2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§9-4　双曲线（讲解部分） 17页

§9.4 双曲线 高考数学 考点一　双曲线的定义和标准方程 1.定义 在平面内到两定点 F 1 , F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于| F 1 F 2 |且大于 零)的点的轨迹叫做双曲线,定点 F 1 , F 2 叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离 叫做焦距. 考点清单 注意　(1)设双曲线上的点 M 到两焦点 F 1 , F 2 的距离之差的① 　绝对值     为2 a ,即|| MF 1 |-| MF 2 ||=2 a ,其中0<2 a <| F 1 F 2 |,这一条件不能忽略. a.若2 a =| F 1 F 2 |,则点 M 的轨迹是分别以 F 1 , F 2 为端点的两条射线; b.若2 a >| F 1 F 2 |,则点 M 的轨迹不存在; c.若2 a =0,则点 M 的轨迹是线段 F 1 F 2 的垂直平分线. (2)若将双曲线定义中的“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉,则 点的集合是双曲线的一支,具体是左支(上支)还是右支(下支)视情况而定. 2.标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为②        -   =1( a > 0, b >0)     ; (2)中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为   -   =1( a >0, b > 0）. 注意　(1)焦点位置的判断:在双曲线的标准方程中,看 x 2 项与 y 2 项的系数正 负,若 x 2 项的系数为正,则焦点在 x 轴上;若 y 2 项的系数为正,则焦点在 y 轴上,即 “焦点位置看正负,焦点随着正的跑”. (2) a , b , c 满足③      c 2 = a 2 + b 2      ,即 c 最大( c 为半焦距). 考点二　双曲线的几何性质 标准方程   -   =1( a >0, b >0)   -   =1( a >0, b >0) 一般方程 mx 2 + ny 2 =1( mn <0)         范围 | x | ≥ a , y ∈R | y | ≥ a , x ∈R 焦点 F 1 (- c ,0), F 2 ( c ,0) F 1 (0,- c ), F 2 (0, c ) 顶点 A 1 (- a ,0), A 2 ( a ,0) A 1 (0,- a ), A 2 (0, a ) 对称性 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点对称 实、虚轴长 线段 A 1 A 2 叫做双曲线的实轴,它的长| A 1 A 2 |=2 a ;线段 B 1 B 2 叫做双曲线的虚轴,它的长| B 1 B 2 |=2 b ( a 叫做双曲线的实半轴长, b 叫做双曲线的虚半轴长) 焦距 焦距| F 1 F 2 |为2 c , c 是半焦距 离心率 e =   =④             ( e >1) 渐近线 方程 y = ±   x ⑤      y = ±   x      拓展延伸　1.通径:过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为   . 2.焦点三角形的面积: P 为双曲线上的点, F 1 , F 2 为双曲线的两个焦点,且∠ F 1 PF 2 = θ ,则△ F 1 PF 2 的面积为   .   3.焦点到渐近线的距离为 b . 4.(1)等轴双曲线:实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线. (2)双曲线为等轴双曲线 ⇔ 双曲线离心率 e =   ⇔ 两条渐近线互相垂直. 5.设 P , A , B 是双曲线(焦点在 x 轴上)上的三个不同的点,其中 A , B 关于原点对 称,则直线 PA 与 PB 的斜率之积为   . 6.若 P 是双曲线右支上一点, F 1 、 F 2 分别为双曲线的左、右焦点,则| PF 1 | min = a + c ,| PF 2 | min = c - a . 7.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦),其长为   ,异 支的弦中最短的为实轴,其长为2 a . 8. P 是双曲线   -   =1( a >0, b >0)右支上不同于实轴端点的任意一点, F 1 , F 2 分 别为双曲线的左、右焦点, I 为△ PF 1 F 2 内切圆的圆心,则圆心 I 的横坐标恒为 定值 a . 9.共轭双曲线的性质:(1)它们有共同的渐近线;(2)它们的四个焦点共圆;(3) 它们的离心率的倒数的平方和等于1. 考法一 　求双曲线方程的方法 知能拓展 例1　 设双曲线与椭圆   +   =1有共同的焦点,且与椭圆相交,其中一个交 点的坐标为(   ,4),则此双曲线的标准方程是 　　　　　　     . 解题导引 　要求双曲线的标准方程,应先看焦点所在坐标轴,再确定 a , b 的 值,即先定型,再定量.结合题设,焦点已知且在 y 轴上,并且过点 P (   ,4),求 出 P 到两焦点距离,用定义求即可;还可以设出标准方程,用待定系数法求 解;这两种方法是求双曲线标准方程的通用方法. 解析     解法一:椭圆   +   =1的焦点坐标是(0, ± 3),设双曲线方程为   -   = 1( a >0, b >0),根据双曲线的定义知2 a =|   -   |= 4,故 a =2.又 b 2 =3 2 - a 2 =5,故所求双曲线的标准方程为   -   =1. 