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- 2023-11-11 发布
东城区 2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学 2020.1
本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束
后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合 { | 1}A x x ≤ ， {|210}Bxxx ，那么 AB
(A) { | 1 2 }xx (B) { | 1 1}xx≤
(C) { |1 2 }xx≤ (D) { | 1 1}xx ≤
(2)复数 z= i( i 1) 在复平面内对应的点位于
(A) 第一象限 (B) 第二象限
(C) 第三象限 (D) 第四象限
(3)下列函数中，是偶函数，且在区间 (0 + )， 上单调递增的为
(A) 1y x
(B) lnyx
(C) 2 xy
(D) 1yx
(4)设 ,ab为实数，则“ 0ab”是“ ab ”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
(5)设 ,是两个不同的平面， ,mn是两条不同的直线，则下列结论中正确的是
(A) 若 m ， mn ，则 n ∥ (B) 若 ， ， n ，则
(C) 若 ， ，则 (D) 若∥ ， m ， n ，则 mn∥
(6)从数字 1,2,3,4,5 中，取出3 个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于 6，这样的三位数的个数为
(A) 7 (B) 9
(C) 10 (D) 13
(7)设， 是三角形的两个内角，下列结论中正确的是
(A) 若
2 ，则sinsin2 (B) 若 ，则 cos cos 2
(C) 若
2 ，则 sin sin 1 (D) 若 ，则 coscos1
(8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与 所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家 Dandelin 创立的双
球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于 的上方和下方，并且
与圆柱面和 均相切.给出下列三个结论：
- 1 -
①两个球与 的切点是所得椭圆的两个焦点；
②若球心距 12 4OO ，球的半径为 3 ，则所得椭圆的焦距为 2 ；
③当圆柱的轴与 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.
其中，所有正确结论的序号是
(A) ① (B) ② ③
(C) ① ② (D) ① ② ③
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
(9) 若双曲线
2
2 1x ym 与
22
132
xy有相同的焦点，则实数 m .
(10) 已知{ na }是各项均为正的等比数列， nS 为其前 项和，若 1 6a ， 2326aa，则 公比 q ____， 4 =S ____．
(11) 能说明“直线 0xym 与圆 22420xyxy 有两个不同的交点”是真命题的一个 m 的值为 .
(12) 在平行四边形 A B CD 中，已知
uuuruuuruuuruuur
ABACACAD ， 4AC
uuur
， 2BD
uuur
，则四边形 A B CD 的面积是____．
(13) 已知函数 ()2sin()(0)fxx ，.曲线 ()yfx 与直线 3y 相交，若存在相邻两个交点间的距离为
6
，则 的所有可能值为_____.
(14) 将初始温度为 0C的物体放在室温恒定为 3 0 C 的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第 n 次测量得到
的物体温度记为 nt ，已知 1 0Ct .已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为 k ）. 给
出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 ；(填写模型对应的序号）
① 1 30nn
n
kttt
； ② 1 (30)nnnttkt ； ③ +1 =(30)nntkt .
在上述模型下，设物体温度从5C上升到10C 所需时间为 mina ，从 上升到15C 所需时间为 minb ，
从 上升到 20C 所需时间为 minC ，那么 a
b
与 b
c
的大小关系是 .(用 “ ”， “ ”或 “ ”号填
空）
n
- 2 -
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(15)（本小题 13 分）
在△ ABC 中，已知 sin3cos0cAaC ．
（Ⅰ）求 C 的大小；
（Ⅱ）若 =2 2 3bc， ，求△ 的面积.
(16)（本小题 13 分）
2019 年 6 月，国内的 5G 运营牌照开始发放.从 2G 到 5G，我们国家的移动通信业务用了不到 20 年的时间，完
成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对 5G 的消费意愿，2019 年 8 月，从某地在校大学生中随机
抽取了 1000 人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：
用户分类 预计升级到 5G 的时段 人数
早期体验用户 2019 年 8 月至 209 年 12 月 270 人
中期跟随用户 2020 年 1 月至 20121 年 12 月 530 人
后期用户 2022 年 1 月及以后 200 人
我们将大学生升级 5G 时间的早晚与大学生愿意为 5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早
期体验用户中愿意为 5G 套餐多支付 5 元的人数占所有早期体验用户的 40%).
（I）从该地高校大学生中随机抽取 1 人，估计该学生愿意在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的概率；
（II）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中愿意为升级 5G 多支付 10 元或
10 元以上的人数，求 的分布列和数学期望；
（III）2019 年底，从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 5G 套餐，能否认为样本中早期体验用
户的人数有变化？说明理由.
