2020版高考数学一轮复习（讲义·理） 第10章 计数原理概率随机变量及其分布 12页

第9讲　离散型随机变量的均值、方差和正态分布 ‎[考纲解读]　1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，并能根据分布列正确求出期望与方差，并能解决一些实际问题．(重点、难点)‎ ‎2.借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，掌握正态曲线的相关性质，并能进行正确求解．‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点题型. 预计2020年将会考查：①与分布列相结合求期望与方差，通过设置密切贴近现实生活的情景，考查概率思想的应用意识和创新意识；②正态分布的考查，尤其是正态总体在某一区间内的概率. 题型为解答题中的一问，试题难度不会太大，属中档题型.‎ ‎1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎ (1)均值：称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．‎ ‎(2)D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．‎ ‎2．均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；‎ ‎(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．‎ ‎3．两点分布与二项分布的均值、方差 ‎4．正态曲线 ‎(1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)．‎ ‎(2)正态曲线的特点 ‎①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；‎ ‎②曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称；‎ ‎③曲线在x＝μ处达到峰值；‎ ‎④曲线与x轴之间的面积为1；‎ ‎⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；‎ ‎⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．‎ ‎5．正态分布 ‎(1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b(a1.75，则p的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　根据题意，学生一次发球成功的概率为p，即P(X＝1)＝p，发球二次的概率P(X＝2)＝p(1－p)，发球三次的概率P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，依题意有E(X)>1.75，则p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，结合p 的实际意义，可得00)，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不及格(低于90分)的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为(　　)‎ A．400 B．500 C．600 D．800‎ 答案　A 解析　∵P(X≤90)＝P(X≥110)＝，‎ ‎∴P(90≤X≤110)＝1－2×＝，‎ ‎∴P(100≤X≤110)＝，‎ 则成绩在100分到110分之间的人数为1000×＝400.故选A.‎ 条件探究　若将举例说明1中“正方形”改为“矩形”，“X～N(1,1)”变为“X～N(－1,1)，阴影部分如图所示”，则结果如何？‎ 解　对于正态分布N(－1，1)，可知μ＝－1，σ＝1，正态曲线关于直线x＝－1对称，故题图中阴影部分的面积为×[P(－30)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有(　　)‎ A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2‎ C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ2‎ 答案　A 解析　μ反映正态分布的平均水平，x＝μ是正态曲线的对称轴，由图知μ1<μ2，σ反映正态分布的离散程度，σ越大，曲线越“矮胖”，表明越分散，σ越小，曲线越“高瘦”，表明越集中，由图知σ1<σ2.‎ ‎2．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150分．‎ ‎(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概率；‎ ‎(2)若这次考试共有2000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数．‎ 解　(1)由ξ～N(100,100)，知μ＝100，σ＝10.‎ ‎∴P(80<ξ≤120)＝P(100－20<ξ≤100＋20)＝0.9544，‎ 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.9544.‎ ‎(2)P(90<ξ≤110)＝P(100－10<ξ≤100＋10)＝0.6826，‎ ‎∴P(ξ>110)＝×(1－0.6826)＝0.1587，‎ ‎∴P(ξ≥90)＝0.6826＋0.1587＝0.8413.‎ ‎∴估计及格人数约为2000×0.8413≈1683.‎ 高频考点　均值、方差的计算和实际应用 考点分析　离散型随机变量的均值、方差是高考大题的必考题型之一．通常以实际问题为背景，综合考查概率计算、求分布列，计算均值、方差还应特别注意与函数知识的综合问题．‎ ‎[典例]　(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．‎ ‎(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ 解　(1)由题意知，X所有可能取值为200,300,500，由表格数据知P(X＝200)＝＝0.2，‎ P(X＝300)＝＝0.4，‎ P(X＝500)＝＝0.4.‎ 因此X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500.‎ 当300≤n≤500时，‎ 若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n；‎ 若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n.‎ 因此E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.‎ 当200≤n＜300时，‎ 若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；‎ 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，‎ 因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.‎ 所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．‎