2019高考终极猜押最后一卷 理科数学试题（高清PDF) 5页

倒倒计计时时1100天天 ··数数学学((理理))22001199高高考考最最后后一一卷卷 本试卷分第 Ⅰ 卷(选择题)和第 Ⅱ 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 第 Ⅰ 卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若集合A={x|x2 -5x+4<0},B={x|(x-a)2 <1},则“a ∈(2,3)”是“B⊆A”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知复数z=2+3i i ,则z的共轭复数为 ( ) A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i 3.向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中 0<α<β<π,若 |2a+b|=|a-2b|,则α-β= ( ) A.π 2 B.-π 2 C.π 4 D.-π 4 4.二项式 ax+ 3 6 æ è ç ö ø ÷ 6 的展开式的第二项的系数为 - 3,则 ∫ a -2 x2 dx的值为 ( ) A.5 3 B.7 3 C.3 D.11 3 5.如图,在矩形ABCD 中,AB=8,BC=6,现沿AC 折起,使 得平面ABC⊥ 平面ADC,连接BD,得到三棱锥B-ACD,则其外接球的体积为 ( ) A.500π 9 B.250π 3 C.1000π 3 D.500π 3 6.下列函数中,为偶函数且在(0,+∞)上为增函数的是 ( ) A.f(x)=cos 2x B.f(x)=-x2 +3 C.f(x)=x1 4 +x2 D.f(x)=x(3 x -3 -x ) 7.点P 是双曲线C1: x2 a2 - y2 b2 =1(a>0,b>0)与圆C2:x2 +y2 =a2 +b2 的一个交点,且 2∠PF1F2=∠PF2F1,其中F1, F2 分别为双曲线C1 的左、右焦点,则双曲线C1 的离心率 为 ( ) A.3+1 B.3+1 2 C.5+1 2 D.5-1 8.如图,在 △ABC 中,D 是AB 边上的点,且满足AD=3BD,AD+AC=BD+BC =2,CD= 2,则 cosA= ( ) A.1 3 B.2 4 C.1 4 D.0 9.已知函数f(x)=xcosx-sinx-1 3 x3,则不等式f(2x+ 3)+f(1)<0 的解集为 ( ) A.(-2,+∞) B.(-∞,-2) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1) 10.已知函数y=a+2lnx x∈ 1 e,e[ ]( ) 的图象上存在点P, 函数y=-x2 -2 的图象上存在点Q,且点P,Q 关于原点 对称,则a的取值范围是 ( ) A.e 2,+∞ [ ) B.3,4+1 e [ ] C.4+1 e 2 ,e 2[ ] D.3,e 2[ ] 11.某几何体的三视图如图所示,若图中 小正方形的边长均为 1,则该几何体 的体积是 ( ) A.28 3π B.32 3π C.52 3π D.56 3π 12.若函数f(x)=sinωx-π 6 ( )(ω>0)的图象相邻两个对称 中心之间的距离为π 2,则f(x)的一个单调递减区间为 ( ) A.-π 6,π 3 ( ) B.-π 3,π 6 ( ) C. π 6,2π 3 ( ) D. π 3,5π 6 ( ) 第 Ⅱ 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13-21 题为必考题,每 个实体考生都必须作答.第 22-23 题为选考题,考生根据要 求作答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案 填在题中横线上) 13.若实数x,y满足约束条件 2x+y-4≤0, x-2y-2≤0, x-1≥0, { 则y-1x 的最小 值为 . 14.