15
21．设 、 分别为双曲线 的左、右项点，双曲线的实轴长为 ，焦点到渐近
线的距离为 ．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线 与双曲线的右支交于 、 两点，且在双曲线的右支上存在点 使
，求 的值及点 的坐标．
22．已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为 ．
（1）求 ， 的值；
（2）设 ， 是抛物线上分别位于 轴两侧的两个动点，且 ，其中 为坐标原点．求证：
直线 过定点，并求出该定点的坐标．
A B
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b 4 3
3
3 23y x M N D
OM ON tOD t D
2 2 ( 0)y px p (3, )T t F 4
t p
A B x 5OA OB O
AB
16
23．已知点 在双曲线 （ ， ）上，且双曲线的一条渐近线的方程是
．
（1）求双曲线 的方程；
（2）若过点 且斜率为 的直线 与双曲线 有两个不同的交点，求实数 的取值范围；
（3）设（2）中直线 与双曲线 交于 两个不同的点，若以线段 为直径的圆经过坐标原点，
求实数 的值．
24．已知椭圆 以 ， 为焦点，且离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 、 ，求 的取值范围；
（3）设椭圆 与 轴正半轴、 轴正半轴的交点分别为 、 ，是否存在直线 ，满足（2）中的条件且使
得向量 与 垂直？如果存在，写出 的方程；如果不存在，请说明理由.
(1, 2)D :C
2 2
2 2 1x y
a b 0a 0b
3 0x y
C
(0,1) k l C k
l C A B、 AB
k
17
25．已知抛物线 的焦点 以及椭圆 的上、下焦点及左、右
顶点均在圆 上．
（1）求抛物线 和椭圆 的标准方程；
（ 2 ） 过 点 的 直 线 交 抛 物 线 于 不 同 的 两 点 ， 交 轴 于 点 ， 已 知 ，
，求证： 为定值．
26 ． 已 知 椭 圆 的 离 心 率 与 等 轴 双 曲 线 的 离 心 率 互 为 倒 数 关 系 ， 直 线
与以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设 M 是椭圆的上顶点，过点 M 分别作直线 MA、MB 交椭圆于 A、B 两点，设两直线的斜率分别
为 k1、k2，且 ，证明：直线 AB 过定点 ．
1．（2018 新课标全国Ⅰ理科）设抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与 交于
， 两点，则
A．5 B．6
2
1 : 2 ( 0)C y px p F
2 2
2 2 2: 1( 0)y xC a ba b
2 2: 1O x y
1C 2C
F 1C ,A B y N 1NA AF
2NB BF
1 2
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
: 2 0l x y
1 2 4k k 1( , 1)2
2: 4C y x F ( 2,0) 2
3 C
M N FM FN
18
C．7 D．8
2．（2018 新课标全国Ⅱ理科）已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶
点，点 在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为
A． B．
C． D．
3．（2018 新课标全国Ⅰ理科）已知双曲线 ， 为坐标原点， 为 的右焦点，过 的直线
与 的两条渐近线的交点分别为 ， ．若 为直角三角形，则
A． B．3
C． D．4
4．（2018 新课标全国Ⅲ理科）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与
交于 ， 两点．若 ，则 ________________．
5．（2018 新课标全国Ⅱ理科）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交
于 ， 两点， ．
（1）求 的方程；
（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程．
6．（2018 新课标全国Ⅰ理科）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点
1F 2F
2 2
2 2 1( 0)x yC a ba b ： A C
P A 3
6 1 2PF F△ 1 2 120F F P C
2
3
1
2
1
3
1
4
2
2: 13
xC y O F C F
C M N OMN△ | |MN
3
2
2 3
( 1,1)M 2: 4C y x C k C
A B 90AMB k
2 4C y x： F F ( 0)k k l C
A B | | 8AB
l
A B C
2
2: 12
xC y F F l C ,A B
19
的坐标为 ．
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： ．