解法二:椭圆   +   =1的焦点坐标是(0, ± 3).设双曲线方程为   -   =1( a > 0, b >0),则 a 2 + b 2 =9①,又点(   ,4)在双曲线上,所以   -   =1②,联立①②,解 得 a 2 =4, b 2 =5.故所求双曲线的标准方程为   -   =1. 答案        -   =1 例2 　已知双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的右焦点为 F ,点 B 是虚轴的一个端 点,线段 BF 与双曲线 C 的右支交于点 A ,若   =2   ,且|   |=4,则双曲线 C 的 方程为(　　) A.   -   =1　    B.   -   =1　    C.   -   =1　    D.   -   =1 思路导引　 本题与例1的不同点在哪儿?这儿给出了两个条件   =2   ,|   |=4,要求出方程,必求 a , b 的值,已知中的每个条件应得出关于 a , b 的方程,联 立求出 a , b 的值. 方法总结 　1.定义法:根据已知条件,若所求轨迹满足双曲线的定义,则利用 双曲线的定义求出参数 a , b 的值,从而得到轨迹方程. 2.待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准 方程,利用题目条件构造关于 a , b 的方程(组),解得 a , b 的值,即可求得方程. 解析 　不妨设 B (0, b ), A ( x , y ),由   =2   , F ( c ,0),得   =( x -0, y - b ),   =( c - x ,0- y ), ∴( x , y - b )=2( c - x ,- y ),即   ∴   可得 A   ,代入双曲线 C 的方 程可得   ×   -   =1,即   ·   =   ,∴   =   .① 又|   |=   =4, c 2 = a 2 + b 2 ,∴ a 2 +2 b 2 =16.② 由①②可得, a 2 =4, b 2 =6, ∴双曲线 C 的方程为   -   =1,故选D. 答案     D 方法总结 　双曲线与向量等知识结合时,根据已知条件列出方程(组),这实 质上也是待定系数法. 考法二 　求双曲线的离心率(或取值范围)的方法 例3     (2018课标Ⅲ,11,5分)设 F 1 , F 2 是双曲线 C :   -   =1( a >0, b >0)的左,右焦 点, O 是坐标原点.过 F 2 作 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 P .若| PF 1 |=   | OP |, 则 C 的离心率为   (　　) A.   　    B.2　    C.   　    D.   解析 　解法一:如图所示,由已知条件知直线 OP 的方程为 y =   x ,   直线 PF 2 的斜率为-   ,且直线 PF 2 过点 F 2 ,则其方程为 y -0=-   ( x - c ),联立得方程 组   求得 P   ,因此| OP |=   = a , 又 F 1 (- c ,0),∴| PF 1 |=   =   , 又∵| PF 1 |=   | OP |,∴   =   a ,∴ c 2 =3 a 2 ,   =3, e 2 =3,∴ e =   ,故选C. 解法二:点 F 2 ( c ,0)到渐近线 y =   x 的距离| PF 2 |=   = b ( b >0),而| OF 2 |= c ,所 以在Rt△ OPF 2 中,由勾股定理可得| OP |=   = a ,所以| PF 1 |=   | OP |=   a . 在Rt△ OPF 2 中,cos∠ PF 2 O =   =   , 在△ F 1 F 2 P 中,cos∠ PF 2 O =   =   , 所以   =   ⇒ 3 b 2 =4 c 2 -6 a 2 ,则有3( c 2 - a 2 )=4 c 2 -6 a 2 , 解得   =   (负值舍去),即 e =   .故选C. 答案     C 例4     (2018广东惠州一调,12)已知 F 1 , F 2 是双曲线   -   =1( a >0, b >0)的两个焦点,过其中一个焦点且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M ,若点 M 在以线段 F 1 F 2 为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是 (　　) A.(1,2)　    B.(2,+ ∞ ) C.(1,   )　    D.(   ,+ ∞ ) 解题导引 　求离心率的范围,关键是结合已知条件将几何条件代数化,如何 应用点 M 在圆内呢? M 的坐标可由联立两直线方程求出,点 M 在圆内,即点 M 到圆心的距离小于半径,列出不等式,求解不等式,即得离心率的范围,同时 不要忘记双曲线的离心率大于1. 解析 　如图,不妨设 F 1 (0, c ), F 2 (0,- c ),则过点 F 1 与渐近线 y =   x 平行的直线为 y =   x + c ,由   解得   即 M   .因为 M 在以线段 F 1 F 2 为直径 的圆 x 2 + y 2 = c 2 内,所以   +   < c 2 ,化简得 b 2 <3 a 2 ,即 c 2 - a 2 <3 a 2 ,即   <4,解得   <2,又双曲线的离心率 e =   >1,所以双曲线离心率的取值范围是(1,2).故选A.   答案     A 方法总结     1.求 a 及 b 或 c 的值,由 e 2 =   =   =1+   求 e . 2.列出含有 a , b , c 的齐次方程(或不等式),借助于 b 2 = c 2 - a 2 消去 b ,然后转化成关 于 e 的方程(或不等式)求解.