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- 2023-11-16 发布
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2016-2017学年山西省太原市致远实验中学高二（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）
A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱
2．若点M在直线a上，直线a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为（ ）
A．M∈a，a∈α B．M∈a，a⊂α C．M⊂a，a⊂α D．M⊂a，a∈α
3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线的斜率k值为（ ）
A． B． C． D．
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
5．若一个等腰三角形采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）
A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍
6．如图，点M，N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则异面直线B1D1和MN所成的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）
A．l1⊥l4 B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定
8．已知A（m，3），B（2m，m+4），C（m+1，2），D（1，0）且直线AB与直线CD平行，则m的值为（ ）
A．0或1 B．0 C．0或2 D．1
9．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（ ）
A．4π B． C．6π D．
10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α D．若m∥α，α∥β，则m∥β
11．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（ ）
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
12．已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于点H．给出下列四个命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则点H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则点H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，点H是AC的中点，则PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，则点H是△ABC的外心．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．直线l：y﹣3=4（x+1）的斜率是 ．
14．直线3x﹣2y=4的截距式方程是 ．
15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 ．
16．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（其中17题10分，其余各题均12分）
17．已知圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2，7，求该台体的表面积和体积．
18．已知△ABC的三个顶点为A（4，0），B（8，10），C（0，6）．求过点A且平行于BC的直线方程．
19．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上．求证：直线DE∥平面A1C1F．
21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．求证：
（1）B1D⊥平面A1C1B；
（2）B1D与平面A1C1B的交点设为H，则点H是△A1C1B的重心．
22．一个多面体的三视图和直观图如图所示，已知H，M，N分别是DE，AF，BC的中点．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求证：MN⊥AH；
（3）求多面体A﹣CDEF的体积．
2016-2017学年山西省太原市致远实验中学高二（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下面几何体的截面一定是圆面的是（ ）
A．圆台 B．球 C．圆柱 D．棱柱
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】利用圆台、球、圆柱、棱柱的结构特征求解．
【解答】解：在A中，当截面与底面不平行时，得到的截面不一定是圆面，故A错误；
在B中，球的截面一定是圆面，故B正确；
在C中，当截面与底面不平行时，得到的截面不一定是圆面，故C错误；
在D中，棱柱的截面不可能是圆面，故D错误．
故选：B．
2．若点M在直线a上，直线a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为（ ）
A．M∈a，a∈α B．M∈a，a⊂α C．M⊂a，a⊂α D．M⊂a，a∈α
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】利用点与直线、直线与平面的位置关系求解．
【解答】解：∵点M在直线a上，直线a在平面α内，
∴M，a，α之间的关系可记为：
M∈直线a，a⊂平面α．
故选：B．
3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线的斜率k值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线的斜率；直线的倾斜角．
【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，根据直线l的倾斜角为30°，可得到直线l的斜率．
【解答】解：因为直线的斜率等于直线倾斜角的正切值，直线l的倾斜角为30°，
所以直线l的斜率k=tan30°=．
故选：A
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（ ）
A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由三视图知，从正面和侧面看都是梯形，
