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- 2023-11-09 发布
奋斗中学2018-2019学年第一学期期末考试
高二数学（理）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．①某学校高二年级共有526人，为了调查学生每天用于休息的时间，决定抽取10%的学生进行调查；②一次数学考试中，某班有10人的成绩在100分以上，32人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关情况；③运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这三件事，恰当的抽样方法分别为( )
A．分层抽样，分层抽样，简单随机抽样
B．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样
C．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样
D．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样
2．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗小玻璃球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )
A． B． C． D．
3．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为( )
A． B． C． D． (k∈Z)
4．极坐标方程所表示的曲线是（ ）
A．一条直线 B．一个圆 C．一条抛物线 D．一条双曲线
5．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是 ( )
A．不存在x0∈R,2x0>0 B．存在x0∈R,2x0>0
C．对任意的x∈R, 2x≤0 D．对任意的x∈R,2x>0
6．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程是 ( )
A． B．
C． D．
7．有60件产品，编号为01至60，现从中抽取5件检验，用系统抽样的方法所确定的抽样编号为（ ）
A． 5, 17, 29, 41, 53 B． 5, 12, 31, 39, 57
C． 5, 15, 25, 35, 45 D． 5, 10, 15, 20, 25
8．“”是“”的( )
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
9．双曲线x2－4y2＝4的焦点坐标为( )
A． (±，0) B． (0，±)
C． (0，±) D． (±，0)
10.从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是（ ）
A. 1 B. C. D.
11．在长为10 cm的线段AB上任取一点G,以AG为半径作圆,则圆的面积介于36π与64π cm2的概率是( )
A． B． C． D．
12．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空5分，共20分）
13．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位
数相同，则甲组数据的平均数为______________．
14．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．
15．执行如图所示的程序框图，则输出的S为________．
16．设y＝f(x)是定义在R上的函数，给定下列条件：
①y＝f(x)为偶函数．
②y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．
③T＝2为y＝f(x)的一个周期．
如果将上面的①②③中的任意两个作为条件，余下一个作为结 论，那么构成的三个命题中，真命题有________个．
三、解答题（共70分）
17.（10分）高一军训时，某同学射击一次，命中10环，9环，8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.
(1)求射击一次，命中10环或9环的概率；
(2)求射击一次，至少命中8环的概率；
(3)求射击一次，命中环数小于9环的概率．
18.（12分）设方程（为参数）表示曲线.
（1）写出曲线的普通方程，并说明它的轨迹；
（2）求曲线上的动点到坐标原点距离的最小值.
参考公式
19．某研究机构对某校高二文科学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据．
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
20.某中学为弘扬优良传统，展示80年来的办学成果，特举办“建校80周年教育成果展示月”
活动。现在需要招募活动开幕式的志愿者，在众多候选人中选取100名志愿者，为了在志愿者中选拔出节目主持人，现按身高分组，得到的频率分布表如图所示
（1）请补充频率分布表中空白位置相应数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；
（2）为选拔出主持人，决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台，求第3、4、 5组每组各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，主持人会在上台的6人中随机抽取2人表演诗歌朗诵，求第3组至少有一人被抽取的概率？
21.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,异面直
线 A1B与B1C1所成的角为60°.
(1)求该三棱柱的体积;
(2)设D是BB1的中点,求DC1与平面A1BC1所成角的正弦值.
22．如右图所示，直线经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线
相交于A，B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值.
奋斗中学2018-2019学年第一学期期末考试
高二数学（理）答案
1．D 2．A 3．C 4．C 5．D 6．C 7．A 8．A 9．D 10.C 11.D 12.D
13．31 14．4 15．86. 16．3
17设事件“射击一次，命中i环”为事件Ai(0≤i≤10，且i∈N)，且Ai两两互斥．
由题意知P(A10)＝0.13，P(A9)＝0.28，P(A8)＝0.31.
(1)记“射击一次，命中10环或9环”的事件为A，那么P(A)＝P(A10)＋P(A9)＝0.13＋0.28＝0.41.
(2)记“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么P(B)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＝0.13＋0.28＋0.31＝0.72.
(3)记“射击一次，命中环数小于9环”的事件为C，则C与A是对立事件，
∴P(C)＝1－P(A)＝1－0.41＝0.59.
18.（1）∵
∴两式平方相加，得，
∴曲线的普通方程是，
它表示以为圆心，1为半径的圆.
（2）设圆上的动点为，
则
，
∴当时，.
(1)散点图如图所示．
(2)＝＝9，＝＝4，
(xi－)(y－)＝(－3) ×(－2)＋(－1) × (－1)＋1×1＋3×2＝14
(xi－)2＝(－3)2＋(－1)2＋1＋32＝20，所以＝＝0.7，
＝－＝4－0.7×9＝－2.3，
故线性回归方程为＝0.7x－2.3.
20．第二组的频数为，故第三组的频数为，故第三组的频率为，第五组的频率为，补全后频率分布表为：
组号
分组
频数
频率
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
合计
100
1
频率分布直方图为：
（2）第三组、第四组、第五组的频率之比，故第三组、第四组、第五组抽取的人数分别为.
（3）设第三组中抽取的三人为，第四组中抽取的两人为，第五组中抽取的一人为，则6人中任意抽取两人，所有的基本事件如下：
，
故第三组中至少有1人被抽取的概率为.
21．(1)如图,以A点为原点,为x,y,z轴正方向,建立空间直角坐标系.
设AA1=h,则B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,h),则=(-1,0,h),=(-1,1,0).
因为直线A1B与B1C1所成的角为60°,所以|cos<>|=,解得h=1.于是三棱柱体积V=Sh=×1×1=.
(2)由(1)知=(-1,0,1),C1(0,1,1),=(-1,1,1).
设平面A1BC1的法向量n=(x,y,z),则可取n=(1,0,1).
又因为D.于是sin θ=|cos<,n>|=,
所以DC1与平面A1BC1所成角的正弦值为.
22．由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)．如图，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为点A′，B′.（1）由抛物线的定义可知，．
∵|AF|＝4，∴，∴∴．
∴点A的坐标为或．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去y，整理得，因为直线与抛物线相交于A，B两点，所以k≠0.
设方程的两根为x1，x2，则，
由抛物线的定义可知，．
②当直线的斜率不存在时，则直线的方程为x＝1，与抛物线相交于点A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4.综上可得|AB|≥4，所以线段AB的长的最小值为4．