2019届二轮复习第1讲　三角函数的图象与性质课件（60张）（全国通用） 60页

第 1 讲　三角函数的图象与性质 专题一　三角函数、三角恒等变换与解三角形 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 1. 以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性 . 2 . 考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 1. 三角函数：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P ( x ， y ) ，则 sin α ＝ y ， cos α ＝ x ， tan α ＝ ( x ≠ 0). 各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦 . 2. 同角基本关系式： sin 2 α ＋ cos 2 α ＝ 1 ， 3. 诱导公式： 在 ＋ α ， k ∈ Z 的诱导公式中 “ 奇变偶不变，符号看象限 ”. 热点一　三角函数的概念、诱导公式及同角关系式 例 1 　 (1)(2018· 资阳三诊 ) 已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非 负 半 轴重合，终边经过点 P (2 ， 1) ， 则 等于 A. － 7 B . － C . D.7 解析 答案 √ 解析　 由角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P (2,1) ， 解析 答案 √ 解析 　 由 f ( x ) ＝ x 3 － 2 x 2 － x 可知 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 4 x － 1 ， ∴ tan α ＝ f ′ (1) ＝－ 2 ， ＝ ( － sin α ) 2 － 2cos 2 α － 3sin α cos α ＝ sin 2 α － 2cos 2 α － 3sin α cos α (1) 涉及与圆及角有关的函数建模问题 ( 如钟表、摩天轮、水车等 ) ，常常借助三角函数的定义求解 . 应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关 . (2) 应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等 . 思维升华 答案 解析 √ 解析　 由诱导公式可得， 由三角函数的定义可得， 解析 答案 √ ∴ － sin α ＝－ 2cos α ，即 sin α ＝ 2cos α ， 函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的图象 (1) “ 五点法 ” 作图： 热点二　三角函数的图象及应用 (2) 图象变换： 解析 答案 √ 解析　 由题意知，函数 f ( x ) 的最小正周期 T ＝ π ， 所以 ω ＝ 2 ， 即可得到 g ( x ) ＝ cos 2 x 的图象，故选 A. 解析 答案 所以 ω ＝ 2 ，即 f ( x ) ＝ 2sin(2 x ＋ φ ) ， (1) 已知函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ )( A >0 ， ω >0) 的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A ；由函数的周期确定 ω ；确定 φ 常根据 “ 五点法 ” 中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置 . (2) 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换 . 变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1 ，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向 . 思维升华 答案 解析 √ ∵ 平移后得到的函数图象与函数 y ＝ sin ωx 的图象重合， 解析 答案 2 1. 三角函数的单调区间 热点三　三角函数的性质 y ＝ cos x 的单调递增区间是 [2 k π － π ， 2 k π]( k ∈ Z ) ，单调递减区间是 [2 k π ， 2 k π ＋ π]( k ∈ Z ) ； 2. y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ，当 φ ＝ k π( k ∈ Z ) 时为奇函数； 当 φ ＝ k π( k ∈ Z ) 时为偶函数； 对称轴方程可由 ωx ＋ φ ＝ k π( k ∈ Z ) 求得 . y ＝ A tan( ωx ＋ φ ) ，当 φ ＝ k π( k ∈ Z ) 时为奇函数 . 解答 设 T 为 f ( x ) 的最小正周期，由 f ( x ) 的图象上相邻最高点与最低点的距离 为 ， 得 整理得 T ＝ 2π. 解答 又 ∵ x ∈ [0,2π] ， 函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的性质及应用类题目的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ＋ B 的形式； 第二步：把 “ ωx ＋ φ ” 视为一个整体，借助复合函数性质求 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) ＋ B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题 . 思维升华 解答 ∴ 2 ＋ a ＝ 1 ， 即 a ＝－ 1 ， ∴ 最小正周期为 T ＝ π. 解答 真题押题精练 1.(2018· 全国 Ⅰ ) 已知函数 f ( x ) ＝ 2sin x ＋ sin 2 x ，则 f ( x ) 的最小值 是 ______. 真题体验 答案 解析 解析　 f ′ ( x ) ＝ 2cos x ＋ 2cos 2 x ＝ 2cos x ＋ 2(2cos 2 x － 1) ＝ 2(2cos 2 x ＋ cos x － 1) ＝ 2(2cos x － 1)(cos x ＋ 1). ∵ cos x ＋ 1 ≥ 0 ， 又 f ( x ) ＝ 2sin x ＋ sin 2 x ＝ 2sin x (1 ＋ cos x ) ， 2.(2018· 全国 Ⅱ 改编 ) 若 f ( x ) ＝ cos x － sin x 在 [ － a ， a ] 上是减函数，则 a 的 最大 值是 ____. 答案 解析 解析　 f ( x ) ＝ cos x － sin x ∵ 函数 f ( x ) 在 [ － a ， a ] 上是减函数， ① 答案 解析 3 答案 解析 ∵ x ∈ [0 ， π] ， 押题预测 √ 答案 解析 押题依据 押题依据　 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错 . 解析　 由于函数 f ( x ) 图象的相邻两条对称轴之间的距离 为 ， 则其最小正周期 T ＝ π ， √ 答案 解析 押题依据 押题依据　 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求 A ，考查数形结合思想 . 解析　 由题意设 Q ( a, 0) ， R (0 ，－ a )( a >0). 解得 a 1 ＝ 8 ， a 2 ＝－ 4( 舍去 ) ， 押题依据　 三角函数解 答题 本 问的 常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程 ( 或对称中心 ) 等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式 . 解答 押题依据 解　 ∵ f ( x ) ＝ cos 4 x － 2sin x cos x － sin 4 x ＝ (cos 2 x ＋ sin 2 x )(cos 2 x － sin 2 x ) － sin 2 x ＝ cos 2 x － sin 2 x 由题意可得 x ∈ (0 ， π) ， 押题依据　 本 问 的常见形式是求解函数的值域 ( 或最值 ) ，特别是指定区间上的值域 ( 或最值 ) ，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式 . 解答 押题依据