7．（2018 新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中
点为 ．
（1）证明： ；
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ．证明： ， ， 成等差数列，
并求该数列的公差．
8．（2018 北京理科）已知抛物线 经过点 ．过点 的直线 与抛物线 有两个不同
的交点 ， ，且直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ．
（1）求直线 的斜率的取值范围；
（2）设 为原点， ， ，求证： 为定值．
M (2,0)
l x AM
O OMA OMB
k l
2 2
14 3
x yC ： A B AB
1 0M m m ，
1
2k
F C P C FP FA FB 0 FA FP FB
2: 2C y px (1,2)P (0,1)Q l C
A B PA y M PB y N
l
O QM QO QN QO 1 1
20
9．（2018 江苏）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 过点 ，焦点 ，圆O
的直径为 ．
（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；
（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P．
①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
②直线 l 与椭圆 C 交于 两点．若 的面积为 ，求直线 l 的方程．
10．（2018 天津理科）设椭圆 (a>b>0)的左焦点为 F，上顶点为 B．已知椭圆的离心率为 ，
点 A 的坐标为 ，且 ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线 l： 与椭圆在第一象限的交点为 P，且 l 与直线 AB 交于点 Q．
若 (O 为原点)，求 k 的值．
xOy C 1( 3, )2 1 2( 3,0), ( 3,0)F F
1 2F F
,A B OAB△ 2 6
7
2 2
2 2 1x y
a b 5
3
( ,0)b 6 2FB AB
( 0)y kx k
5 2 sin4
AQ AOQPQ
21
11．（2017 新课标全国Ⅲ理科）已知抛物线 C：y2=2x，过点（2，0）的直线 l 交 C 于 A，B 两点，圆 M 是
以线段 AB 为直径的圆．
（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上；
（2）设圆 M 过点 ，求直线 l 与圆 M 的方程．
12．（2017 新课标全国 I 理科）已知椭圆 C： ，四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，
），P4（1， ）中恰有三点在椭圆 C 上．
（1）求 C 的方程；
（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1，证明：
l 过定点
(4, 2)P
2 2
2 2 1( )0x y
a b a b
3
2
3
2
22
2．【解析】由 消去 y 得 ．
设 ， ，则 ， ．
（1）
．
当 时， ．
（2）由题意知，OA⊥OB，则 ，即 ，
即 ，即 ，解得 ．
所以当以 AB 为直径的圆经过坐标原点时，a 的值为 或 ．
3．【解析】（1）设双曲线的标准方程为 ，
由已知得
又 ，解得 ，
2 2
1
3 1
x
x y
y a
2 2(3 ) 2 2 0a x ax
1 1( ),A x y 2 2( ),B x y 1 2 2
2
3
ax x a 1 2 2
2
3x x a
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) (1 )[( ) 4 ]AB x x y y a x x x x
2 2
2 2
2 2 2
2 (1 )(6 )2 8(1 )[( ) ]3 3 |3 |
a aaa a a a
2a
2 2 2 2
2 2
2 (1 )(6 ) 2 (1 2 )(6 2 )| | 2 10|3 | |3 2 |
a aAB a
1 2 1 2 0x x y y 1 2 1 2( 1)( 1) 0x x ax ax
2
1 2 1 2(1 ) ( ) 1 0a x x a x x 2
2 2
2 2(1 ) 1 03 3
aa aa a
1a
1 1
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
5 ,2 2,2
c ba
2 2 2a b c 2, 1a b
23
所以双曲线的标准方程为 .
（2）设 ，由 得 ，
则 ，
， 学@
4．【解析】（1）由题意知 ，右焦点 ，即 ，且 ，
解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）知 ，
当直线 的斜率不存在时，即直线 的方程为 ，
易知 ，所以直线 .