数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1, n∈N* ),则数列{an}的通项公式是 . 15.某框图所给的程序运行结果为S=35,那么判断框中应 填入的关于k的条件是 . 16.某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的 速度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点A,B,且AB 长为 80 米,当 航 模 在 C 处 时,测 得 ∠ABC=105° 和 ∠BAC=30°,经过 20 秒后,航模直线航行到 D 处,测得 ∠BAD=90° 和 ∠ABD=45°,则航模的速度为 米/秒.(答案保留根号) 1 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,17-21题每小题 12 分,22-23 题每小题 10 分) 17.已知公比不为 1 的等比数列{an}的前 3 项积为 27,且 2a2 为 3a1 和a3 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式an. (2)若数列{bn}满足 bn=bn-1 ·log3an+1 (n≥2,n∈N* ),且b1 =1,求 数 列 bn bn+2 { }的前n项和Sn. 18.为了缓解城市交通压力和改善空气质量,有些城市出台 了一些汽车限行政策,如单双号出行,外地车限行等措 施,对城市交通拥堵的缓解和空气质量的改良起了一定 的作用.某中部城市为了应对日益增长的交通压力,现组 织调研,准备出台新的交通限行政策,为了了解群众对 “汽车限行”的态度,在当地市民中随机抽取了 100 人进 行了调查,调查情况如表: 年龄段 [15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数 5 15 20 n 20 10赞成人数 3 12 17 18 16 2 (1)求出表格中n的值,并完成被调查人员年龄的频率分 布直方图(如图所示). (2)若从年龄在[45,55)的被调查者中按照是否赞成进行 分层抽样,从中抽取 10 人参与某项调查,然后再从这 10人中随机抽取 3 人参加座谈会,记赞成的人数记为ξ,求ξ 的分布列. 19.如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形, ∠ABC=60°,PA⊥PB,PC=2. (1)求证:平面PAB⊥ 平面ABCD. (2)若PA=PB,求二面角A-PC-D 的余弦值. 20.已知椭圆C: y2 a2 + x2 b2 =1(a>b>0)的上、下两个焦点分别 为F1,F2,过F1 的直线交椭圆于 M,N 两点,且 △MNF2 的周长为 8,椭圆C的离心率为 3 2 . (1)求椭圆C的标准方程. (2)已知O 为坐标原点,直线:y=kx+m 与椭圆C 有且仅 有一个公共点,点 M',N'是直线上的两点,且F1M'⊥l, F2M'⊥l,求四边形F1M'N'F2 面积S的最大值. 21.已知函数f(x)=lnx+ax. (1)讨论函数f(x)的单调性. (2)当a=1 时,函数g(x)=f(x)-x+1 2x-m 有两个零 点x1,x2,且x11. 请考生在第 22-23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做 的第一题计分.作答时请写清题号. 22.在 直 角 坐 标 系 xOy 中,直 线 l 的 参 数 方 程 为 x=1+tcosα, y=tsinα{ (t为参数),以坐标原点O 为极点,x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ2 -2ρcosθ-4ρsinθ+4=0. (1)若直线l与曲线C 相切,求直线l的直角坐标方程. (2)若 tanα=2,设直线l与曲线C 的交点为点A,B,求 △OAB 的面积. 23.