数学理卷·2018届天津市红桥区高二下学期期中考试（2017-04） 6页

红桥区2016-2017学年高二下学期期中考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1、观察，由归纳推理可得：若定义在R上的函数是奇函数，是导函数记作，则 A． B． C． D．‎ ‎2、推理“是菱形的对角线，互相垂直且平分”的大前提是 ‎ A．平行四边形的对角线互相垂直且平分 B．菱形的对角线互相垂直且平分 ‎ C．正方形的对角线互相垂直且平分 D．四边形对角线互相垂直且平分 ‎3、若函数的导函数图象如图所示，则该函数的图象大致是 ‎4、对等差数列，如果，则，‎ 所以有：，‎ 从而对等比数列，如果，则有等式 A．成立 B． 成立 C．成立 ‎ D．成立 ‎5、若 ，则下列不等式成立的是 A． B． C． D．‎ ‎6、数列对任意都满足，且，则 A．2 B．4 C．12 D．24‎ ‎7、设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8、已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数，如果函数的值域为，则的值为 A． B． C． D．6‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上..‎ ‎9、用反证法证明命题：“若可以被5整除，则中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是 ‎ ‎10、 ‎ ‎11、函数的图象过点，且在处的切线方程为，‎ 则的解析式 ‎ ‎12、设为等比数列的前n项和，已知，且满足，‎ 则 ‎ ‎13、设，若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎14、（本小题满分10分）‎ ‎（1）已知函数，求；‎ ‎ （2）已知函数，曲线在点处的切线斜率为0，‎ 求的解析式. ‎ ‎15、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知数列满足.‎ ‎（1）写出，并推测的表达式；‎ ‎ （2）用数学归纳法证明所得的结论.‎ ‎16、（本小题满分12分）‎ ‎ 已知定义在R上的函数，在处取得极值.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎ （2）讨论在区间上的单调性.‎ ‎17、（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎ （2）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底，）‎ 高二数学(理)1704‎ 一、 每题4分，共32分 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D B A C D C A B 二、 填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 答案 a，b中没有一个能被5整除 ‎20‎ ‎2015‎ ‎ ‎ 一、 解答题：本大题共4个小题，共48分 ‎（14）（本小题满分10分）‎ ‎（1）已知函数，求 解：（公式2分）-------3分 ‎ ‎ -----------------------------------------------------------------------------4分 ‎（2）已知函数，曲线在点（）处的切线斜率为，求的解析式.‎ 解 ，--------------------------------------6分于是------------------------------------------8分 解得或 ‎ 因为，故-----------------------------10分 ‎（15）（本小题满分12分）‎ 已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1.‎ ‎（Ⅰ）写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；‎ ‎（Ⅱ）用数学归纳法证明所得的结论．‎ 解（Ⅰ）将n＝1，2，3分别代入可得a1＝，a2＝，a3＝，---------3分 猜想an＝2－ (或 ‎)-------------------------------------------------5分 ‎（Ⅱ）证明：①由(1)得n＝1时，命题成立．------------------7分 ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，命题成立，即ak＝2－，-----8分 那么当n＝k＋1时，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，-------9分 且a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，‎ ‎∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，‎ ‎∴2ak＋1＝2＋2－，ak＋1＝2－，‎ 即当n＝k＋1时，命题也成立．--------------------------------------------11分 根据①、②得，对一切n∈N*，an＝2－都成立．-------------------12分 注:若猜想错误,数归步骤正确第（Ⅱ）问给3分 ‎（16）（本小题满分12分）‎ ‎ 已知定义在R上的函数，在处取得极值.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）讨论在区间上的单调性.‎ 解 （1）∵函数f(x)在x=-1处取极值，∴.-------------2分 ‎ f(x)=-2x3+3x2+cx, =-6x2+6x+c--------------------4分 ‎ ∴=-6-6+c=0,c=12.------------------------------5分 ‎ ∴f(x)=-2x3+3x2+12x,----------------------- ----------6分 ‎ （2）=-6x2+6x+12=-6(x2-x-2).‎ ‎ 令=0,得x1=-1,x2=2,-----------------------------7分 x ‎-3‎ ‎(-3,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,2)‎ ‎2‎ ‎（2，3）‎ ‎3‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎45‎ ‎↘‎ ‎-7‎ ‎↗‎ ‎20‎ ‎↘‎ ‎9‎ ‎∴函数f(x)在［-3，-1］和［2，3］上是减函数，‎ 函数f(x)在［-1，2］上是增函数.--------------------------------------12分 ‎（17）（本小题满分14分）‎ 已知函数,‎ ‎（Ⅰ）求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底，）；‎ 解：（Ⅰ）----------------2分 令得或.因为故：----------------------3分 在内，当x∈时，，∴是增函数 当x∈时，，∴是减函数-------------------------5分 所以，，--------------------------------------6分 又，，，‎ 所以------------------------------------------7分 ‎（Ⅱ），令，‎ 则，令，得x＝1（x＝－1舍去）．‎ 在内，当x∈时，，∴h(x)是增函数；‎ 当x∈时，，∴h(x)是减函数． …………………… 9分 则方程在内有两个不等实根的充要条件是……12分 即． …………………… 14分