2019届二轮复习数列的综合问题课件（41张）（全国通用） 41页

第 2 课时　数列的综合问题 第六 章　高考专题突破三　高考中的数列问题 NEIRONGSUOYIN 内容索引 题型分类 深度 剖析 课时作业 题型分类　深度剖析 1 PART ONE 题型一　数列与函数 例 1 　 ( 2018· 四川三台中学模拟 ) 数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， 2 S n ＝ a n ＋ 1 － 2 n ＋ 1 ＋ 1 ， n ∈ N * ， 且 a 1 ， a 2 ＋ 5 ， 19 成等差数列 . (1) 求 a 1 的值； 师生共研 解　 在 2 S n ＝ a n ＋ 1 － 2 n ＋ 1 ＋ 1 ， n ∈ N * 中 ， 令 n ＝ 1 ， 得 2 S 1 ＝ a 2 － 2 2 ＋ 1 ， 即 a 2 ＝ 2 a 1 ＋ 3 ， ① 又 2( a 2 ＋ 5) ＝ a 1 ＋ 19 ， ② 则由 ①② 解得 a 1 ＝ 1. ③ ④ (3) 设 b n ＝ log 3 ( a n ＋ 2 n ) ， 若 对任意的 n ∈ N * ， 不等式 b n (1 ＋ n ) － λn ( b n ＋ 2) － 6<0 恒 成立 ， 试 求实数 λ 的取值范围 . 解　 由 (2) 可知 ， b n ＝ log 3 ( a n ＋ 2 n ) ＝ n . 当 b n (1 ＋ n ) － λn ( b n ＋ 2) － 6<0 恒成立 时 ， 即 (1 － λ ) n 2 ＋ (1 － 2 λ ) n － 6<0( n ∈ N * ) 恒成立 . 设 f ( n ) ＝ (1 － λ ) n 2 ＋ (1 － 2 λ ) n － 6( n ∈ N * ) ， 当 λ ＝ 1 时 ， f ( n ) ＝－ n － 6<0 恒 成立 ， 则 λ ＝ 1 满足条件； 当 λ <1 时 ， 由 二次函数性质知不恒成立； 则 f ( n ) 在 [ 1 ， ＋ ∞ ) 上单调 递减 ， f ( n ) ≤ f (1) ＝－ 3 λ － 4<0 恒 成立 ， 则 λ >1 满足 条件 ， 综上所述 ， 实数 λ 的取值范围是 [ 1 ， ＋ ∞ ). 数列与函数的交汇问题 (1) 已知函数 条件 ， 解决 数列 问题 ， 此 类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2) 已知数列 条件 ， 解决 函数 问题 ， 解题 时要注意数列与函数的内在 联系 ， 掌握 递推数列的常见解法 . 思维升华 跟踪训练 1 　 (2018· 辽南协作校模拟 ) 已知数列 { a n } 满足 a 1 ＝ 1 ， 2 a n ＋ 1 ＝ a n ， 数列 { b n } 满足 b n ＝ 2 － log 2 a 2 n ＋ 1 . (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； ∴ { a n } 是首项为 1 ， 公比 为的 等比数列 ， (2) 设数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ， 求 使得 2 T n ≤ 4 n 2 ＋ m 对任意正整数 n 都成立的实数 m 的取值范围 . 解　 由 (1) 得 ， T n ＝ n 2 ＋ 3 n ， ∴ m ≥ － 2 n 2 ＋ 6 n 对任意正整数 n 都成立 . 设 f ( n ) ＝－ 2 n 2 ＋ 6 n ， ∴ 当 n ＝ 1 或 2 时 ， f ( n ) 的最大值为 4 ， ∴ m ≥ 4. 即 m 的取值范围是 [ 4 ， ＋ ∞ ). 题型二　数列与不等式 师生共研 ∴ 原不等式得证 . ∴ 原命题得证 . 数列与不等式的交汇问题 (1) 函数方法：即构造 函数 ， 通过 函数的单调性、极值等得出关于正实数的 不等式 ， 通过 对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式； (2) 放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到 . 思维升华 跟踪训练 2 　 (2018· 天津部分区质检 ) 已知数列 { a n } 为 等比数列 ， 数列 { b n } 为 等差数列 ， 且 b 1 ＝ a 1 ＝ 1 ， b 2 ＝ a 1 ＋ a 2 ， a 3 ＝ 2 b 3 － 6. (1) 求数列 { a n } ， { b n } 的通项公式； 解　 设数列 { a n } 的公比为 q ， 数列 { b n } 的公差为 d ， 由题意得 1 ＋ d ＝ 1 ＋ q ， q 2 ＝ 2(1 ＋ 2 d ) － 6 ， 解得 d ＝ q ＝ 2 ， 所以 a n ＝ 2 n － 1 ， b n ＝ 2 n － 1. 又因为 T n 在 [ 1 ， ＋ ∞ ) 上单调 递增 ， 题型三　数列与数学文化 例 3 　 ( 2018· 东北师大附中模拟 ) 我国古代名著《九章算术》中有这样一段话： “ 今有金 锤 ， 长 五 尺 ， 斩 本一 尺 ， 重 四 斤 ， 斩 末一 尺 ， 重 二 斤 ， 中间 三尺重几何 . ” 意思是： “ 现有一根金 锤 ， 长 5 尺 ， 头部 1 尺 ， 重 4 斤 ， 尾部 1 尺 ， 重 2 斤 ， 且从头到尾 ， 每 一尺的重量构成 等差数列 ， 问 中间三尺共重多少斤 . ” A.6 斤 B.7 斤 C.8 斤 D.9 斤 师生共研 √ 解析　 原问题等价于等差数列 中 ， 已知 a 1 ＝ 4 ， a 5 ＝ 2 ， 求 a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 的值 . 