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- 2023-11-16 发布
2020届高三下学期4月调研
理科数学
全卷满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1.已知集合， ， ，则的取值范围是
A. B. C. D.
2.若复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为
A. B. C. D.
3.已知平面，则“”是“”成立的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为
A. 720 B. 768 C. 810 D. 816
5.函数的图象的大致形状是
6.设数列为等差数列， 为其前项和，若， ， ，则的最大值为
A. 3 B. 4 C. D.
7.已知: ，则的取值范围是
A. B. C. D.
8.已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足，的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
9.将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数，若，且，则
A. B. C. D. 随值变化
11.已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线交于点，且均在第一象限，当直线时，双曲线的离心率为，若函数，则
A. 1 B. C. 2 D.
12.已知定义在上的函数的导函数为，且， ，则
的解集为
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（共90分）
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________．
14.已知实数，满足约束条件则的最小值是_________.
15.已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的最大值为____．
16.类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球的一个内接四面体中，，过球心，若该四面体的体积为1，且，则球的表面积的最小值为______.
三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17. （本题满分12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，点，是线段的两个三等分点，，，求的值．
18. （本题满分12分）如图，在边长为4的正方形中，点分别是的中点，点在上，且，将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.
试判断与平面的位置关系，并给出证明；
求二面角的余弦值.
19. （本题满分12分）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上， 的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是， ， ， ．
（1）求， 的标准方程；
（2）是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同的两点且满足？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．
20. （本题满分12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示.
（1）求这4000名考生的半均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布，其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？
（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到0.001）
附：①；
②，则；
③.
21. （本题满分12分）已知函数.
（1）当时,讨论函数的单调性；
（2）当时,若不等式在时恒成立,求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（）.
（Ⅰ）设为参数，若，求直线的参数方程；
（Ⅱ）已知直线与曲线交于， ，设，且，求实数的值.
23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若对任意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围.
参考答案
1.C 2.A 3.A 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.D 10.A 11.C 12.C
13. 14.-8 15.44 16.
17.(1)；(2).
解：(Ⅰ)∵，
则由正弦定理得：，
∴，∴，
又，∴
(Ⅱ)由题意得，是线段的两个三等分点，设，
则，，
又，，在中，由余弦定理得，
解得（负值舍去），则，又在中，.
或解：在中，由正弦定理得：，
∴，又，
，∴，
∴为锐角，∴，∴，
又，∴，∴，∴，，
∴在中，
．
18. 解：（1）平面．证明如下：在图1中，连接，交于，交于，
则，
在图2中，连接交于，连接，在中，有，，
．
平面，平面，故平面；
（2）连接交与点，图2中的三角形与三角形PDF分别是图1中的与
，，又，平面，则，又，平面，
则为二面角的平面角．
可知，则在中，，则．
在中，，由余弦定理，得．
二面角的余弦值为．
19.解：（Ⅰ）设抛物线，则有，
据此验证四个点知， 在抛物线上，
易得，抛物线的标准方程为
设椭圆，把点， 代入可得
所以椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由椭圆的对称性可设的焦点为F（1，0），
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为
直线l交椭圆于点
，不满足题意
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 并设
由，消去y得， ，
于是
①，
由得 ②
将①代入②式，得，解得
所以存在直线l满足条件，且l的方程为或
20.（1）分；（2）634人；（3）0.499
解：（1）由题意知：
中间值
概率
∴ ，
∴名考生的竞赛平均成绩为分.
（2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，而，∴.∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人.
（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.而，∴ .
21.解：（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）.
解析：（1）由题意，知,
∵当a<0，x>0时，有.
∴x>1时，；当00
又，.
①当b≥时，.又在[1，+∞)上单调递减.
∴在[1，+∞)上恒成立，则h(x)在[1，+∞)上单调递减.
所以,符合题意；
②时，,,
又在[1，+∞)上单调递减,
∴存在唯一x0∈(1，+∞)，使得.
∴当h(x)在(1，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减.
又h(x)在x=1处连续，h(1)=0，∴h(x)>0在(1，x0)上恒成立，不合题意.
综上所述，实数b的取值范围为[，+∞ ).
22. (Ⅰ) （为参数）；(Ⅱ) .
解：（Ⅰ）直线的极坐标方程为
所以，即，
因为为参数，若，代入上式得，
所以直线的参数方程为（为参数）；
（Ⅱ）由（），得（），
由， 代入，得（）
将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，
得.（*）
.
， ，
设点， 分别对应参数， 恰为上述方程的根.
则， ， ，
由题设得.
则有，得或.
因为，所以.
23.(Ⅰ) ；(Ⅱ)
解析：（Ⅰ）由题设，得，
，
，
所求不等式的解集为，
（Ⅱ）由题意，知，
，
，
，
或或
故所求实数的取值范围是