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+1|,g(x)=|a-1|-a|x|. (1)当x<0 时,求不等式f(x)<4 的解集. (2)设函数f(x)的值域为M,函数g(x)的值域为N,若满 足 M∩N≠⌀,求a的取值范围. ——— 数学学科 ——— 第 Ⅰ 卷 一、选择题 1.选 A.A={x|10 时,y=x单调递增且大于零,函数 y=e x -e -x单调递增也大于零,所以y=x(3 x -3 -x )在(0, +∞)上为增函数. 7.选 A.x2 +y2 =a2 +b2 =c2 ,所以点P 在以F1 F2 为直径的 圆上,所以PF1⊥PF2, 又 2∠PF1 F2=∠PF2 F1,所以 PF2 =c,PF1 = 3c,又P 在双曲线上, 2 所以 3c-c=2a,所以e= c a = 2 3-1 = 3+1. 8.选 D. 设BD=x,则AD=3x,AC=2-3x,BC=2-x,易知 cos∠ADC=-cos∠BDC,由余弦定理的推论可得 9x2 +2-(2-3x)2 2× 2×3x =- x2 +2-(2-x)2 2× 2×x , 解得x=1 3,故AD=1,AC=1, 所以 cosA= AD2 +AC2 -CD2 2×AD×AC =0. 9.选 A. 易证函数f(x)是奇函数.由题得f'(x)=cosx- xsinx-cosx-x2 =-xsinx-x2 =-x(sinx+x). 所以当x>0 时,f'(x)<0,函数在(0,+∞)上单调递减,因为函数是奇函数,所以函数在(-∞,0)上单调递减,因为f(2x+3)+f(1)<0,所以f(2x+3)<-f(1)= f(-1),所以 2x+3>-1,所以x>-2.故解集为(-2,+ ∞). 10.选 D. 函数y=-x2 -2 的图象与函数y=x2 +2 的图象关 于原点对称, 若函数y=a+2lnx x∈ 1 e,e[ ]( )的图象上存在点P, 函数y=-x2 -2 的图象上存在点Q,且P,Q 关于原点对 称,则函数y=a+2lnx x∈ 1 e,e[ ]( ) 的图象与函数y= x2 +2 的图象有交点, 即方程a+2lnx=x2 +2x∈ 1 e,e[ ]( )有解, 即a=x2 +2-2lnx x∈ 1 e,e[ ]( )有解, 令f(x)=x2 +2-2lnx,则f'(x)=2(x2 -1)x , 当x∈ 1 e,1[ ]时,f'(x)<0,当x∈(1,e]时,f'(x)>0,故 当x=1 时,f(x)取最小值 3, 由f 1 e ( )=1 e 2 +4,f(e)=e 2 ,故当x=e 时,f(x)取最大 值 e 2 ,故a∈ 3,e 2[ ] . 11.选 A. 由三视图可知,该几何体是由半个圆柱与半个圆锥 组合而成,其中圆柱的底面半径为 2,高为 4,圆锥的底面 半径和高均为 2,其体积为V=1 2×4π×4+1 2×1 3×4π ×2=28π 3 . 12.选 D.f(x)=sinωx-π 6 ( )的图象相邻两个对称中心之间 的距离为π 2,于是有T=2πω=2×π 2=π,ω=2, 所以f(x)=sin2x-π 6 ( ). 当 2kπ+π 2≤2x-π 6≤2kπ+3π 2,k∈Z,即kπ+π 3≤x≤kπ +5π 6,k∈Z时, f(x)=sin2x-π 6 ( )单调递减.因此结合各选项知, f(x)=sin2x-π 6 ( )的一个单调递减区间为 π 3,5π 6 ( ). 第 Ⅱ 卷 二、填空题 13.【解析】作出不等式组表示的可行域 如图中阴影部分所示,因为y-1x 表 示可行域内的点与定点P(0,1)连 线的斜率.由图知, 点P(0,1)与 点 A 1,-1 2 ( ) 连 线 的 斜 率 最 小,所 以 y-1x( ) min=kPA = -1 2-1 1-0 =-3 2 . 答案:-3 2 14.【解析】由an+1=2Sn+1 可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式 相减得an+1-an=2an,即an+1=3an(n≥2). 又a2=2S1+1=3,所以a2=3a1,故{an}是首项为 1,公比 为 3 的等比数列,所以an=3 n-1. 答案:an=3 n-1 15.