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- 2023-11-14 发布
命题人
高三集备组
审核人
福建师大二附中2017～2018学年第一学期
高三年段期中考试
数 学 （文）试 卷
（考试时间120分钟，满分150分）2017．11
班级 姓名 座号 准考证号 ．
一、 选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 复数为虚数单位）实部与虚部的和为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数f(x)＝(1－cos x)sin x在－π，π]的图象大致为( )．
4. 已知等边三角形△的边长为，其重心为，则（ ）
A． B. C. D.
5.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. “a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7. 已知曲线，，则下列说法正确的是（ ）
A．把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C．把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线
D．把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D．
9.设x，y满足约束条件 则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
10. 已知椭圆C：的右焦点为 ，圆:，双曲线以椭圆C的焦点为顶点,顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆相切，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11.对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若的“分裂数”中有一个是2017，则值为（ ）
A．45 B．46 C．47 D．48
12.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
13.设单位向量，的夹角为，，则 .
14.函数在点处的切线方程为 .
15.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则__________．
16. 已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，则球的表面积为_________．
三、解答题：
17. （本小题满分10分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的递增区间；
（Ⅱ）的角所对边分别是，角的平分线交于，，，求．
18.（本小题满分12分）在等差数列中，，，
（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）在中，角对应的边分别是,已知.
(I)求角的大小；(II)若,求△ABC的面积.
20.（本小题满分12分） 如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面，点为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
21. （本小题满分12分）已知定点Q（，0），P为圆N：上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M .
（Ⅰ）当P点在圆周上运动时，求点M (x，y) 的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程.
22.（本小题满分12分）已知函数,
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
2017-2018学年度第一学期高三半期考试
文科数学试题
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷 选择题
一、 选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，.
2. 复数为虚数单位）实部与虚部的和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，实部为1，虚部为1，和为2，故选A.
3. 函数f(x)＝(1－cos x)sin x在－π，π]的图象大致为( )．C
4. 已知等边三角形△的边长为，其重心为，则（ ）
A． B. C. D.
C
5.若，，，则（ ）
A. B. C. D.
D
6. “a＝－1”是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的( ) A
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7已知曲线，，则下列说法正确的是（ ）
A．把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C．把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到曲线
D．把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线
【答案】B
【解析】对于A，,
对于B,,
对于C，,
对于D，,
显然选B.
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】该几何体如图所示，
9.设x，y满足约束条件 则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可行域可知，
10. 已知椭圆C：的右焦点为 ，圆:，双曲线以椭圆C的焦点为顶点,顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆相切，则椭圆C的离心率为（ ）B
A． B． C． D．
11.对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若的“分裂数”中有一个是2017，则的值为（ ）
A．45 B．46 C．47 D．48
【答案】A
【解析】从到正好用去从3开始的连续奇数个，2017是从3开始的第1008个数，所以
12.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得
令，则
在上递减，在上递增，所以
又当时，，，所以实数的取值范围是.
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将答案填在答题卡相应位置.
13.设单位向量，的夹角为，，则 .
【答案】
【解析】由得，.
14.函数在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】，，所以，.
15.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则__________．
【答案】
【解析】
如图，圆的圆心为(0,0)，半径，
因为弦，所以直线经过圆心，所以.
直线的方程为.所以直线的倾斜角.
在中，.
.
16. 16. 已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，则球的表面积为
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. （本小题满分10分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的递增区间；
（Ⅱ）的角所对边分别是，角的平分线交于，，，求．
17解（Ⅰ）
，
递增得到，
解得，
所以递增区间是； 6分
（Ⅱ） ，得到
，
由得到，所以角,
由正弦定理得，
所以，
．12分
18.（本小题满分12分）在等差数列中，，，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【解析】
（1）
.
（2）……
……
-得:
,
19.（本小题满分12分）在中，角对应的边分别是,已知.
(I)求角的大小；
(II)若,,求△ABC的面积.
【答案】(I)；(II)
【解析】
试题分析：(I)由两角和的余弦公式可得到关于的二次函数，从而求得，则。
(II)由正弦定理及余弦定理可得到关于a,c的方程组，从而求得c的长，再由三角形的面积公式即可求解。
试题解析： (I)由，得
，即…………………………2分
解得……………………………………………………4分
因为，所以……………………………………………………………6分
(II)由又由正弦定理，得…………8分
由余弦定理，得,又，所以…………10分
20.（本小题满分12分）19．（本小题满分12分）
如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，
，平面平面，平面，点为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
20.（1）证明：∵△是等腰直角三角形，
，点为的中点，∴．
∵ 平面平面，
平面平面，
平面，
∴平面． …………4分
∵ 平面,∴ ∥． …………5分
∵ 平面,平面,
∴ ∥平面． …………6分
（2）法1：由（1）知∥平面,
∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离． …………7分
∵ ，△是等边三角形,点为的中点
∴ …………8分
∴ …………10分
…………12分
法2：由（1）知∥平面,
∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离． …………7分
过作，垂足为点，
∵ 平面,平面, ∴ ．
∵ 平面,平面,，
∴平面． …………9分
∵ ，△是等边三角形，
∴ ，，． …………10分
∴ ．
∴ 三棱锥的体积为． …………12分
21.已知定点Q（，0），P为圆N：上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M .
（Ⅰ）当P点在圆周上运动时，求点M (x，y) 的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程.
21.解：(Ⅰ)依题意可得：圆N的圆心坐标为N(, 0),半径为,|MP|=|MQ|, ………1分
则|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=＞|NQ| ……………………………………………2分
根据椭圆的定义，点M的轨迹是以N、Q为焦点，长轴长为的椭圆，
即2a=, 2c=，∴b=. …………………………………………3分
所以点M的轨迹C的方程为：. ……………………………………………4分
(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线l为y=kx+m, A(x1,y1), B(x2,y2)，联立直线与椭圆的方程，
得消去y并整理得. ……………………6分
因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以
△=，化简得： ① …………………7分
由韦达定理得：. ………………………………8分
∴ .
∵，∴ x1x2+y1y2=0，即 ， ………………………9分
整理得满足①式，∴，即原点到直线l为的距离是，
∴直线l与圆相切. ……………………………………………………10分
当直线的斜率不存在时, 直线为x=m, 与椭圆C交点为A(m,),B(m,) ∵, ∴.
此时直线为x=，显然也与圆相切. …………………………………11分
综上，直线l与定圆E：相切. …………………………………………12分
22.（本小题满分12分）已知函数,
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的取值范围.
【解析】
（1）依题意：的定义域为，，
当时，，在上单调递增，
当时，令，得，
令，得；令，得，
在上单调递增，在上单调递减。
（2）由得：，
当时，，满足题意；…………………………7分
当时，设，
在上单调递增，，不合题意；
当时，令得，
令得
，则，
综上所述，的取值范围为.
已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为
（I）求该双曲线方程.
（II）是否定存在过点，）的直线与该双曲线交于，两点，且点是线段 的中点？若存在，请求出直线的方程，若不存在，说明理由.