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- 2023-11-16 发布
课时跟踪检测（三） 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
1．(2019·西安摸底)命题“∀x>0，>0”的否定是( )
A．∃x0≥0，≤0 B．∃x0>0,0≤x0≤1
C．∀x>0，≤0 D．∀x<0,0≤x≤1
解析：选B ∵>0，∴x<0或x>1，∴>0的否定是0≤x≤1，∴命题的否定是“∃x0>0,0≤x0≤1”．
2．下列命题中，假命题的是( )
A．∀x∈R,21－x>0
B．∃a0∈R，y＝xa0的图象关于y轴对称
C．函数y＝xa的图象经过第四象限
D．直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切
解析：选C 对于A，由指数函数的性质可知为真命题；对于B，当a＝2时，其图象关于y轴对称；对于C，当x>0时，y>0恒成立，从而图象不过第四象限，故为假命题；对于D，因为圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离等于，等于圆的半径，命题成立．
3．(2019·陕西质检)已知命题p：对任意的x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
解析：选D 由指数函数的性质知命题p为真命题．易知x>1是x>2的必要不充分条件，所以命题q为假命题．由复合命题真值表可知p∧(綈q)为真命题．
4．(2018·湘东五校联考)下列说法中正确的是( )
A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件
B．命题p：∀x∈R,2x>0，则綈p：∃x0∈R,2x0<0
C．命题“若a>b>0，则<”的逆命题是真命题
D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件
解析：选A 对于选项A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正确．对于选项B，全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x∈R,2x>0的否定是綈p：∃x0∈R,2x0≤0，故B错误．对于选项C，其逆命题：若<，则a>b>0，可举反例，如a＝－1，b＝1，显然是假命题，故C错误．对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选A.
5．(2019·唐山五校联考)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；命题q：∃x0∈R，|x0
＋1|≤x0，则( )
A．(綈p)∨q为真命题 B．p∧(綈q)为假命题
C．p∧q为真命题 D．p∨q为真命题
解析：选D 由题意可知命题p为真命题．因为|x＋1|≤x的解集为空集，所以命题q为假命题，所以p∨q为真命题．
6．下列说法错误的是( )
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．若命题p：存在x0∈R，x＋x0＋1<0，则綈p：对任意x∈R，x2＋x＋1≥0
C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥2”的充要条件
D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p与q中必一真一假
解析：选D 由原命题与逆否命题的关系，知A正确；由特称命题的否定知B正确；由xy≥2⇔4xy≥(x＋y)2⇔4xy≥x2＋y2＋2xy⇔(x－y)2≤0⇔x＝y，知C正确；对于D，命题“p或q”为假命题，则命题p与q均为假命题，所以D不正确．
7．(2019·长沙模拟)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(0,4]
C．(－∞，4] D．[0,4)
解析：选C 当原命题为真命题时，a>0且Δ<0，所以a>4，故当原命题为假命题时，a≤4.
8．下列命题为假命题的是( )
A．存在x>y>0，使得ln x＋ln y<0
B．“φ＝”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件
C．∃x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立
D．已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，则α∥β
解析：选C 对于A选项，令x＝1，y＝，则ln x＋ln y＝－1<0成立，故排除A.对于B选项，“φ＝”是“函数y＝sin(2x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件，正确，故排除B.对于C选项，根据幂函数y＝xα，当α<0时，函数单调递减，故不存在x0∈(－∞，0)，使3x0<4x0成立，故C错误．对于D选项，已知两个平面α，β，若两条异面直线m，n满足m⊂α，n⊂β且m∥β，n∥α，可过n作一个平面与平面α相交于直线n′.由线面平行的性质定理可得n′∥n，再由线面平行的判定定理可得n′∥β，接下来由面面平行的判定定理可得α
∥β，故排除D，选C.
9．若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，＞x＋1”，则命题p可写为________________________．
解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．
答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
10．已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p∧q”与“綈q”同时为假命题，则 x＝________.
解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，
因为“綈q”为假，则q为真，即x∈Z，
又因为“p∧q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，
由题意，得x＝－2.
答案：－2
11．已知p：a<0，q：a2>a，则綈p是綈q的________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．
解析：由题意得綈p：a≥0，綈q：a2≤a，即0≤a≤1.因为{a|0≤a≤1}{a|a≥0}，所以綈p是綈q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
12．已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：
①p∨q；②p∧q；③(綈p)∧(綈q)；④(綈p)∨q.
其中为假命题的序号为________．
解析：显然命题p为真命题，綈p为假命题．
∵f(x)＝x2－x＝2－，
∴函数f(x)在区间上单调递增．
∴命题q为假命题，綈q为真命题．
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨q为假命题．
答案：②③④
13．设t∈R，已知命题p：函数f(x)＝x2－2tx＋1有零点；命题q：∀x∈[1，＋∞)，－x≤4t2－1.
(1)当t＝1时，判断命题q的真假；
(2)若p∨q为假命题，求t的取值范围．
解：(1)当t＝1时，max＝0，－x≤3在[1，＋∞)上恒成立，故命题q为真命题．
(2)若p∨q为假命题，则p，q都是假命题．
当p为假命题时，Δ＝(－2t)2－4<0，解得－1