从上面看为圆形，下面看是圆形，并且可以想象到该几何体是圆台，
则该几何体可以是圆台．
故选D．
5．若一个等腰三角形采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ）
A．倍 B．2倍 C．倍 D．倍
【考点】平面图形的直观图．
【分析】以等腰三角形的底边所在的直线为x轴，高所在的直线为y轴，由斜二测画法得出三角形底边长和高的变化情况，即可得出答案．
【解答】解：以等腰三角形的底边所在的直线为x轴，高所在的直线为y轴，
由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y′轴，长度减半，
故三角形的高变为原来的sin45°=，
所以直观图中三角形的面积是原三角形面积的倍．
故选：C．
6．如图，点M，N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则异面直线B1D1和MN所成的角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D1和MN所成的角．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，
则B1（2，2，2），D1（0，0，2），M（1，2，0），N（0，2，1），
=（﹣2，﹣2，0），=（﹣1，0，1），
设异面直线B1D1和MN所成的角为θ，
则cosθ===，
∴θ=60°．
∴异面直线B1D1和MN所成的角是60°．
故选：C．
7．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）
A．l1⊥l4 B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定．
【解答】解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，
又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定．
故A、B、C错误．
故选：D．
8．已知A（m，3），B（2m，m+4），C（m+1，2），D（1，0）且直线AB与直线CD平行，则m的值为（ ）
A．0或1 B．0 C．0或2 D．1
【考点】直线的斜率．
【分析】利用直线AB与直线CD平行，∥，即可求出m的值．
【解答】解：由题意， =（m，m+1），=（﹣m，﹣2），
∵直线AB与直线CD平行，
∴∥，
∴﹣2m=﹣m（m+1），
∴m=0或1，
故选：A．
9．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（ ）
A．4π B． C．6π D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，
∴AC=10．
故三角形ABC的内切圆半径r==2，
又由AA1=3，
故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，
此时V的最大值=，
故选：B
10．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α D．若m∥α，α∥β，则m∥β
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
【分析】根据空间线面位置关系进行证明或举反例说明．
【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m和n可能平行，也可能异面，也可能相交，故A错误；
对于B，若α∩β=l，m∥l，显然m∥α，m∥β，但α与β不平行，故B错误；
对于C，若m∥n，m∥α，则α内存在直线l使得m∥l，∴n∥l，又n⊄α，∴n∥α，故C正确；
对于D，m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故D错误．
故选：C．
11．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（ ）
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
【考点】平面与平面之间的位置关系；平面的基本性质及推论．
【分析】由题目给出的已知条件，结合线面平行，线面垂直的判定与性质，可以直接得到正确的结论．
【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，
又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．
由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，
与m，n异面矛盾．
故α与β相交，且交线平行于l．
故选D．
12．已知平面ABC外一点P，且PH⊥平面ABC于点H．给出下列四个命题：
①若PA⊥BC，PB⊥AC，则点H是△ABC的垂心；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，则点H是△ABC的垂心；
③若∠ABC=90°，点H是AC的中点，则PA=PB=PC；
④若PA=PB=PC，则点H是△ABC的外心．
其中正确命题的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】根据题意画出图形，然后对应选项一一判定即可．
【解答】解：∵PH⊥平面ABC，H为垂足．
∴PH⊥AB，PH⊥AC，PH⊥BC，
①若PA⊥BC，则BC⊥平面PAH，
∴BC⊥AH，同理：AC⊥BH，
则点H是△ABC的垂心，正确；
②若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，正确．
③若∠ABC=90°，H是AC的中点，容易推出△PHA≌△PHB≌△PHC，则PA=PB=PC；正确．
④若PA=PB=PC，易得AH=BH=CH，则H是△ABC的外心，正确．
故正确的命题为：①②③④，
故选：A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．直线l：y﹣3=4（x+1）的斜率是 4 ．
【考点】直线的斜率．
【分析】直接求解直线的斜率即可．
【解答】解：直线l：y﹣3=4（x+1）的斜率是：4．
故答案为：4．
14．直线3x﹣2y=4的截距式方程是 ．
【考点】直线的截距式方程．
【分析】直接化简求解即可．
【解答】解：直线3x﹣2y=4的截距式方程是：．
故答案为：．
15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 ．
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】正方体上下底面中心的连线平行于BB1，上下底面中心的连线平面ACD1所成角即为线面角，直角三角形中求出此角的余弦值．
【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O；
