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- 2021-06-19 发布
珠海市第二中学2017－2018学年度第一学期期中考试
高三年级 （理科数学）试题
考试时间150分钟，总分120分， 命题人： 审题人：
考生注意：
1．答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.
2．答非选择题时，请将答案写在答题卡上对应题号的答题区域，超出区域和写在本试卷上无效.
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，
则右图中阴影部分所表示的集合为 （ ）
A. B. C. D.
2.若为第二象限角，则复数（为虚数单位）对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
4.下列有关命题的说法正确的是 （ ）
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；
B．“”是“直线和直线互相垂直”的充要条件；
C．命题“，使得”的否定是：“，均有”；
D．命题“已知为一个三角形的两内角，若，则”的逆命题是真命题.
5.函数且的图像大致是 （ ）
A.B. C. D.
6.已知函数，将的图像向左平移个单位长度后所得的函数图像过点，则函数 （ ）
A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增
C．在区间上有最大值 D．在区间上有最小值
7.若，则中值为的有（）个
A．200 B．201 C．402 D．403
8．若函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
9.设命题若定义域为的函数不是偶函数，则，.
命题在上是减函数,在上是增函数.则下列判断错误的是( )
A．为真 B．为假 C．为假 D.为真
10.已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法错误的是 （ ）
A．函数是周期函数； B．函数为上的偶函数；
C．函数为上的单调函数； D．的图象关于点对称．
11. 在直角三角形中，，，线段上任意一点，且，若，则实数的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
12.已知函数在上的最大值为，最小值为，
则 （ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若函数是定义在上的偶函数，则_________.
14．已知正方形的四个顶点分别在
曲线和上，如图所示，若将一个质点随机投入
正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是______.
15．若函数有且只有个不同零点，则实数的取值范围是_____.
16．在三角形，角的对边分别为，若,
，且,则的面积为___________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算部骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必作题：共60分
17．（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）求的值；
（2）在三角形，角的对边分别为，若，
且，求.
18．（本小题满分12分）
一个口袋中装有个红球且和个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖.
(1)用表示一次摸奖中奖的概率；
(2)若，设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有次中奖,求的数学期望；
(3)设三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有一次中奖的概率,当取何值时， 最大？
19．（本小题满分12分）
如图所示的几何体中，为三棱柱，且，
四边形为平行四边形，，.
（1）求证：；
（2）若，求证：；
（3）若，二面角的余弦值为若，求三棱锥的体积．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，过点作直线与椭圆交于两点.
（1）已知，椭圆的离心率为，直线交直线于点，
求的周长及的面积；
（2）当且点在第一象限时，直线交轴于点，，
证明：点在定直线上.
21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）设.
①若函数在处的切线过点，求的值；
②当时，若函数在上没有零点，求的取值范围.
（2）设函数，且，求证：当时，．
(二)选作题：共10分
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程是（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程式为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若是直线与曲线面的公共点，求的取值范围.
23．（本小题满分10分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数
（1）解不等式；
（2）若存在实数，对任意实数不等式恒成立，求实数的取值范围．
珠海市第二中学2017－2018学年度第一学期期中考试
高三年级 （理科数学）试题参考答案
一、 选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
D
A
C
C
A
A
C
B
D
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题（本题共70分）说明：本答案每题仅提供了一种解法参考，其它解法对应给分.
17．【解】（1）由题设知：，
∴……………………………………………………………………4分
（2）由题设及（1）知：；
∴，又， 得；……………………………7分
∴，又， 得；………………………9分
∴ ，；…………………………………………………11分
∴…………………………………………………………………………12分
18．【解】（1）由题设知：…………………………………………3分
（2）由（1）及题设知： ∴ ………6分
（3）由（1）及题设知：
∴
即当时，，其为单增区间；当时，，其为单减区间.
∴当，即，得时，最大. …………………………12分
19.（1）【证明】连交于点，连交于点，则.
由平几知：为的中点，为的中点，
即为的中位线. .
又.……………3分
（2）【证明】.
又.
在中由余弦定理知：.
又.
又.
又.……………………7分
（3）【解】作交于，连，由（2）知：.
. ……9分
；由知：得；
在中由平几知：，于是得为正方形.
由（2）知：. ………………………12分
20．（1）【解】由题设知：得，∴椭圆的方程为……2分
∴的周长……………3分
由知直线的方程为，得，
∴的面积.………………………………………6分（2）【证明】设,由题设知：.
由知，，则有；
由知，，则有；
∴两式联立消去点得满足，即； ……………9分
又点在椭圆上，即有， 即，
∴两式联立得； 又，即………11分
∴点满足，即点在定直线上. ……………………12分
21．【解】（1）①由题设知：，
得，即．…………………………3分
②由题设知：是增函数，且；
（ⅰ）当即时，恒有知是增函数，此时
只需即，得. …………………………5分
（ⅱ）当即时，有知：
时，递减，时有，递增；
由知此时
需即，得.………………7分
由上述知：………………………………………8分
（2） 由题设知：，得“时”等价“时”
设，当时有，即在时为减函数.得，即．
也即，故命题得证明. …………………………12分
22．【解】（1）由题设知：，得
∴曲线的直角坐标方程为，
即．……………………………………5分
（2）由（1）题设知：曲线是以为圆心，2为半径的圆. 则直线过圆心 .
又由点在直线与曲线面上知：.
∴．……………………………………10分
23．【解】（1）∵………………2分……4分
综上，不等式的解集为：……………………5分
（Ⅱ）由（1）题设知：……………………………………………6分
又由知：，即.………………9分
∴实数的取值范围是．……………………10分