由等差数列的性质可知 a 2 ＋ a 4 ＝ a 1 ＋ a 5 ＝ 6 ， 则 a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＝ 9 ， 即 中间三尺共重 9 斤 . 我国古代数学涉及等差、等比数列的问题 很多 ， 解决 这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学 问题 ， 掌握 等差、等比数列的概念、通项公式和前 n 项和公式 . 思维升华 A.4 B.5 C.9 D.16 故 b 3 ＝ b 2 q ＝ 3 × 3 ＝ 9. √ 课时作业 2 PART TWO 1.(2018· 莆田模拟 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， 且 S n ＝－ a n ＋ 1. (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 基础 保分练 1 2 3 4 5 6 解　 由 S n ＝－ a n ＋ 1 得 S n ＋ 1 ＝－ a n ＋ 1 ＋ 1 ， 两式相减 得 ， S n ＋ 1 － S n ＝－ a n ＋ 1 ＋ a n ， 1 2 3 4 5 6 (2) 若 f ( x ) ＝ x ， 设 b n ＝ f ( a 1 ) ＋ f ( a 2 ) ＋ … ＋ f ( a n ) ， 求 数列的前 n 项和 T n . 2.(2018· 江西重点中学协作体模拟 ) 已知等差数列 { a n } 的公差 d ≠ 0 ， a 1 ＝ 0 ， 其 前 n 项和为 S n ， 且 a 2 ＋ 2 ， S 3 ， S 4 成等比数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 1 2 3 4 5 6 因为 a 2 ＋ 2 ， S 3 ， S 4 成 等比数列 ， 即 (3 d ) 2 ＝ ( d ＋ 2)· 6 d ， 整理得 3 d 2 － 12 d ＝ 0 ， 即 d 2 － 4 d ＝ 0 ， 因为 d ≠ 0 ， 所以 d ＝ 4 ， 所以 a n ＝ ( n － 1) d ＝ 4( n － 1) ＝ 4 n － 4. 1 2 3 4 5 6 证明　 由 (1) 可得 S n ＋ 1 ＝ 2 n ( n ＋ 1 ) ， 1 2 3 4 5 6 (1) 求数列 { a n } 的通项公式； 解　 f ′ ( x ) ＝ 2 ax ＋ b ， 由 题意知 b ＝ 2 n ， 16 n 2 a － 4 nb ＝ 0 ， 又 f ′ ( x ) ＝ x ＋ 2 n ， 1 2 3 4 5 6 当 n ＝ 1 时 ， a 1 ＝ 4 也 符合 ， 1 2 3 4 5 6 ∴ T n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b n 1 2 3 4 5 6 4. 已知 { x n } 是各项均为正数的 等比数列 ， 且 x 1 ＋ x 2 ＝ 3 ， x 3 － x 2 ＝ 2. (1) 求数列 { x n } 的通项公式； 解　 设 数列 { x n } 的公比为 q . 1 2 3 4 5 6 所以 3 q 2 － 5 q － 2 ＝ 0 ， 由已知得 q >0 ， 所以 q ＝ 2 ， x 1 ＝ 1. 因此数列 { x n } 的通项公式为 x n ＝ 2 n － 1 . 1 2 3 4 5 6 (2) 如 图 ， 在 平面直角坐标系 xOy 中 ， 依次 连接点 P 1 ( x 1 ， 1) ， P 2 ( x 2 ， 2) ， … ， P n ＋ 1 ( x n ＋ 1 ， n ＋ 1) 得到折线 P 1 P 2 … P n ＋ 1 ， 求 由该折线与直线 y ＝ 0 ， x ＝ x 1 ， x ＝ x n ＋ 1 所围成的区域的面积 T n . 1 2 3 4 5 6 解　 过 P 1 ， P 2 ， … ， P n ＋ 1 向 x 轴作 垂线 ， 垂足 分别为 Q 1 ， Q 2 ， … ， Q n ＋ 1 . 由 (1) 得 x n ＋ 1 － x n ＝ 2 n － 2 n － 1 ＝ 2 n － 1 ， 记梯形 P n P n ＋ 1 Q n ＋ 1 Q n 的面积为 b n ， 所以 T n ＝ b 1 ＋ b 2 ＋ … ＋ b n ＝ 3 × 2 － 1 ＋ 5 × 2 0 ＋ 7 × 2 1 ＋ … ＋ (2 n － 1) × 2 n － 3 ＋ (2 n ＋ 1) × 2 n － 2 ， ① 则 2 T n ＝ 3 × 2 0 ＋ 5 × 2 1 ＋ 7 × 2 2 ＋ … ＋ (2 n － 1) × 2 n － 2 ＋ (2 n ＋ 1) × 2 n － 1 ， ② 由 ① － ② ， 得 － T n ＝ 3 × 2 － 1 ＋ (2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n － 1 ) － (2 n ＋ 1) × 2 n － 1 (1) 求数列 { a n } 的通项公式 a n ； 1 2 3 4 5 6 技能提升练 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 显然 T n 是关于 n 的 增函数 ， 6. 已知各项均不相等的等差数列 { a n } 的前三项和为 9 ， 且 a 1 ， a 3 ， a 7 恰为等比数列 { b n } 的前三项 . (1) 分别求数列 { a n } ， { b n } 的前 n 项和 S n ， T n ； 1 2 3 4 5 6 拓展冲刺练 解　 设数列 { a n } 的公差为 d ， 1 2 3 4 5 6 又 b 1 ＝ a 1 ＝ 2 ， b 2 ＝ a 3 ＝ 4 ， 所以 b n ＝ 2 n ， T n ＝ 2 n ＋ 1 － 2.