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- 2023-11-14 发布
南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12）
数学试卷
学校 班级 考号 姓名__________________________
uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuu
时间 120 分钟 满分 160 分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．函数的最小正周期为 ▲
2.设集合，则集合A中有 ▲ 个元素.
3．函数的单调减区间是 ▲
4.若是虚数单位)，则乘积的值是 ▲
5.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ▲ ．
6．给出一个算法：
Read x
If
根据以上算法，可求得 ▲
7.椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为 ▲
8.向量，的夹角为，， 则 ▲ ．
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则A、B为焦点，过点C的椭圆的离心率 ▲
10.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程：
（ ▲ ）.
O
P1
P0
P2
11．如图，点P是单位圆上的一个动点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角（）到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则的值等于 ▲
12．设实数满足 则的取值范围是 ▲ ．
13.满足条件的三角形的面积的最大值是______▲ _________.
14 对于总有≥0 成立，则= ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在△ABC中，A,B,C分别为a,b,c边所对的角，且．
⑴求的值；
⑵若a =2，求△ABC的面积S的最大值．
16．已知点P(3, 4)是椭圆＝1 (a>b>0) 上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1⊥PF2，求：(1) 椭圆的方程； (2) △PF1F2的面积．
17.已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图1）。现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点。
（1）求证：BC⊥平面AEC；
（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由。
18.某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形（线段和为两个底边），已知
其中是以为顶点、为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．
A
B
C
D
E
F
P
Q
R
19. 已知过点,且与:关于直线对称.
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)设为上的一个动点,求的最小值；
(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.
20. (本小题满分16分)
已知函数定义域为(),设.
(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
(Ⅱ)求证:；
(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.
南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12）
数学试卷
全卷满分160分，考试时间120分钟
一、填空题：本大题共14小题；每小题5分，共70分．
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8. 9.
10. 11. 12. 13. 14.
二、解答题：本大题共5小题；共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
16．（本小题满分14分）
17．（本小题满分15分）
A
B
C
D
E
F
P
Q
R
18．（本小题满分15分）
19．（本小题满分16分）
20．（本小题满分16分）
学校 班级 考号 姓名__________________________
uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuu
南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12）
数学试卷（理科附加）30分钟
1．已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
2．在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），判断直线和圆的位置关系．
3．如图，在四棱锥P – ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA^底面ABCD，
P
B
C
D
A
M
点M是棱PC的中点，AM^平面PBD．
（1）求PA的长；
（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．
4．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为：
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，
其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．
（1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；
（2）求的分布列及期望．
南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12）
数学试卷
学校 班级 考号 姓名__________________________
uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuu
时间 120 分钟 满分 160 分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．函数的最小正周期为 π
2.设集合，则集合A中有 个元素.【答案】6
3．函数的单调减区间是
4.若是虚数单位)，则乘积的值是 【答案】-3
5.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ．【答案】.
6．给出一个算法：
Read x
If
根据以上算法，可求得 0
7.椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为 24
解：设＝r1，＝r2，则r1＋r2＝14，r＋r＝4c2＝100，故r1·r2＝48，所以S△PF1F2＝r1·r2＝24
8.向量，的夹角为，， 则 ▲ ．【答案】7
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则A、B为焦点，过点C的椭圆的离心率
10.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P（0，p）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE的方程：，请你求OF的方程：
（ ▲ ）.
【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．
O
P1
P0
P2
【答案】
11．如图，点P是单位圆上的一个动点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角（）到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则的值等于
12．设实数满足 则的取值范围是 ．
13.满足条件的三角形的面积的最大值是_______________.
【答案】
14 对于总有≥0 成立，则= ▲ ．
【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，2
设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥2；
当x＜0 即时，≥0可化为2，
在区间上单调递增，因此，从而≤2，综上＝2
【答案】2
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在△ABC中，A,B,C分别为a,b,c边所对的角，且．
⑴求的值；
⑵若a =2，求△ABC的面积S的最大值．
解：⑴= +cos2A
= ．
⑵ 由,
,
,
.当且仅当b=c时，取得最大值，所以当b= c时，△ABC的面积S的最大值为3．
16．已知点P(3, 4)是椭圆＝1 (a>b>0) 上的一点，F1、F2是它的两焦点，若PF1⊥PF2，求：(1) 椭圆的方程； (2) △PF1F2的面积．
解：（1）法一：令F1(－C，0)，F2(C，0)
∵ PF1⊥PF2，∴ ＝－1 即，解得c＝5
∴ 椭圆的方程为 ∵ 点P（3，4）在椭圆上，∴
解得a2＝45或a2＝5 又a＞c，∴ a2＝5舍去 故所求椭圆的方程为.