【解析】由题意可知输出结果为S=35,第 1 次循环,S=11,k=9,第 2 次循环,S=20,k=8,第 3次循环,S=28,k=7,第 4 次循环,S=35,k=6,此时S满 足输出结果,退出循环,所以判断框中的条件为:k>6 或 k≥7?答案:k>6? 或k≥7? 16.【解析】在 △ABD 中,因为 ∠BAD=90°,∠ABD=45°,所以 ∠ADB=45°, 所以AD=AB=80 米,所以BD=80 2 米,在 △ABC 中 BC sin30°= AB sin45°, 所以BC= ABsin30° sin45° = 80×1 2 2 2 =40 2(米). 在 △DBC中,DC2 =DB2 +BC2 -2DB·BCcos60° =(80 2)2 +(40 2)2 -2×80 2×40 2×1 2=9600, 所以DC=40 6 米,航模的速度v=40 6 20 =2 6 米/秒. 因此航模的速度为 2 6 米/秒. 答案: 2 6三、解答题 17.【解析】(1)由前 3 项积为 27,得a2=3,设等比数列的公比 为q, 由 2a2 为 3a1 和a3 的等差中项,得 3·3q+3q=4×3,由 公比不为 1,解得:q=3,所以an=3 n-1. (2)由bn=bn-1·log3 an+1=bn-1·n, 得bn= bn bn-1 · bn-1 bn-2 ·…· b2 b1 ·b1=n!. 令cn= bn bn+2= n! (n+2)!= 1 (n+2)(n+1)= 1n+1- 1n+2, 则Sn= 1 2-1 3 ( )+ 1 3-1 4 ( )+…+ 1n+1- 1n+2 ( ) =1 2- 1n+2= n 2(n+2) 3 18.【解析】(1)由题知被调查者一共有 100 人,所以有 5+15+20+n+20+10=100,所以n=30. 所以被调查人员年龄各组的频率 组距为 0.005,0.015, 0.020,0.030,0.020,0.010. 2 分………………………… 所以被调查人员年龄的频率分布直方图如图所示: 4 分……………………………………………………… (2)由(1)知,年龄在[45,55)的共有 30 人,其中赞成的有 18 人,不赞成的有 12 人. 由分层抽样赞成者应选 10×3 5=6 人, 6 分…………… 不赞成有 4 人.则ξ=0,1,2,3. 7 分…………………… P(ξ=0)=C 3 4 C 3 10= 4 120=1 30, 8 分………………………… P(ξ=1)=C 1 6C 2 4 C 3 10 =36 120=3 10, 9 分………………………… P(ξ=2)=C 2 6C 1 4 C 3 10 =60 120=1 2, 10 分……………………… P(ξ=3)=C 3 6 C 3 10=20 120=1 6, 11 分………………………… 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 12 分……………………………………………………… 19.【解析】(1)取AB 中点O,连接AC,CO,PO,因为四边形ABCD 是边长为 2 的菱形,所以AB=BC=2. 因为 ∠ABC=60°,所以 △ABC是等边三角形. 所以CO⊥AB,OC= 3. 因为PA⊥PB,所以PO=1 2 AB=1. 因为PC=2,所以OP2 +OC2 =PC2.所以CO⊥PO. 因为AB∩PO=O,所以CO⊥ 平面PAB. 因为CO⊂ 平面ABCD,所以平面PAB⊥ 平面ABCD. (2)因为PA=PB,O 为AB 的中点 由(1)知,平面PAB⊥ 平面ABCD,所以PO⊥ 平面ABCD,所以直线OC,OB,OP 两两垂直. 以O 为原点建立空间直角坐标系 O-xyz,如图,则O(0,0,0), A(0,-1,0), B(0,1,0),C(3,0,0),D(3,-2,0),P(0,0,1) 所以AP→=(0,1,1),PC→=(3,0,-1),DC→=(0,2,0). 设平面APC的法向量m=(x,y,z), 由 m·AP→=0, m·PC→=0, { 得 y+z=0, 3x-z=0, { 取x=1,得m=(1,- 3,3),设平面PCD 的法向量为n=(x,y,z), 由 n·PC→=0, n·DC→=0, { 得 3x-z=0, 2y=0, { 取x=1,得n=(1,0,3), 所以 cos= m·n |m||n|=2 7 7 , 由图可知二面角A-PC-D 为锐二面角. 