O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，
；
故答案为：
16．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= a ．
【考点】平面与平面平行的性质；棱柱的结构特征．
【分析】由题设PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD，QD的长度，用勾股定理在直角三角形PDQ中求PQ的长度．
【解答】解：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN⊂平面A1B1C1D1
∴MN∥平面ABCD，又PQ=面PMN∩平面ABCD，
∴MN∥PQ．
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点
∴MN∥A1C1∥AC，
∴PQ∥AC，又AP=，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，
∴CQ=，从而DP=DQ=，
∴PQ===a．
故答案为： a
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（其中17题10分，其余各题均12分）
17．已知圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2，7，求该台体的表面积和体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】圆台的表面积等于上下两圆的面积加侧面展开面积，直接运用圆台的表面积公式计算即可；求出圆台的高，利用圆台的体积公式可得结论．
【解答】解：由圆台的表面积公式S圆台=πr2+πr′2+π（r+r′）l
∴S圆台=π×4+π×49+π（2+7）×6=107π；
圆台的高h==
故圆台的体积V=（r2+rr′+r′2）h=．
18．已知△ABC的三个顶点为A（4，0），B（8，10），C（0，6）．求过点A且平行于BC的直线方程．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】利用斜率公式可求得直线BC的斜率，利用点斜式即可求得过A点且平行于BC的直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）∵B（8，10），C（0，6），
∴直线BC的斜率kBC==，
又A（4，0），
∴过A点且平行于BC的直线方程为y﹣0=（x﹣4），
整理得：x﹣2y﹣4=0．
19．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，分析出图形之后，再利用公式求解即可．
【解答】解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示．
（1）几何体的体积为
V=•S矩形•h=×6×8×4=64．
（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：
h1==5．
左、右侧面的底边上的高为：
h2==4．
故几何体的侧面面积为：
S=2×（×8×5+×6×4）
=40+24．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上．求证：直线DE∥平面A1C1F．
【考点】直线与平面平行的判定．
【分析】通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线直线DE∥平面A1C1F．
【解答】证明：∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，
∴AC∥A1C1，
∴DE∥A1C1，
∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，
∴直线DE∥平面A1C1F．
21．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．求证：
（1）B1D⊥平面A1C1B；
（2）B1D与平面A1C1B的交点设为H，则点H是△A1C1B的重心．
【考点】直线与平面垂直的判定；三角形五心．
【分析】（1）连B1D1，要B1D⊥平面A1C1B，只需证明直线B1D垂直平面A1C1B内的，两条相交直线A1C1、A1B即可；
（2）B1D与平面A1C1B的交点设为H，连A1H，BH，C1H，由A1B1=BB1=C1B1，得A1H=BH=C1H，因此点H为△A1BC1的外心，类比推出，点H是△A1C1B的垂心．
【解答】证明：（1）连B1D1，B1D1⊥A1C1，又DD1⊥面A1B1C1D1，
所以DD1⊥A1C1，A1C1⊥面D1DB1，因此A1C1⊥B1D．
同理可证B1D⊥A1B，所以B1D⊥平面A1C1B．
（2）连A1H，BH，C1H，由A1B1=BB1=C1B1，得A1H=BH=C1H，因此点H为△A1BC1的外心．
又△A1BC1为正三角形，所以H是△A1BC1的中心，
也是△A1BC1的重心．
22．一个多面体的三视图和直观图如图所示，已知H，M，N分别是DE，AF，BC的中点．
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求证：MN⊥AH；
（3）求多面体A﹣CDEF的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
【分析】由三视图可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE，四边形ABCD是边长为2的正方形，底面ABFE是边长为2的正方形，M，N分别为AF，BC的中点．
（1）取BF的中点P，连接MP，NP．又M，N分别为AF，BC的中点．利用三角形中位线定理、面面平行的判定定理可得：平面MNP∥平面CDEF，即可证明MN∥平面CDEF．
（2）利用线面垂直的判定与性质定理可得：AH⊥平面CDEF，即可证明MN⊥AH；
（3）利用VA﹣CDEF=即可得出．
【解答】解：由三视图可知：平面ABCD⊥平面ABFE，AD⊥平面ABFE，四边形ABCD是边长为2的正方形，底面ABFE是边长为2的正方形，M，N分别为AF，BC的中点．
（1）证明：取BF的中点P，连接MP，NP．
又M，N分别为AF，BC的中点．
∴NP∥CF，MP∥AB，
又AB∥EF，
可得MP∥EF．
∴MP∥平面CDEF，NP∥平面CDEF，
又MP∩NP=P，MP⊄平面CDEF，NP⊄平面CDEF．
∴平面MNP∥平面CDEF；
∴MN∥平面CDEF．
（2）证明：由题意AH⊥DE，
∵AD⊥平面ABFE，∴AD⊥EF．
又FE⊥AE，AD∩AE=A，
∴FE⊥平面ADE，
∴FE⊥AH，
∵DE∩EF=E，
∴AH⊥平面CDEF，
∵MN∥平面CDEF，
∴AH⊥MN，即MN⊥AH；
（3）解：由（2）可知AH⊥平面CDEF．
∵S四边形CDEF=EF•DE==4，AH=，
∴VA﹣CDEF==．
