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- 2023-11-17 发布
长安一中2017---2018学年度第一学期第四次教学质量检测
高三文科数学试题
命题人：贺永安 审题人：罗理想
第一部分（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1. 设复数满足，则＝（ ）
A. 1 B. C. D.2
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，则向量的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4. 执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的的值为7，第二次输入的的值为9，则第一次、第二次输出的的值分别为( )
A. 0，0 B. 1，1 C. 0，1 D. 1，0
5. 在一组样本数据不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A.－1 B.0 C. D.1
6. 为实数，表示不超过的最大整数，则函数在上为（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D. 周期函数
7．函数是偶函数的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
8．在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，
为事件“”的概率，为事件“”的概率，则 （ ）
A． B． C． D．
9. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）
A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛
10. 设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于( )
A．4 B．8 C．24 D．48
11. 如下图，在小正方形边长为的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
12. 设函数在上存在导函数，对任意都有，且当时，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中相应的横线上.）
13. 已知的内角的对边分别为，且，则 .
14. 若满足约束条件，则的最大值为 .
15. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为___.
16．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点在以为圆心的上运动．若，其中，则的最大值为_______．
三、解答题：(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分10分) 数列满足.
（1）设，证明是等差数列；
（2）求的通项公式．
18. (本小题满分12分)如图所示，在四棱锥中，平面，已知．
（1）设是上一点，证明：平面平面；
（2）若是的中点，求三棱锥的体积．
19.(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2002
2004
2006
2008
2010
需求量（万吨）
236
246
257
276
286
(1) 利用所给数据求年需求量y与年份x之间的回归直线方程；
(2) 利用（1）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.
20.(本小题满分12分)已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点.
（1）求椭圆的方程及点的坐标；
（2）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点.证明：存在常数，使得，并求的值．【来源：全,品…中&高*考+网】
21.(本小题满分14分)已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若方程有两个根，证明：.
.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.
22.(本小题满分分)选修：坐标系与参数方程选讲.【来源：全,品…中&高*考+网】
在平面直角坐标系中，曲线（为参数，实数），曲线（为参数，实数）. 在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与交于两点，与交于两点. 当时，；当时，.
（1）求的值；
（2）求的最大值.
23.(本小题满分分)选修：不等式选讲.【来源：全,品…中&高*考+网】
设函数（，实数）.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）求证： .
长安一中2017---2018学年度第一学期第四次教学质量检测
高三文科数学参考答案
一、 选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
D
D
D
A
B【来源：全,品…中&高*考+网】
B
C
D
B
二、 填空题：
13.. 14. 3. 15. . 16.2.
三、解答题：
17.（1）证明 由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.【来源：全,品…中&高*考+网】
又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）解 由①得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.
于是 (ak＋1－ak)＝ (2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.
又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.
18. 解：（1）在中，，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又平面平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
又平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
又平面，平面平面，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）因为是的中点，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
在四边形中，由已知可求得，又点到平面的距离等于，所以，即三棱锥的体积为．．．．． 12分
19. 解：（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：
年份－2006
－4
－2
0
2
4
需求量－257
－21
－11
0
19
29
对预处理后的数据，容易算得：
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
即 ①
（2）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为
（万吨）≈300（万吨）.
20.(1)解 由已知，a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1.
由方程组得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①
方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，
此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.点T的坐标为(2,1)．
(2)证明 由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，
由方程组可得所以P点坐标为.|PT|2＝m2.
设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由方程组可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②
方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)，
由Δ>0，解得－