黑龙江省大庆铁人中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题 7页

铁人中学 2018 级高二学年下学期期中考试数学(理) 试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． 1.已知函数 ，则 的值为（　　） A. B. 0 C. -1 D. 1 2.用反证法证明命题：“a，b，c， 且 ，则 a，b， c，d 中至少有一个负数”时的假设为　　 A.a，b，c，d 全为正数 B. a，b，c，d 全都大于等于 0 C. a，b，c，d 中至少有一个正数 D. a，b，c，d 中至多有一个负数 3. 的展开式中 的系数为（ ） A. 90 B.160 C. -160 D. -120 4.有一段“三段论”，其推理是这样的： 对于可导函数 ，若 ，则 是函数 的极值点…大前提 因为函数 满足 ，…小前提 所以 是函数 的极值点”，结论以上推理（　　） A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 没有错误 5.若直线 与曲线 相切，则 =（ ） A. 3 B. C. 2 D. 6.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻， 额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”： , , , ，则按照以上规律，若 具有“穿墙 术”，则 =（　　） A. 7 B. 35 C. 48 D. 63 ( ) xxxf sin=   ′ 2 π f 2 π ，，， 11 =+=+∈ dcbaRd 1>+ bdac 2 62( )x x − 3x )(xf 0)( 0 =′ xf 0xx = )(xf 3)( xxf = 0)0( =′f 0=x 3)( xxf = 2−= kxy xy ln2= k 3 1 2 1 3 223 22 = 8 338 33 = 15 4415 44 = 24 5524 55 = nn 8888 = n 7. 的值是（　　） A. B. C. D. 8.从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物 竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ） A. 48 B. 72 C. 90 D. 96 9.已知 ，函数 的导函数 在 上有最小值，若函 数 ，则(　　) A. 在(1，＋∞)上有最大值 B. 在(1，＋∞)上有最小值 C. 在(1，＋∞)上为减函数 D. 在(1，＋∞)上为增函数 10.某校高二年级共有六个班，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班 安排 2 名，则不同的安排方案种数为（ ） A. B. C. D. 11.设 的 三 边 长 分 别 为 ， 的 面 积 为 ， 内 切 圆 半 径 为 ， 则 ，类比这个结论可知：四面体 的四个面的面积分别为 ， 内切球半径为 ，四面体 的体积为 ，则 =（ ） A. B. C. D. 12.若定义在 上的函数 满足 ,其导函数 满足 ,则下列结 论中一定错误的是(　　) A. B. C. D. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.从集合{1,2,3,4,5}中任取 2 个不同的数，作为直线 的系数， 则最多形成不同的直线的条数为____ ( ) )dxxx( 21 0 211 −−−∫ 3 1 4 −π 14 −π 3 1 2 −π 12 −π Ra ∈ 13 1)( 23 ++−= axaxxxf )(xf ′ ( )1,∞− x xfxg )()( ′= )(xg )(xg )(xg )(xg 2 4 2 6 CA 2 2 4 2 6 CA 2 4 2 6 AA 2 62A ABC∆ cba 、、 ABC∆ S r cba Sr ++= 2 ABCS − 4321 SSSS 、、、 R ABCS − V R 4321 SSSS V +++ 4321 2 SSSS V +++ 4321 3 SSSS V +++ 4321 4 SSSS V +++ R )(xf 1)0( −=f )(xf ′ 1)( >>′ kxf kkf 1)1( < 1 1)1( −> kkf 1 1)1 1( −<− kkf 1)1 1( −>− k k kf 0=+ ByAx 14. 用数学归纳法证明：“ ”． 从“ 到 ”左端需增乘的代数式为________ 15.若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是_______ 16.已知多项式 ， 则 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17.（10 分） 从 6 名运动员中选出 4 人参加 接力赛，分别求满足下列条件的安排方法种数： （1）甲、乙两人都不跑中间两棒； （2）甲、乙二人不都跑中间两棒． 18.（12 分） 已知函数 ，在点 M 处的切线方程为 ，求： （1）实数 ， 的值； （2）函数 在区间 上的最值． 19.（12 分） 在二项式 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求 的值； （2）求展开式中系数最大的项． 20.（12 分） 已知数列 中， 是 的前 项和且 是 与 的等差中项，其中 是不为 的常数． （1）求 ( )( ) ( ) ( )1231221 −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+⋅⋅⋅++ nnnnn n kn = 1+= kn aexxf x −= 2)( a ( )( ) 7 7 2 210 52 2132 xaxaxaaxxx ++++=−++  _______234567 =−+−+− aaaaaa 1004× baxxxf +−= 3 3 1)( ( )( )1,1 f 01039 =−+ yx a b )(xf [ ]3,0 n x x      + 3 3 2 1 n { }na nS { }na n nS a2 nna2− a 0 .321 aaa ，， （2）猜想 的表达式，并用数学归纳法进行证明． 21.（12 分） 已知函数 ． （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）证明：函数 在区间 内有且只有一个零点． 22.（12 分） 已知函数 （1）求 的单调递增区间； （2）若函数 有两个极值点 且 恒成立，求实 数 a 的取值范围. na xxxexf x −+−= )1ln()( )(xfy = ( )( )0,0 f )(xf ( )1,0 21( ) ln 2 ,2f x m x x x m R= + − ∈ ( )f x ( )f x 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2( ) 0f x ax− ≥ 铁人中学 2018 级高二学年下学期期中考试数学(理) 试题 一、选择题 DBCACD ADDBCC 二、填空题 13.18 14. 15. 16. 三、解答题 17.解：（1）先选跑中间的两人有 种，再从余下的 6 人中选跑 1、4 棒的有 ，则共有 种． （2）用间接法：“不都跑”的否定是“都跑”，所以用任意排法 ，再去掉甲、乙跑中间 的安排方法 种，它们的差是 336 种． 18．解：（1） ；（2）当 x ∈[0，3]时，f（x）max=f（0）=4， ． 19.(1) n＝8. (2)系数最大的项为第三项和第四项，即 ， 20.解：(1)由题意知 Sn＝a－nan， 当 n＝1 时，S1＝a1＝a－a1，解得 a1＝a 2. 当 n＝2 时，S2＝a1＋a2＝a－2a2，解得 a2＝a 6. 当 n＝3 时，S3＝a1＋a2＋a3＝a－3a3，解得 a3＝ a 12. (2)猜想：an＝ a n(n＋1)(n∈N*) 证明：①当 n＝1 时，由(1)知等式成立． ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即 ak＝ a k(k＋1)，则当 n＝k＋1 时，又 则 ， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝a－(k＋1)ak＋1－(a－kak)， 所以 ak＋1＝ a (k＋1)(k＋2)＝ a (k＋1)[(k＋1)＋1].即当 n＝k＋1 时，等式成立． ( )122 +k    2 40 e ， 16− 2 4A 2 4A 1442 4 2 4 =AA 4 6A 2 4 2 2 AA 3 4 3 7xT = 3 2 4 7xT = kk kaaS −= 11 ++ −= kk kaaS ∴ 结合①②得 an＝ a n(n＋1)对任意 n∈N*均成立． 21. 解： 当 时， ，由 ， 得 ，故斜率 ，故切线方程是： ； 由题意可知，函数的定义域是 ，由 知， ， 记 ，故 ， 易知 时， ，故 在区间 递增，故 ， ， 故在区间 内必存在，使得 ，故当 时， ，即 ，故 递 减， 当 时， ，即 ，故 递增， 故当 时， 有最小值且为 ， ， ，而 ， 故在区间 内存在唯一零点，故函数 在区间 内有且只有 1 个零点． 22.