- 3 -
(17)（本小题 14 分）
如图，在三棱柱 111A B C A B C 中， 1BB 平面 ABC ， A B B C ， 1 2AAABBC ．
（Ⅰ）求证： 1BC 平面 11A B C ；
（Ⅱ）求异面直线 1BC 与 1AB 所成角的大小；
（Ⅲ）点 M 在线段 上，且 1
1
((0,1))BM
BC ，点 N 在线段 1AB 上，
若 MN ∥ 平面 11A ACC ，求 1
1
AN
AB
的值(用含 的代数式表示)．
(18)（本小题 13 分）
已知函数 321()3() 3fxxxaxa R .
（Ⅰ）若 ()fx在 1x 时，有极值，求 a 的值；
（Ⅱ）在直线 1x 上是否存在点 P ，使得过点 至少有两条直线与曲线 ()y f x 相切？若存在，求出 点坐标；若
不存在，说明理由.
(19)（本小题 14 分）
已知椭圆
2
2
2:1xCya 1a 的离心率是 2
2
．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知 1F ， 2F 分别是椭圆 的左、右焦点，过 作斜率为 k 的直线 l ，交椭圆 于 ,AB两点，直线 11,FAFB
分别交 y 轴于不同的两点 ,MN. 如果 1M F N 为锐角，求 的取值范围．
(20)（本小题 13 分）
已知数列 na ，记集合 1( , )( , ),1, , iijTS i j S i jaaaij i j
N≤L ．
（Ⅰ）对于数列 na ：1234，，， ，写出集合T ；
（Ⅱ）若 2nan ，是否存在 ,ij N ，使得 ( , ) 1024S i j ？若存在，求出一组符合条件的 ,ij；若不存在，说
明理由；
（III）若 22nan，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 12: mB b b b， ， ， ，LL. 若 2020mb ，求
m 的最大值．
- 4 -
东城区 2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案及评分标准 2020.1
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
（1）D （2）C （3）B （4）A
（5）B （6）C （7） A （8）C
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（9） 4 （10） 1 45
24
（11） 0 （答案不唯一） （12） 4
（13） 2 或 10 （14）②
三、解答题（共 6 小题，共 80 分）
（15）（共 13 分）
解：（Ⅰ）由正弦定理可得sinsin3 cossin=0CACA .
因为 s in 0A ， 所以 ta n 3 .C
又因为0 C ,
所以 2π= 3C . ...................................................................................................7 分
（Ⅱ）由正弦定理得
32sin1 2sin= 223
bCB c
,
又因为0 3B ，
所以 π π,66BABC .
所以△ ABC 的面积 1 1 1sin 2 2 3 32 2 2S bc A . ................................................13 分
（16）（共 13 分）
解：（Ⅰ）由题意可知，从高校大学生中随机抽取 1 人，该学生在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的概率估计为样本
中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即 270 530 0.81000 1000. ..............................3 分
（II）由题意 X 的所有可能值为 0,1,2.
记事件 A 为“从早期体验用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上”，
事件 B 为“从中期跟随用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上”，
由题意可知，事件 ，AB相互独立，且
- 5 -
()140%0.6PA ， ()145%0.55PB ，
所以 (0)()(10.6)(10.55)0.18PX=PAB ，
(1)()()()
()(1())(1()()
0.610.5510.6)0.55
0.49
PXPAB+ABPABPAB
PAPBPAPB
（ ）（
，
()()0.60.550.33.PX=2PAB
所以 X 的分布列为
0 1 2
P 0.18 0 .4 9 0.33
故 的数学期望 00.1810.4920.331.15（ ）EX . ……………10 分
（III）设事件 D 为“从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 5G 套餐”，那么
3
270
3
1000
()0.02.CPD C
回答一：事件 虽然发生概率小，但是发生可能性为 0 .0 2 ，所以认为早期体验用户没有发生变化.
回答二：事件 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加. ……………13 分
（17）（共 14 分）
解：（Ⅰ）在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，由于 1BB 平面 ABC ，
所以 1BB 平面 111A B C ．又 1BB 平面 11B B C C ，
所以平面 平面 ，交线为 11BC .
又因为 ABBC ，
所以 1 1 1 1A B B C ．
所以 11AB 平面 ．
因为 1BC 平面 ，
所以 1 1 1.A B BC
又因为 1 2BB BC，
所以 11B C BC ．
又 11AB 11B C B ,
所以 1BC 平面 11A B C ． …………5 分
- 6 -
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 1BB 底面 ABC ， A B B C ．
如图建立空间直角坐标系 B x y z ．由题意得 (0 ,0 ,0 )B ， (2 ,0 ,0 )C ， 1 (0 ,2 ,2 )A ， 1 (0 ,0 ,2 )B ．
所以 1 (2 ,0 , 2 )BC
u u ur
， 1 (0 , 2 , 2 )AB
u u ur
．
所以 11
11
11
1cos, 2||||
A BB CA BB C
BAB C
uuuruuuruuuruuur
uuuruuur ．
故异面直线 1BC 与 1AB 所成角的大小为
3
． …………9 分
（Ⅲ）易知平面 11A A C C 的一个法向量为 (1, 1,0 )n ，
由 1
1
BM
BC ，得 (2,0,22).M
设 1
1
AN
AB ，得 (0 , 2 2 , 2 2 )N ，
则 (2, 22, 22)MN
因为 //MN 平面 ，所以 0MN
n ，
即 (2, 22, 22) (1,1, 0)0 ，
解得 1 ．
所以 1
1
1AN
AB ． …………14 分
（18）（共 13 分）
解：(Ⅰ) 因为 321( ) 33f x x x ax ，
所以 2 23f x x x a .
