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- 2023-11-12 发布
江西赣中南五校2017届高三第二学期期中联合考试“二联”
数学试卷（通用）
一、填空题（每空5分，共20分）
1.已知平面向量的夹角为，且，若，则______.
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______.
3.在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.
4.下图的矩形，长为，宽为，在矩形内随机地撒颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为_____.
二、选择题（每题5分,共60分.）
5.集合的真子集个数为( )
A． B． C. D．
6.已知集合，则等于（ ）
A． B． C. D．
7.设函数是上的奇函数，，当时，，则时，的图象与轴所围成图形的面积为（ ）
A． B． C. D．
8.定义在上的函数为减函数，且函数的图象关于点对称，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
9.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
10.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，
，则此球的表面积是（ ）
A． B． C. D．
11.在直角坐标系中，点，点到直线的距离分别为和，则符合条件的直线条数为（ ）
A． B． C. D．
12.直线与两条直线，分别交于、两点，线段的中点坐标为，那么直线的斜率是（ ）
A． B． C. D．
13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：
①当时，；②函数有个零点；③的解集为，
④，都有.其中正确命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
14.抛物线的焦点为，是上一点，若到的距离是到轴距离的两倍，且三角形的面积为（为坐标原点），则的值为
A． B． C. D．
15.李冶(1192-1279)，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居
讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为
亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：平方步为亩，圆周率按近似计算）
A．步、步 B．步、步 C. 步、步 D．步、步
6.已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是
A． B． C. D．
三、综合题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设为数列的前项和，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
18. 中央电视台为了解该卫视《朗读者》节目的收视情况，抽查东西两部各个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如下茎叶图所示其中一个数字被污损，
(1)求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率．
(2)随着节目的播出，极大激发了观众对朗读以及经典的阅读学习积累的热情，从中获益匪浅，现从观看节目的观众中随机统计了位观众的周均阅读学习经典知识的时间（单位：小时）与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：
年龄岁
周均学习成语知识时间（小时）
由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为岁观众周均学习阅读经典知识的时间．
19. 在三棱锥中，三条棱两两互相垂直，且，是边的中点.
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)设与平面所成的角为，二面角的大小为，分别求的值．
20. 在平面直角坐标，直线：经过椭圆的一个焦点，且点到直线的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)、、是椭圆上的三个动点与关于原点对称，且．问的面积是否存在最小
值？若存在，求此时点的坐标；若不存在，说明理由．
21. 已知函数.
(1)若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数在上为单调增函数，求的取值范围.
选考题部分（10分）
22.已知复数和，若，试求的取值范围.
23.设函数.
(1)若，求的解集；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围.
2016-2017高三年级期中联考数学参考答案
一、填空题
1. 2.
3. 4.利用几何概型
二、选择题
5.C 6.C 7.A 8.B 9.C 10.C 11.B 12.C 13.B 14.B 15.B 16.C
三、综合题
17.【考点】数列的求和；数列递推式.
【分析】(1)求出数列的首项，利用通项与和的关系，推出数列的等比数列，求解通项公式.
(2)利用错位相减法求解数列的和即可.
【解答】解:(1)当时，，易得.
当时，，
整理得，
∴，
∴数列构成以首项为，公比为的等比数列，
∴数列的通项公式.
(2)由(1)知,则，
则，①
∴，②
由①-②得：，
∴.
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力.
18.【考点】线性回归方程；茎叶图.
【分析】(1)求出基本事件的个数，即可求出概率；
(2)求出回归系数。可得回归方程.再预测年龄为岁观众周均学习成语知识时间.
【解答】解:(1)设被污损的数字为，则有种情况.
令，则.
∴东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有种情况，
其概率为.
(2).时，小时.
【点评】本题考查古典概型概率的计算，考查独立性检验知识的运用，属于中档题.
19.解:(1)取的中点,连结，
显然，
所以三角形是等边三角形.
所以异面直线与成角.
(2)过作，垂足为，
因为，
所以平面，所以，
所以平面，
则与平面所成的角.
因为，
所以平面，所以，
.
因为，
则二面角的大小为，
.
20.解：（1）对于直线：，令，得，
故焦点为，知.
点到直线的距离为：，得或（舍去），
∴，故椭圆的方程为.
（2）①当为长轴（或短轴）时，依题意，知点就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），
.
②当直线的斜率存在且不为时，设其斜率为，直线的方程为，
联立方程组，得.
由于，故为等腰三角形，为的中点，知，
∴直线的方程为，
同理可得.
∴，，
于是，
由于，
∴，等号当且仅当，即时取得.
∵.综合①②当时，有最小值.
此时，即.
∴点的坐标是.
21.解：（1）.
由题意知,代入得,经检验，符合题意.
从而切线斜率，切点为，
切线方程为.
（2）
因为在上为增函数，所以在上恒成立.
即在上恒成立.
当时，由得.
设,，.
所以当且仅当，即时，有最小值.
所以，所以.
所以的取值范围是.
22.解：∵，∴，
∴，消去得：，
∴，
∵，∴当时，.
当时，.所以的取值范围为：.
23.解：（1）若，则可化为.
即或，解得.
所以的解集为.
(2)对恒成立，
即对恒成立，
又因为在上单调递减，在上单调递增.
所以，解得，所以实数的取值范围为.