令 ，可知： ,
2
2 14
x y
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2
2 14
y kx m
x y
2 2 2(1 4 ) 8 4( 1) 0k x mkx m
2 2 2 2
1 2 2
2
1 2 2
64 16(1 4 )( 1) 0
8
1 4
4( 1)
1 4
m k k m
mkx x k
mx x k
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )y y kx m kx m k x x mk x x m
2 2
2
4
1 4
m k
k
24
1．【答案】A
【解析】由题意得直线 = 恒过定点 ,而点 在椭圆 = 的内部,所以直线与椭圆相
交.选 A．
2．【答案】D
【解析】∵双曲线的渐近线方程为 ，∴当﹣1＜k≤1 时，直线与双曲线的右支只有 1 个交点；
当 k≤﹣1 时，直线与双曲线的右支没有交点.
把 代入 得 ，
令 ，解得 k= 或 k=﹣ （舍去）．
∴直线 与双曲线 的右支有两个交点时，1＜k＜ ．故选 D．
3．【答案】C
【解析】由题意知 ，AB 所在直线的方程为 ，联立 消元得
y x
1y kx 2 2(1 ) 2 5 0k x kx
2 24 20(1 ) 0k k
25
，设 ，则 ，
所以 ，故选 C． .网
4．【答案】B
5．【答案】C
【解析】由题意知直线过点 A(a,0),且斜率 k=tan 135°=-1,
则直线的方程为 x+y-a=0.
将该直线方程分别与两渐近线方程联立,解得 B( , ),C( ,- ),
则有 , .
因为 ,所以 ,
化简得 +1,则双曲线的渐近线方程为( +1)x±y=0.故选 C.
6．【答案】B
【解析】由题意,a2=4,b2=3,故 c= = =1.
2 2
2 2 2 2
2 2( , )a b a bBC a b a b
( , )ab abAB a b a b
2
2 2
2ab a b
a b a b
26
不妨设 M(1,y0),N(1,-y0),所以 + =1,解得 y0=± ,
所以|MN|=3,|OM|=|ON|= = .
由余弦定理知 ,故选 B.
7．【答案】B
8．【答案】A
【解析】由题意设 ，所以 ，整理得 ；
因为 的中点坐标为 ，所以 ；
因为 ，所以 ，所以 ；
因为 ，所以 ．
所以 的方程为 ．故选 A．
9．【答案】B
【解析】双曲线 的一条渐近线不妨设为： ，
3
2
2 231 ( )2
2 2 22 2 2 13 13( ) ( ) 3 52 2cos 2 1313 132 2 2
OM ON MNMON OM ON
1 1 2 2, , ,A x y B x y
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
x y
a b
x y
a b
1 2 1 2 1 2
2 2
1 2
0x x y y y y
a x x b
AB 1, 1 1 2 1 22, 2x x y y
1 2
1 2
1 0 1
1 3 2AB
y yk x x
2 2
2 1 2 02a b
2 22a b
2 23c a b 2 218, 9a b
E
2 2
118 9
x y
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
27
则 ，可得 .
一 条 渐 近 线 截 椭 圆 所 得 弦 长 为 ， 可 得 ， 即 ， 解 得
．故选 B． 学@
10．【答案】B
11．【答案】B
【解析】联立方程得 ，消去 y 化简得 ，
由题意得
.
故该椭圆离心率的取值范围是 ，故选 B．
12．【答案】C
2
2
0
14
bx ay
x y
2 2
2 2
±2
4
±2
4
ax
a b
by
a b
2 2
2 2
4 4 4
4 3
a b
a b
28
是 ,选 C.
13．【答案】C
【解析】由题意可得,直线 l 的斜率存在且不为 0,不妨设直线 l:y=k(x-1),
则由 消去 y 化简得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-8=0.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系可得 x1+x2= ,x1x2= .
因为 =2 ,所以 x1+2x2=3,
所以 x2= ,x1= ,
所以 x1x2= · ,化简得 k2= ,
解得 k=± ,故选 C.
14．【答案】-1 或 0
【解析】当 k=0 时,数形结合知,直线与抛物线有一个公共点;
当 k≠0 时,将直线方程与抛物线方程联立得 ,得 y2- y- =0,因而 Δ= + =0,即 k=-1.
从而 k=-1 或 0.
