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- 2021-06-19 发布
3.1.3 空间向量的数量积运算
1．空间两向量的夹角
如图1，已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则≤≤叫做向量，的夹角，记作．
由上述概念可知0≤≤，因此，两个向量的夹角是唯一确定的，且．
如图2，当时，向量，_______；
如图3，当时，向量，_______，记作；
如图4，当时，向量，_______．
因此，当时，或．
对于空间任意两个向量，，都有．
图1 图2 图3 图4
2．空间向量的数量积
已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即_______．
类比平面向量，我们可得的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．
由此可知，零向量与任何向量的数量积为_______．
3．空间向量数量积的性质
（1）若是非零向量，是任意单位向量，则．
（2）若，是非零向量，则．
（3）．
（4）若为与的夹角，则_______．
4．空间向量数量积的运算律
运算律1
运算律2 (交换律)
运算律3 (分配律)
K知识参考答案：
1．同向共线 互相垂直 反向共线 2． 0 3．
K—重点
空间向量的数量积的概念及其运算律和运算性质
K—难点
利用数量积解决向量的共线与垂直问题、异面直线夹角的计算
K—易错
未深刻理解向量夹角与数量积符号的关系、忽略两向量夹角的定义
空间向量数量积的计算
已知空间两向量，的夹角为，，．求：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
（4）．
【名师点睛】根据数量积的定义求解即可，应注意准确确定向量的夹角．
已知长方体中，，，，为侧面的中心，为的中点．求下列向量的数量积：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
（3）
．
【名师点睛】在几何体中求空间向量的数量积时，①充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；③利用数量积的定义求解即可．注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角．
利用数量积证明垂直问题
如图，正方体中，，，，分别是棱，，，的中点．求证：
（1）；
（2）平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】如图，设，，，则且．
（2）因为，，
所以，
所以，所以．
同理可证．
又，所以平面．
【名师点睛】（1）要证两直线垂直，由数量积的性质可知，可构造与两直线分别平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可；（2）用向量法证明线面垂直，离不开线面垂直的判定定理，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量法证明线线垂直即可．
利用数量积求异面直线的夹角
求几何体中异面直线的夹角，可将问题转化为求向量的夹角，步骤如下：
（1）依据夹角公式，求出的余弦值；
（2）若求出，则是异面直线所成的角；
若求出，则是异面直线所成的角，为；
若求出，则是异面直线所成角的补角．
如图，在空间四边形中，，，，，，求与的夹角．
【答案】与的夹角为．
【名师点睛】（1）注意与，与的夹角都是钝角，不是锐角，此处易错认为与，与的夹角分别为和；（2）解决本题的关键是在两异面直线上构造向量，求出向量的夹角，在求解过程中易忽略向量的夹角与两直线所成的角的区别．
利用数量积求线段的长或两点间的距离
利用空间向量求线段的长度或两点间的距离，步骤如下：
（1）结合图形将所求线段用向量表示；
（2）用已知夹角和模的向量表示该向量；
（3）利用，通过计算求出，即可得，即得所求线段的长度或两点间的距离．
如图，在平行四边形中，，，，沿着它的对角线将折起，使与成角，求此时，之间的距离．
【答案】，之间的距离为或．
【解析】因为，所以，．
因为与成角，所以或．
因为，所以，
所以．
当时，，即；
当时，，即．
综上，可知，之间的距离为或．
【名师点睛】求解本题应注意：与成角，有，两种情况．
未深刻理解向量夹角与数量积符号的关系导致错误
“”是“为钝角”的______________条件．
【错解】易知为钝角，所以“”是“为钝角”的充要条件．
【错因分析】错解中忽略了两个向量共线且反向的情况从而导致错误．
【正解】易知为钝角或平角，所以“”是“为钝角”的必要不充分条件．
【名师点睛】，即夹角为钝角或平角，不能忽略与平行且反向的情形；
，即夹角为直角；
，即夹角为零角或锐角，不能忽略与平行且同向的情形．
忽略向量夹角的定义导致错误
如图所示，在空间四边形中，，，，，分别为，的中点，则______________．
【错解】由题易知，，
所以．
【错因分析】错解中没有正确理解两向量的夹角，误认为是与的夹角．
【正解】由题易知，，
所以．
【名师点睛】向量的夹角定义中，必须把两向量移至共起点，如下图所示，是与的夹角，而与的夹角为的补角．
1．在棱长为的正方体中，设，，，则的值为
A． B．
C． D．
2．设是棱长为的正方体，和相交于点，则有
A． B．
C． D．
3．若非零向量，满足，，则与的夹角为
A． B．
C． D．
