安徽省合肥市肥东县高级中学2020届高三4月调研考试数学（理）试题 10页

‎2020届高三下学期4月调研 ‎ 理科数学 全卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) ‎ ‎1.已知集合， ， ，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎2.若复数满足，其中为虚数单位，则复数的模为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知平面，则“”是“”成立的 ‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4.为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为 ‎ A. 720 B. 768 C. 810 D. 816‎ ‎5.函数的图象的大致形状是 ‎ ‎6.设数列为等差数列， 为其前项和，若， ， ，则的最大值为 A. 3 B. 4 C. D. ‎ ‎7.已知: ，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足，的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则的值可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知函数，若，且，则 ‎ A. B. C. D. 随值变化 ‎11.已知是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与双曲线交于点，且均在第一象限，当直线时，双曲线的离心率为，若函数，则 ‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎12.已知定义在上的函数的导函数为，且， ，则 的解集为 ‎ A. B. C. D. ‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) ‎ ‎13.已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是__________．‎ ‎14.已知实数，满足约束条件则的最小值是_________.‎ ‎15.已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的最大值为____．‎ ‎16.类比圆的内接四边形的概念，可得球的内接四面体的概念.已知球的一个内接四面体中，，过球心，若该四面体的体积为1，且，则球的表面积的最小值为______.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)‎ ‎17. （本题满分12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且． ‎ ‎(Ⅰ)求；‎ ‎(Ⅱ)若，点，是线段的两个三等分点，，，求的值．‎ ‎18. （本题满分12分）如图，在边长为4的正方形中，点分别是的中点，点在上，且，将分别沿折叠，使点重合于点，如图所示.‎ 试判断与平面的位置关系，并给出证明；‎ 求二面角的余弦值.‎ ‎19. （本题满分12分）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上， 的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是， ， ， ． ‎ ‎（1）求， 的标准方程；‎ ‎（2）是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同的两点且满足？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎20. （本题满分12分）为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示.‎ ‎（1）求这4000名考生的半均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；‎ ‎（2）由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布，其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？‎ ‎（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到0.001）‎ 附：①；‎ ‎②，则；‎ ‎③.‎ ‎21. （本题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）当时,讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时,若不等式在时恒成立,求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. （本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系.已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（）.‎ ‎（Ⅰ）设为参数，若，求直线的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与曲线交于， ，设，且，求实数的值.‎ ‎23. （本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1.C 2.A 3.A 4.B 5.A 6.B 7.D 8.B 9.D 10.A 11.C 12.C ‎13. 14.-8 15.44 16.‎ ‎17.(1)；(2).‎ 解：(Ⅰ)∵，‎ 则由正弦定理得：， ‎ ‎∴，∴，‎ 又，∴‎ ‎(Ⅱ)由题意得，是线段的两个三等分点，设，‎ 则，， ‎ 又，，在中，由余弦定理得，‎ 解得（负值舍去），则，又在中，. ‎ 或解：在中，由正弦定理得：，‎ ‎∴，又，‎ ‎，∴，‎ ‎∴为锐角，∴，∴，‎ 又，∴，∴，∴，，‎ ‎∴在中，‎ ‎．‎ ‎18. 解：（1）平面．证明如下：在图1中，连接，交于，交于，‎ 则，‎ 在图2中，连接交于，连接，在中，有，，‎ ‎．‎ 平面，平面，故平面；‎ ‎（2）连接交与点，图2中的三角形与三角形PDF分别是图1中的与 ‎，，又，平面，则，又，平面，‎ 则为二面角的平面角．‎ 可知，则在中，，则．‎ 在中，，由余弦定理，得．‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎19.解：（Ⅰ）设抛物线，则有，‎ 据此验证四个点知， 在抛物线上，‎ 易得，抛物线的标准方程为 ‎ 设椭圆，把点， 代入可得 所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎（Ⅱ）由椭圆的对称性可设的焦点为F（1，0），‎ 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 直线l交椭圆于点 ‎，不满足题意 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 并设 由，消去y得， ，‎ 于是 ‎ ①，‎ 由得 ②‎ 将①代入②式，得，解得 所以存在直线l满足条件，且l的方程为或 ‎20.（1）分；（2）634人；（3）0.499‎ 解：（1）由题意知：‎ 中间值 概率 ‎∴ ，‎ ‎∴名考生的竞赛平均成绩为分.‎ ‎（2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，而，∴.∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人.‎ ‎（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.而，∴ .‎ ‎21.解：（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）.‎ 解析：（1）由题意，知,‎ ‎∵当a<0，x>0时，有.‎ ‎∴x>1时，；当00‎ 又，.‎ ‎①当b≥时，.又在[1，+∞)上单调递减.‎ ‎∴在[1，+∞)上恒成立，则h(x)在[1，+∞)上单调递减.‎ 所以,符合题意；‎ ‎②时，,,‎ 又在[1，+∞)上单调递减,‎ ‎∴存在唯一x0∈(1，+∞)，使得.‎ ‎∴当h(x)在(1，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减.‎ 又h(x)在x=1处连续，h(1)=0，∴h(x)>0在(1，x0)上恒成立，不合题意. ‎ 综上所述，实数b的取值范围为[，+∞ ).‎ ‎22. (Ⅰ) （为参数）；(Ⅱ) .‎ 解：（Ⅰ）直线的极坐标方程为 所以，即，‎ 因为为参数，若，代入上式得，‎ 所以直线的参数方程为（为参数）；‎ ‎（Ⅱ）由（），得（），‎ 由， 代入，得（）‎ 将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，‎ 得.（*）‎ ‎.‎ ‎， ，‎ 设点， 分别对应参数， 恰为上述方程的根.‎ 则， ， ，‎ 由题设得.‎ 则有，得或.‎ 因为，所以.‎ ‎23.(Ⅰ) ；(Ⅱ) ‎ 解析：（Ⅰ）由题设，得， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 所求不等式的解集为，‎ ‎（Ⅱ）由题意，知，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 或或 故所求实数的取值范围是