由 ()fx在 1x 时，有极值得 11230fa ，
解得 1a .
经检验， 时， 有极值.
综上， 1a . ……………4 分
（Ⅱ）不妨设在直线 1x 上存在一点 (1,)Pb，
设过点 P 与 ()y f x 相切的直线为l ，切点为 00( , )xy，
则切线 方程为 3 2 2
0 0 0 0 0 0
1 3 ( 2 3 )( )3y x x ax x x a x x .
- 7 -
又直线 l 过 (1, )Pb，有 322
000000
1 3(23)(1)3bxxaxxxax ，
即 32
000
2 2+2303 xxxab .
设 322()2233gxxxxab ，
22'()2422(1)0gxxxx .
所以 ()gx在区间 ( , ) 上单调递增，
所以 ( ) 0gx 至多有一个解.
过点 P 与 ()y f x 相切的直线至多有一条.
故在直线 1x 上不存在点 P ，使得过 至少有两条直线与曲线 ()y f x 相切. ………………13 分
（19）（共 14 分）
解：（Ⅰ）由题意 2
222
2
2
1
c
a
b
abc
，
，
，
解得 2 2a .
所以椭圆 C 的方程为
2
2 1.2
x y
…………4 分
（Ⅱ）由已知直线 l 的斜率不为 0.
设直线 方程为 1ykx.直线 l 与椭圆 C 的交点为 1122,,,AxyBxy .
由
2
2
1
12
ykx
x y
，
得 2 2 2 22 1 4 2 2 0k x k x k .
由已知，判别式 0 恒成立，且
22
121 2 22
422 ,.2121
kkxxx x kk
①
直线 1FA的方程为 1
1
11
yyxx
，令 0x ，则 1
1
(0 ,) 1
yM x
.
同理可得 2
2
(0,) 1
yN x
.
所以
2
1212
11
1212
11111111
k xxyyF M F N xxxx
uuuur uuur
2 2 22
1 2 1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 111 11
k x x k x x kk x x x x
x x x x x x x x
.
将①代入并化简，得
- 8 -
2
11 2
71
81
kFMFN k
uuuuruuur
.
依题意， 1M F N 我锐角，所以 110F M F N，即
2
11 2
71081
kF MFN k
uuuuruuur
.
解得 2 1
7k 或 2 1
8k .
综上，直线 l 斜率的取值范围是 7227(,)(, 0)(0 ,)(,)7447 UUU . ....................14 分
（20）（共 13 分）
解：（Ⅰ） =3567910T ，，，，， . …………………………………………………………………3 分
（Ⅱ）假设存在ij N， ，使得 ( )=1024S i j， ，则有
1102422(1)2(1)() LLiijaaaiijjiij ，
由于 ij 与 ji 奇偶性相同，
所以 与 1ji 奇偶性不同.
又因为 3ij ≥ ， 12ji≥ ，
所以 1024 必有大于等于 3 的奇数因子，
这与 1024 无 1 以外的奇数因子矛盾.
故不存在 ，使得 ()=1024Sij ， 成立. …………………………8 分
（Ⅲ）首先证明 nan 时，对任意的 m N 都有 2t
mbtN， .
若 ,ij N ，使得： (1)()(1)2 2L tjiijiij ，
由于 1ji与 均大于 2 且奇偶性不同，所以 1(1)()2 tjiij 不成立.
其次证明除 2 ( )t t N 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和.
若正整数 2 (21)thk，其中t N ， k N .
当 1221t k 时，由等差数列的性质有：
(2 1)
2 2 2 =(2 ) (2 1) 2 (2 1) (2 )t t t t t t t t
k
h k k
个
L L L144444424444443
此时结论成立.
当 12 2 1t k 时，由等差数列的性质有： - 9 -
2
(21)(21)(21)
=(21)(1)(1)(2)(2 ),
t
tt
hkkk
kkkkkk
个
L14444444444444244444444444443
LL
此时结论成立.
对于数列 22nan. 此问题等价于数列 0123 n，， ， ， ， ，LL，其相应集合 T 中满足： 1010nb 有多
少项.
由前面的证明可知正整数 248163264128256512，，， ， ， ， ， ， 不是集合 T 中的项，
所以 n 的最大值为 1001 . .............................13 分
- 10 -