15．【答案】 学@
2 3y x
2 22 8
y kx k
x y
2
2
4
1 2
k
k
2
2
2 8
1 2
k
k
2
2
3 2
1 2
k
k
2
1
4
y kx
y x
8 2
3
29
16．【答案】
【解析】已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，
代入抛物线方程 ，整理得 ，
∵渐近线与抛物线相切， ，即 .
故答案为 .
17．【答案】
【解析】设 ，中点 ，则 ，
把点 代入椭圆的方程 ，整理得 ，
两式相减得 ，整理得 ，
即 .
18．【答案】(2,-1)
2 2
2 21 2
1 2 02
x x y y
2 2
1 2 1 21 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1
2
y y y yy y
x x x x x x
30
19．【解析】（1）由题意得 ，所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以椭圆的方程为 ．
（2）设 ， ，
将 代入 ，整理得 ，
所以 ①， ， ，
又 ， ，
所以 ，
又 ，
代入上式，整理得 ，即 ，
解得 （舍去）或 ，即 ，
经验证， 能使①成立，
故 ．
20．【解析】（1）设 ，
由定义知 ， ， ，
故抛物线的方程为 .
（2）设 ，由（1）知 .
若直线 的斜率不存在，则方程为 ， 学@
2 2 2c 2 2c
6
3
c
a 2 3a 2 1b
2
2 13
x y
1 1( , )C x y 2 2( , )D x y
2y kx
2
2 13
x y 2 2(1 3 ) 12 9 0k x kx
2 2(12 ) 36(1 3 ) 0k k 1 2 2
12
1 3
kx x k 1 2 2
9
1 3x x k
2 2
1 2 1 2( ) ( )CD x x y y 1 2 1 2( )y y k x x
2 2
1 2
6 2 1 ( )5 k x x
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 2 2 2
12 36( ) ( ) 4 (1 3 ) 1 3
kx x x x x x k k
4 27 12 27 0k k 2 2(7 9)( 3) 0k k
2 9
7k 2 3k 3k
3k
3k
31
故直线 的方程为 或 .
21．【解析】（1）由实轴长为 ，得 ，渐近线方程为 ，即 ，
因为焦点到渐近线的距离为 ，所以 ，
又 ，
所以双曲线的方程为 ．
（2）设 ，
则 ，
由 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
22．【解析】（1）由抛物线的定义得， ，解得 ，
4 3 2 3a 2 3
by x 2 3 0bx y
3 2
3
12
bc
b
2 2 2 2, 3c b a b
2 2
112 3
x y
1 1 2 2 0 0( , ), ( , ), ( , )M x y N x y D x y
1 2 0 1 2 0,x x tx y y ty
2
1 22 2
3 23 16 3 84 0 16 3
112 3
y x
x x x x
x y
1 2 1 2
3 ( ) 4 123y y x x 0
0
4 3
3
x
y
2 2
0 0 112 3
x y 0
0
4 3
3
x
y
4t (4 3,3)D
3 42
p 2p
32
23．【解析】（1）由题意知， ，解得 ．
因此，所求双曲线 的方程是 ，即 ．
（2）∵直线 过点 且斜率为 ，∴直线 的方程为 ．
由 得 ．
∵直线 与双曲线 有两个不同的交点，∴ ，
解得 ．
（3）设直线 与双曲线 的交点为 ，由（2）可得 ，
2 2
1 2 1
3
a b
b
a
2
2
1
3
1
a
b
C
2 2
11 1
3
x y 2 23 1x y
l (0,1) k l 1y kx
2 23 1
1
x y
y kx
2 2(3 ) 2 2 0k x kx
l C
2
2 2
3 0
( 2 ) 4(3 )( 2) 0
k
k k
( 6, 3) ( 3, 3) ( 3, 6)k
l C 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、
1 2 2
1 2 2
2
3
2
3
kx x k
x x k
33
24．【解析】（1）设椭圆 的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为 、 、 .
由题设知： . @网
由 ，得 ，则 .
∴椭圆 的方程为 .
