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- 2023-11-17 发布
专题十 三角函数与数列大题
（一） 命题特点和预测：
分析近8年全国Ⅰ卷数列与三角函数大题，发现三角函数与数列大题都是放在17题位置且每年只考一个，8年5考利用正余弦定理解三角形或平面图形问题，3年考数列，主要考查等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、求数列通项及数列求和，试题难度为基础题，2019年仍将在数列与解三角形二者中考一题，主要考查等比数列、等差数列的定义、通项公式、前n项和公式、求数列通项及数列求和或利用正余弦定理解三角形，难度为基础题．
（二）历年试题比较：
年份
题目
2018年
【2018新课标1，理 17】在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.
2017年
【2017新课标1，理17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为.
（1）求sin Bsin C;
（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求△ABC的周长.
2016年
【2016高考新课标理数1】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求C；
（2）若的面积为，求的周长．
2015年
【2015高考新课标1，理17】为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（1）求{}的通项公式；
（2）设 ,求数列{}的前项和.
2014年
【2014课标Ⅰ，理17】已知数列的前项和为，，， ，其中为常数，
（1）证明：；
（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.
2013年
【2013课标全国Ⅰ，理17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
2012年
【2012全国，理17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋asinC－b－c＝0．
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c．
2011年
【2011全国新课标，理17】等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．
【解析与点睛】
（2018）（17）【解析】（1）在中，由正弦定理得.
由题设知，，所以.
由题设知，，所以.
（2）由题设及（1）知，.
在中，由余弦定理得
.
所以.
点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.
（2017年）【解析】（1）由题知
由正弦定理得，
由得.
（2）由（1）得，
又
，，
由余弦定理得 ①
由正弦定理得，
②
由①②得
，即周长为
【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如
，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.
（2016年）【解析】（1）由正弦定理及得，
，
即，
即，
因为，所以，
所以，所以.
（2）由余弦定理得：
∴
∴
∴周长为
【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,,这是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边”.
（2015年）【解析】（1）当时，，
因为，所以=3，
当时， ==，
即，
因为，所以=2，
所以数列{}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以=；
（2）由（1）知，=，
所以数列{}前n项和为= =.
（2014年）【解析】（1由题设，，．两式相减得，．
由于，所以．
（2）由题设，，，可得，由（I）知，．令，解得．
故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；
＝0．
因为B＝π－A－C，
所以sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0．
由于sinC≠0，所以．
又0＜A＜π，故．
(2)△ABC的面积，故bc＝4．而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8．
解得b＝c＝2．
（2011年）【解析】：(1)设数列{an}的公比为q.由得，所以.由条件可知q＞0，故.
由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1，所以.
（三）命题专家押题
题号
试 题
1.
在中，三边所对应的角分别是.已知成等比数列.
（1）若，求角的值；
（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围.
2.
已知数列是公差不为零的等差数列，，且存在实数满足，.
（1）求的值及通项；
（2）求数列的前项和.
3.
已知数列满足.
（1）求和的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
4.
已知数列是正项等比数列，,数列满足条件.
(Ⅰ) 求数列、的通项公式；
(Ⅱ) 设,记数列的前项和.
①求；
②求正整数，使得对任意，均有.
5.
已知数列中，且 ．
（1）并证明是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
6
中角，，的对边分别为，，，己如.
（1）求的值：
（2）若，，求的面积.
7
已知是的内角，分别是角的对边.若.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，为的中点，求
8
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．
9
如图，在中，是边上一点，，，.
（1）求的长；
（2）若，求的面积.
10
如图，在四边形中，，连接.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的面积最大值.
【详细解析】
1.【解析】（1），
又∵成等比数列，得，由正弦定理有，
∵，∴，得，即，
由知，不是最大边，∴.
（2）∵外接圆的面积为，∴的外接圆的半径，
由余弦定理，得，又，
∴，当且仅当时取等号，又∵为的内角，∴，
由正弦定理，得.
∴的面积，
∵，∴，∴.
2.【解析】（1）设等差数列的公差为，
由……①
得……②，
①-②得，，
又因为，解得；
将代入①
可得，即，
又因为，
所以.
（2）由（1）可得，
所以
.
3.【解析】(1)由题意得，
所以得
由,
所以（），
相减得，
得也满足上式.
所以的通项公式为.
(2)数列的通项公式为
是以为首项,公差为的等差数列,
若对任意的正整数恒成立，等价于当时,取得最大值,
所以
解得
所以实数的取值范围是
4.【解析】（1）设数列是正项等比数列的公比为，因为，
所以有，所以
（2）①因为 ，
所以，，
，
②令，
由于比变化的快，所以，得，
即,递增而递减，是最大，
即当时，对任意，均有.
5.【解析】（1）由题意知，①当时，，
②当时， ．
数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1），可知：
，
．．
．
， ③
④
③-④，可得：
，
6.【解析】（1）因为，
所以．
化简得．
即．
因在中，，则．
从而．
由正弦定理，得．
所以．
（2）由（1）知，且，所以．
因为，所以．
即．
所以．
所以．
所以△的面积为．
7.【解析】（1）由
得
由正弦定理，得，即
所以
又，则
（2）因为，所以.
所以为等腰三角形，且顶角.
因为
所以.
在中，，，，
所以
解得 .
8.【解析】(1)acos C＋asin C－b－c＝0，由正弦定理得sin Acos C＋sin Asin C＝sin B＋sin C，
即sin Acos C＋sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C，
又sin C≠0，所以化简得sin A－cos A＝1，所以sin(A－30°)＝.
在△ABC中，0°＜A＜180°，所以A－30°＝30°，得A＝60°.
(2)在△ABC中，因为cos B＝，所以sin B＝.
所以sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝.
由正弦定理得，.
设a＝7x，c＝5x(x＞0)，则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，
即＝25x2＋×49x2－2×5x××7x×，解得x＝1，所以a＝7，c＝5，
故S△ABC＝acsin B＝10.
9.【解析】（1）在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
因为，，，，
所以.
（2）在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
因为，，，，.
所以，
解得，所以.
所以.
10.【解析】（1）在中，由正弦定理得，
∴．
∵，
∴，
∴为锐角，
∴．
（2）在中，，
∴.
在中，由余弦定理得，
∴，当且仅当时等号成立，
∴，
∴，
即面积的最大值为．