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- 2023-11-11 发布
高中数学必修一同步训练及解析
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )
A．y＝100x
B．y＝log100x
C．y＝x100
D．y＝100x
解析：选
D.由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y＝100x的增长速度最快．
2．某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则( )
A．a＞b
B．a＜b
C．a＝b
D．无法判断
解析：选A.∵b＝a(1＋10%)(1－10%)＝a(1－)，
∴b＝a×，∴b＜a.
3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个…这样，一个细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是________．
解析：该函数关系为y＝2x，x∈N*.
答案：y＝2x(x∈N*)
4．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动．某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，有两种方案如下：
方案一：每年植树1万平方米；
方案二：每年树木面积比上年增加9%.
你觉得方案________较好．
解析：方案一：5年后树木面积是10＋1×5＝15(万平方米)．
方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)．
∵15.386>15，∴方案二较好．
答案：二
[A级 基础达标]
1．马先生于两年前购买了一部手机，现在这款手机的价格已降为1000元，设这种手机每年降价20%，那么两年前这部手机的价格为( )
A．1535.5元
B．1440元
C．1620元
D．1562.5元
解析：选D.设这部手机两年前的价格为a，则有a(1－0.2)2＝1000，解得a＝1562.5元，故选D.
2．为了改善某地的生态环境，政府决心绿化荒山，计划第一年先植树0.5万亩，以后每年比上年增加1万亩，结果第x年植树亩数y(万亩)是时间x(年数)的一次函数，这个函数的图象是( )
解析：选A.当x＝1时，y＝0.5，且为递增函数．
3．某动物数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，设第一年有100只，则到第七年它们发展到( )
A．300只
B．400只
C．500只
D．600只
解析：选A.由已知第一年有100只，得a＝100，将a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.
4．某汽车油箱中存油22 kg，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩余量y(kg)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为__________．
解析：流速为＝，x分钟可流x.
答案：y＝22－x
5．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满，这样继续下去，则所倒次数x和酒精残留量y之间的函数关系式为________．
解析：第一次倒完后，y＝19；
第二次倒完后，y＝19×＝；
第三次倒完后，y＝19××＝；
…
第x次倒完后，y＝＝20×x.
答案：y＝
6．某商家有一种商品，成本费为a元，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5无，试就a的取值说明这种商品是月初售出好，还是月末售出好？
解：已知商品的成本费为a元，则若月初售出，到月末共获利润为：
y1＝100＋(a＋100)×2.4%＝0.024a＋102.4，
若月末售出，可获利y2＝120－5＝115(元)，
y1－y2＝0.024a－12.6＝0.024(a－525)．
故当成本a大于525元时，月初售出好；
当成本a小于525元时，月末售出好；
当成本a等于525元时，月初、月末售出获利相同．
[B级 能力提升]
7．某人将5万元存入银行，年利率6%，按复利计算利息，4年后支取，可得利息为( )
A．5(1＋0.06)4万元
B．(5＋0.06)4万元
C．5(1＋0.06)4－5万元
D．5(1＋0.06)3－5万元
解析：选C.4年后的本息和为5(1＋0.06)4，去掉本金5万元得利息5(1＋0.06)4－5(万元)，故选C.
8．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )
解析：选D.设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.
9．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12000米/秒时，
2000·ln＝12000，
∴ln＝6，
∴＝e6－1.
答案：e6－1
10．某工厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台．现销售给A地10台，B地8台，已知从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为400元和800元，从乙地调运1台至A地、B地的运费分别为300元和500元．
(1)设从乙地调运x台至A地，求总运费y关于x的函数关系式；
(2)若总运费不超过9000元，问共有几种调运方案；
(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．
解：(1)依题意，得
y＝400×(10－x)＋800×[12－(10－x)]＋300x＋500×(6－x)，
即y＝200(x＋43)(0≤x≤6，x∈Z)．
(2)由y≤9000，解得x≤2，
又∵x∈Z,0≤x≤6，∴x＝0,1,2.
∴共有三种调运方案．
(3)由一次函数的单调性知，当x＝0时，总运费y最低，ymin＝8600(元)．
即从乙地调6台给B地，甲地调10台给A地、调2台给B地的调运方案的总运费最低，最低运费为8600元．
11．人们对声音有不同的感觉，这与它的强度I(单位：W/m2)有关系．但在实际测量时，常用声音的强度水平L1(单位：dB)表示，它满足公式：L1＝10·lg(L1≥0，其中I0＝1×10－12 W/m2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．根据以上材料，回答下列问题：
(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语声的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播声的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)在某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50 dB以下，试求声音的强度I的范围是多少？
解：(1)由题意可知，树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12W/m2，则＝1，所以LI1＝10lg1＝0，则树叶沙沙声的强度水平为0 dB；
耳语声的强度是I2＝1×10－10 W/m2，则＝102，
所以LI2＝10lg102＝20，即耳语声的强度水平为20 dB；
恬静的无线电广播声的强度是I3＝1×10－8 W/m2，
则＝104，所以LI3＝10lg104＝40，
即恬静的无线电广播声的强度水平为40 d
B.
(2)由题意知，0≤L1<50，即0≤10lg<50，
所以1≤<105，即10－12≤I<10－7.所以小区内公共场所的声音的强度I的范围为大于或等于10－12 W/m2，同时应小于10－7 W/m2.