（2）过点 ，斜率为 的直线 ： ，即 ： .
与椭圆 的方程联立，消去 得 ①，
由 与椭圆 有两个不同的交点，知 ，解得 或 .
∴ 的取值范围是 .
（3）设 、 ，可知 、 是①的两根，
2
2k 2
2k
k 2 2, ,2 2
1 1,P x y 2 2,Q x y 1x 2x
34
∴不存在满足题设条件的 .
25．【解析】（1）由 的焦点 在圆 上得 ，则 .
所以抛物线 的标准方程为 .
由 椭 圆 的 上 、 下 焦 点 及 左 、 右 顶 点 均 在 圆
上，可解得 ，则 ，
故椭圆 的标准方程为 .
（2）设直线 的方程为 ， ， ，则 ．
由 消去 ，得 ，
则 ， .
由 ， ，得 ， ，
整理得 ，
2
1 : 2 ( 0)C y px p ( ,0)2
pF 2 2: 1O x y
2
14
p 2p
1C 2 4y x
2 2
2 2 2: 1( 0)y xC a ba b (0, ),(0, )c c ( ,0),( ,0)b b
2 2: 1O x y 1b c 2a
2C
2
2 12
yx
AB ( 1)( 0)y k x k 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y (0, )N k
2 4
( 1)
y x
y k x
y 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k
216 16 0k
2
1 2 1 22
2 4 , 1kx x x xk
1NA AF
2NB BF
1 1 1(1 )x x 2 2 2(1 )x x
1 2
1 2
1 2
,1 1
x x
x x
35
故 .
故 为定值 .
26．【解析】（1）易知等轴双曲线的离心率为 ，则椭圆的离心率为 ， 学@
此时直线 的方程为 ，显然过点 ．
②若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，易知 ．
设 ，由 得 ，
则 ， .（1）
∵ ，∴ ，
即 ，即 .
把（1）代入得 ，则 ，故 .
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 11 1 1 ( )
x x x x x x
x x x x x x
1 2 1
2 1
2
ce a
AB 1
2x 1( , 1)2
AB AB y kx m 1m
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 22 2
y kx m
x y
2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m
1 2 2
4
1 2
kmx x k
2
1 2 2
2 2
1 2
mx x k
1 2 4k k 1 2
1 2
1 1 4y y
x x
1 2
1 2
1 1 4kx m kx m
x x
1 2
1 2
2 ( 1) 4x xk m x x
21
kmk m 2( 1)k m 12
km
36
则直线 的方程为 ，即 ，
故直线 AB 过定点 ．
1．【答案】D
2．【答案】D
【解析】因为 为等腰三角形， ，所以 ，由 的斜率为 可
得 ，所以 ， ，由正弦定理得 ，
所以 ，所以 ， ，故选 D．
3．【答案】B
【解析】由题可知双曲线 的渐近线的斜率为 ，且右焦点为 ，从而可得 ，
所以直线 的倾斜角为 或 ，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ，可以得出直线 的
方 程 为 ， 分 别 与 两 条 渐 近 线 和 联 立 ， 求 得 ，
，所以 ，故选 B．
4．【答案】2
【解析】设 ， ，则 ，所以 ，所以 ，
取 的 中 点 ， 分 别 过 点 ， 作 准 线 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 ， ， 因 为
AB 12
ky kx 1( ) 12y k x
1( , 1)2
1 2PF F△ 1 2 120F F P 2 1 2 2PF F F c AP 3
6
2
3tan 6PAF 2
1sin
13
PAF 2
12cos
13
PAF 2 2
2 2
sin
sin
PF PAF
AF APF
2
1 1
2 213 13=π 53 12 1 1sin( )3 2 213 13
c
a c PAF
4a c 1
4e
C 3
3 (2,0)F 30FON
MN 60 120 60 MN
3( 2)y x 3
3y x 3
3y x (3, 3)M
3 3( , )2 2N 2 23 3| | (3 ) ( 3 ) 32 2MN
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2
1 1
2
2 2
4
4
y x
y x
2 2
1 2 1 24 4y y x x 1 2