4．已知四边形为矩形（邻边不相等），平面，连接、、、、，则下列各组向量中，数量积不为零的是
A．与 B．与
C．与 D．与
5．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在棱长为的正方体中，_________________．
7．已知空间向量，，满足，，，，则_________________．
8．如图，在空间四边形中，，，求异面直线与的夹角．
9．已知是异面直线，且则与所成的角是
A． B．
C． D．
10．设平面上有四个互异的点，，，，已知，则是
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
11．若向量、是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线上，则且是的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知，，，，则向量与之间的夹角为
A． B．
C． D．以上都不对
13．设，，与垂直，，，则_________________．
14．如图，平面，且△是的等腰直角三角形，四边形、四边形都是正方形，若，求异面直线与所成的角．
15．如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使与成角，求点与点之间的距离．
16．（2017北京理）设m，n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
17．（2016北京理）设，是向量，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
18．（2016山东理）已知非零向量，满足，．若，则实数t的值为
A． B．
C． D．–
19．（2017新课标全国I理）已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2b |=_________________．
20．（2017山东理）已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是_________________．
1．【答案】B
【解析】．故选B．
2．【答案】C
【解析】由．故选C．
4．【答案】A
【解析】由图分析可知(图略)，选项B、C、D中两向量的夹角均为，∴数量积都为，故选A．
5．【答案】B
【解析】∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，a·b＝|a||b|，∴cos〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0，∴a与b共线．反之，当a与b共线时，也可能a·b＝－|a|·|b|，故a·b＝|a||b|是a与b共线的充分不必要条件，故选B．
6．【答案】
【解析】由题意知，所以，又，所以
．故填．
7．【答案】
【解析】因为，所以，所以，
所以．故填．
8．【答案】．
【解析】因为，，，
所以，所以．
所以
，
所以，即，所以异面直线与的夹角为．
10．【答案】B
【解析】∵，
∴，
∴，故是等腰三角形，故选B．
11．【答案】B
【解析】当时，由且得不出；反之，一定有且．故选B．
12．【答案】D
【解析】由已知，得，则，由此可得．从而．故选D．
13．【答案】
【解析】∵，∴，化简得．
又∵，，
，∴，
∴．故填．
14．【答案】．
【解析】∵，，
∴．
∵，，，
∴，，，．
∴．
又，
∴，∴，
∴异面直线与所成的角为．
15．【答案】或
∴
，
∴或，故点与点之间的距离为或．
16．【答案】A
【解析】若，使，则两向量m，n反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A．
17．【答案】D
【解析】由可得，即，所以，故“”是“”的既不充分也不必要条件．故选D．
18．【答案】B
【解析】由，可设，，又，所以
，所以．故选B．
20．【答案】
【解析】∵，
，
，
∴，解得．
伽利略悖论
整数与偶数，哪一种数的个数多？恐怕不少同学都会说，当然整数比偶数多了．进一步，恐怕还会有同学说，偶数的个数等于整数个数的一半．什么道理呢？那是因为奇数与偶数合起来就是整数，而奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半．整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全体大于部分，整数比偶数多，这不是显而易见、再明白不过的事吗？16世纪，意大利著名科学家伽利略的看法却与此相反，他曾提出过一个著名的悖论（伽利略悖论）：整数和偶数一样多．伽利略所说的也绝不是没有道理．我们论述的对象都是无穷个，而不是有限个，对于有限来说，两堆物体数量一样多，只要把各堆物体数一下，看看两堆物体的数量是否相等就可以．这个办法对“无穷”来说是不适用的，因为“无穷”本身就包括“数不完”的意思在内．
伽利略在整数与偶数之间建立了对应关系：给出一个整数，就可以找出一个偶数与之对应，给出的整数不同，与之相对应的偶数也不同；反过来，对于每一个偶数，都可以找到一个整数与之对应，偶数不同，所对应的整数也不同，由此我们称整数与偶数之间建立了一对一的关系，所以整数与偶数一样多． 这告诉我们，“无穷”是不能用“有限”中的法则来衡量的，许多对“有限”成立的性质，对“无穷”却未必成立．