所以二面角A-PC-D 的余弦值为2 7 7 . 20.【解析】(1)因为 △MNF2 的周长为 8,所以 4a=8,所以a =2.又因为c a = 3 2,所以c= 3,所以b= a2 -c2 =1, 所以椭圆C的标准方程为y2 4+x2 =1. (2)将直线的方程y=kx+m 代入到椭圆方程y2 4+x2 =1 中,得(4+k2 )x2 +2kmx+m2 -4=0. 由直线与椭圆仅有一个公共点,知Δ=4k2m2 -4(4+k2 )(m2 -4)=0,化简得m2 =4+k2. 设d1=|F1 M'|=|- 3+m|k2 +1 ,d2=|F2 N'|=|3+m|k2 +1 , 所以d2 1+d2 2= m- 3k2 +1 æ è ç ö ø ÷ 2 + m+ 3k2 +1 æ è ç ö ø ÷ 2 =2(m2 +3)k2 +1 =2(k2 +7)k2 +1 , d1 d2=|- 3+m|k2 +1 ·|3+m|k2 +1 =|m2 -3|k2 +1 =1, 所以 |M'N'|= |F1 F2| 2 -(d1-d2)2 = 12-(d2 1+d2 2-2d1 d2)= 12k2 k2 +1 . 因为四边形F1 M'N'F2 的面积 S=1 2|M'N'|(d1+d2), 所以S2 =1 4×12k2 k2 +1×(d2 1+d2 2+2d1 d2) =3k2 (4k2 +16) (k2 +1)2 . 令k2 +1=t(t≥1),则 S2 =3(t-1)[4(t-1)+16]t2 =12(t-1)(t+3)t2 =12(t2 +2t-3)t2 =12+12 -3 1t-1 3 ( )2 +1 3 [ ], 所以当1t=1 3 时,S2 取得最大值为 16,故Smax=4,即四 边形F1 M'N'F2 面积的最大值为 4. 21.【解析】(1)f'(x)=1x+a,x∈(0,+∞). ① 当a≥0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; ② 当 a<0 时,f (x)在 0,-1a( ) 上 单 调 递 增,在 -1a,+∞( )上单调递减. 4 (2)当a=1 时,g(x)=lnx+1 2x-m, 由已知,得 lnx1+ 1 2x1=m,lnx2+ 1 2x2=m, 两式相减,得 ln x1 x2+ 1 2x1- 1 2x2=0⇒x1·x2= x1-x2 2ln x1 x2 , 所以x1= x1 x2-1 2ln x1 x2 ,x2= 1- x2 x1 2ln x1 x2 所以x1+x2= x1 x2- x2 x1 2ln x1 x2 ,令t= x1 x2∈(0,1), 设h(t)=t-1t-2lnt, 所以h'(t)=1+1t2 -2t= t2 -2t+1t2 >0, 所以h(t)在(0,1)上单调递增, 所以h(t)1,所以x1+x2>1. 22.【解析】(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得曲线C 的直角坐标 方程为x2 +y2 -2x-4y+4=0,即(x-1)2 +(y-2)2 = 1, x=1+tcosα, y=tsinα{ 消去参数t,可得y=tanα(x-1).设k= tanα,则直线l的方程为y=k(x-1), 由题意,得圆心(1,2)到直线l的距离d1=|k-2-k|k2 +1 = 1,解得k=± 3, 所以直线l的直角坐标方程为y=± 3(x-1). (2)因为 tanα=2,所以直线l的方程为 2x-y-2=0, 原点到直线l的距离d2=2 5 , 联立 2x-y-2=0, (x-1)2 +(y-2)2 =1, { 解得 x=2, y=2 { 或 x=8 5, y=6 5, ì î í ïï ïï 所以 |AB|= 2-8 5 ( )2 + 2-6 5 ( )2 =2 5 ,所以S=1 2×2 5 ×2 5 =2 5 . 23.【解析】(1)当x<0 时,2x-1<0,所以f(x)<4 可化为 |2x+1|-2x<3. ① 当x≤-1 2 时,① 化为 -2x-1-2x<3,解得x>-1, 此时 -1