1 2 1 2
4y yk x x y y
AB 0 0( , )M' x y A B 1x A B'
37
，所以 ，因为 为 的中点，
所以 平行于 轴，因为 ，所以 ，则 ，所以 ．
5．【解析】（1）由题意得 ，l 的方程为 ．设 ，
6．【解析】（1）由已知得 ，l 的方程为 x=1．
由 已 知 可 得 ， 点 A 的 坐 标 为 或 ， 所 以 AM 的 方 程 为 或
．
（2）当 l 与 x 轴重合时， ．
当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以 ．
当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 ， ，
则 ，直线 MA，MB 的斜率之和为 ．
由 得 ．
90AMB 1 1 1| | | | (| | | |) (| | | |)2 2 2MM' AB AF BF AA BB' M' AB
MM' x 1( )1,M 0 1y 1 2 2y y 2k
(1,0)F ( 1)( 0)y k x k 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B
(1,0)F
2(1, )2
2(1, )2 2 22y x
2 22y x
0OMA OMB
OMA OMB
( 1)( 0)y k x k 1 2 21( , ), ( , )A y x yx B
1 22, 2x x
2
1 2
1 2 2MA MB x x
y yk k
11 22,y k k xy kx k 1 2 1 2
1 2(
2 3 ( ) 4
2)( 2)MA MB
x x x xk k
x x
kk k
38
将 代入 得 ．
所 以 ， 则
．
从而 ，故 MA，MB 的倾斜角互补，所以 ．
综上， ．
7．【解析】（1）设 ，则 ．
两式相减，并由 得 ．
由题设知 ，于是 ．由题设得 ，故 ．
（2）由题意得 ，设 ，则 ．
由（1）及题设得 ．
又点 P 在 C 上，所以 ，从而 ， ．
于是 ，同理 ，
所以 ，故 ，即 成等差数列．
( 1)y k x
2
2 12
x y 2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k
2
1 22 1
2
22
4 2 2,2 1 2 1x x xk k
k x k
3
1
3
1
3
2 2 2
4 4 12 8 42 3 ( ) 4 02 1
k k k k kk k k kx x x x
0MA MBk k OMA OMB
OMA OMB
1 2 21( , ), ( , )A y x yx B
2 2 2 2
1 21 21, 14 3 4 3
y x yx
1
2
2
1y
x
y kx
11 2 2 04 3
yx y kx
1 2 1 21,2 2
x yx y m 3
4k m 30 2m 1
2k
(1,0)F 3 3( , )P x y 3 3 1 1 2 2( 1, ) ( 1, ) ( 1, ) (0,0)y x x yx y
3 32 1 213 ( ) 1, ( ) 2 0y yx x yx m
3
4m 3(1, )2P 3| | 2FP
2
2 2 2
1
1 1
1 1| | ( 1) ( 1) 3(1 ) 24 2
x xFA x xy 2| | 2 2
xFB
1 2
1| | | | 4 ( ) 32FA FB x x 2 | | | | | |FP FA FB | |,| |,| |FA FP FB
39
8．【解析】（1）因为抛物线 经过点 ，
所以 ，解得 ，所以抛物线的方程为 ．
由题意可知直线 的斜率存在且不为 ，设直线 的方程为 ．
由 可得 ．
依题意 ，解得 或 ．
又 ， 与 轴相交，故直线 不过点 ．从而 ． ￥%网
2 2y px (1,2)P
4 2p 2p 2 4y x
l 0 l 1( 0)y kx k
2 4
1
y x
y kx
2 2 (2 4) 1 0k x k x
2 2(2 4) 4 1 0k k 0k 0 1k
PA PB y l (1, 2) 3k
40
9 ．【 解 析 】（ 1 ） 因 为 椭 圆 C 的 焦 点 为 ，可 设 椭 圆 C 的 方 程 为
．
又点 在椭圆 C 上，所以 ，解得 因此椭圆 C 的方程为 ．
因为圆 O 的直径为 ，所以其方程为 ．
（2）①设直线 l 与圆 O 相切于 ，则 ，
所以直线 l 的方程为 ，即 ．
由 消去 y，得 ．（*）
因为直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，
所以 ．
因为 ，所以 ．因此点 P 的坐标为 ．
1 2( ) 3,0 , ( 3,0)F F
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
1( 3, )2
2 2