法二：利用△PF1F2是直角三角形，求得c＝5(以下同方法一)
（2）由焦半径公式：
| PF1 |＝a＋ex＝3＋×3＝4 | PF2 |＝a－ex＝3－×3＝2
∴ ＝| PF1 |·| PF2 |＝×4×2＝20
17.已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥
AB（如图1）。现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连结AC，AB，设M是AB的中点。
（1）求证：BC⊥平面AEC；
（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由。
A
B
C
D
E
F
P
Q
R
18.某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形（线段和为两个底边），已知
其中是以为顶点、为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．
解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图，
则，…………（2分）
由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为，由得，，
∴AF所在抛物线的方程为，…………（5分）
又，∴EC所在直线的方程为，……（7分）
设，
则， …………（9分）
∴工业园区的面积，…………（12分）
∴令得或（舍去负值），…………（13分）
当变化时，和的变化情况如下表：
x
+
0
-
↑
极大值
↓
由表格可知，当时，取得最大值．…………（15分）
答：该高科技工业园区的最大面积． …………（16分）
19. 已知过点,且与:关于直线对称.
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)设为上的一个动点,求的最小值；
(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.
解:(Ⅰ)设圆心,则,解得 (3分)
则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为………(5分)
(Ⅱ)设,则,且 (7分)
==,所以的最小值为
(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)
(Ⅲ)由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,
,由,得 (11分)
因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 (13分)
同理,,所以
=
所以,直线和一定平行… ………(16分)
20. (本小题满分16分)
已知函数定义域为(),设.
(Ⅰ)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；
(Ⅱ)求证:；
(Ⅲ)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数.
(Ⅰ)解:因为…………………………………(2分)
由；由,所以在上递增,
在上递减 …………………………………………………………………………………………(4分)
欲在上为单调函数,则………………………………………………………(5分)
(Ⅱ)证:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小值(7分)
又,所以在上的最小值为 …………………………………(9分)
从而当时,,即…… …(10分)
(Ⅲ)证:因为,所以即为,
令,从而问题转化为证明方程=0
在上有解,并讨论解的个数…… ……(12分)
因为,,所以
①当时,,所以在上有解,且只有一解 (13分)
②当时,,但由于,
所以在上有解,且有两解 …………………………………………………………(14分)
③当时,,所以在上有且只有一解；
当时,,
所以在上也有且只有一解 …(15分)
综上所述, 对于任意的,总存在,满足,
且当时,有唯一的适合题意；当时,有两个适合题意
(16分)
(说明:第(Ⅱ)题也可以令,,然后分情况证明在其值域内,并讨论直线与函数的图象的交点个数即可得到相应的的个数)
学校 班级 考号 姓名__________________________
uuuuuuuuuuuuuuu装uuuuuuuuuuuuuuu订uuuuuuuuuuuuu线uuuuuuuuuuuuuuu
南师大附校2012-2013学年度第一学期高三年级学情反馈（2012.12）
数学试卷（理科附加）30分钟
1．已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
2．在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），判断直线和圆的位置关系．
3．如图，在四棱锥P – ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA^底面ABCD，
P
B
C
D
A
M
点M是棱PC的中点，AM^平面PBD．
（1）求PA的长；
（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．
4．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为：
1
2
3
4
5
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，
其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．
（1）求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；
（2）求的分布列及期望．
附加题答案
1．解：矩阵M的特征多项式为
=………………………1分
因为方程的一根，所以………………………3分
由得，…………………………………5分
设对应的一个特征向量为,
则得…………………………………………8分
令,
所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为………10分
2．消去参数，得直线的直角坐标方程为；…………… 2分
即，
两边同乘以得，
得⊙的直角坐标方程为：, …………………… 6分
圆心到直线的距离，[来源:学|科|网]
所以直线和⊙相交． …………………………………………………… 10分
3．如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a).
因为M是PC中点,所以M点的坐标为(,,)，所以 = (,,)，
= (–1,1,0)， = ( – 1,0,a). ……………………………………………2分
⑴因为^平面PBD,所以· = · = 0.即
– + = 0,所以a = 1,即PA = 1. ………………………………4分
⑵由 = (0,1,0), = (,,),可求得平面AMD的一个法向量
n = ( – 1,0,1).又 = ( – 1,–1,1).所以cos = = = .
所以,PC与平面AMD所成角的正弦值为.………………………10分
4．解：（Ⅰ）由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．
知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
，．…………………………………………………… 4分
（Ⅱ）的可能取值为元，元，元．
，
，
．
0.4
的分布列为
…………8分
（元）．……………10分