2 2
3 1 1,4
3,
a b
a b
2
2
4,
1,
a
b
2
2 14
x y
1 2F F 2 2 3x y
0 0 0 0( ), ,( 0 0)P x y x y 2 2
0 0 3x y
0
0 0
0
( )xy x x yy 0
0 0
3xy xy y
2
2
0
0 0
1,4
3 ,
x y
xy xy y
2 2 2 2
0 0 0 04 24 36 4 0( )x y x x x y
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0( ) ( )(24 ) (4 4 36 4 8 2 0)4x x y y y x
0 0, 0x y 0 02, 1x y ( 2,1)
41
10．【解析】（1）设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ，又由 a2=b2+c2，可得 2a=3b．
由已知可得， ， ，由 ，可得 ab=6，
从而 a=3，b=2，所以椭圆的方程为 ．
（ 2 ） 设 点 P 的 坐 标 为 （ x1 ， y1 ），点 Q 的 坐 标 为 （ x2 ， y2 ）．由 已 知 有 y1>y2>0 ， 故
． 又 因 为 ， 而 ∠ OAB= ， 故 ． 由
，可得 5y1=9y2．
由方程组 消去 x，可得 ．易知直线 AB 的方程为 x+y–2=0，由方程组
消去 x，可得 ．由 5y1=9y2，可得 5（k+1）= ，两边平方，整理得
，解得 ，或 ．
所以 k 的值为
11．【解析】（1）设 ， ．
2
2
5
9
c
a
FB a 2AB b 6 2FB AB
2 2
19 4
x y
1 2sinPQ AOQ y y 2
sin
yAQ OAB
π
4 22AQ y
5 2 sin4
AQ AOQPQ
2 2
19 4
y kx
x y
，
， 1 2
6
9 4
ky
k
2 0
y kx
x y
，
， 2
2
1
ky k
23 9 4k
256 50 11 0k k 1
2k 11
28k
1 11
2 28
或 ．
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y : 2l x my
42
由（1）可得 ．
所以 ，解得 或 ．
当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆 的方
程为 ．
当 时，直线 的方程为 ，圆心 的坐标为 ，圆 的半径为 ，圆
的方程为 ．
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的
关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问
题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证 或说明中点在曲线内部.
12．【解析】（1）由于 ， 两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 ， 两点．
又由 知，C 不经过点 P1，所以点 P2 在 C 上．
因此 ，解得 ，故 C 的方程为 ．
1 2 1 24, 4y y x x
22 1 0m m 1m 1
2m
1m l 2 0x y M (3,1) M 10 M
2 2( 3) ( 1) 10x y
1
2m l 2 4 0x y M 9 1( , )4 2 M 85
4
M 2 29 1 85( ) ( )4 2 16x y
0
3P 4P 3P 4P
2 2 2 2
1 1 1 3
4a b a b
2
2 2
1 1
1 3 14
b
a b
2
2
4
1
a
b
2
2 14
x y
43
而 ．
由题设 ，故 ，
即 ，解得 ，
当且仅当 时 ，于是 l： ，即 ，
所以 l 过定点（2， ）．
【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判
断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而
可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和
存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．
1 2
1 2
1 2
1 1y yk k x x
1 2
1 2
1 1kx m kx m
x x
1 2 1 2
1 2
2 ( 1)( )kx x m x x
x x
1 2 1k k 1 2 1 2(2 1) ( 1)( ) 0k x x m x x
2
2 2
4 4 8(2 1) ( 1) 04 1 4 1
m kmk mk k
1
2
mk
1m 0 1
2
my x m 11 ( 2)2
my x
1