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- 2021-06-19 发布
2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二下学期期中考试数学试题（理科）
时间：120分钟 总分：150分 命题人、审题人： 任晓龙 赵建军
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 集合，集合，全集
，则( )
A. B. C. D.
2.某几何体的三视图如下图所示, 则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
3.下列命题中正确的个数是( )
①命题“任意”的否定是“任意；
②命题“若，则”的逆否命题是真命题：
③若命题为真，命题为真，则命题且为真.
④命题”若，则”的否命题是“若，则
”；
A.个 B.个 []
C.个 D.个
4.如图，当时，( )
A.7 B.8
C.10 D.11
5.为了了解某校今年准备报考飞行员的学生
的体重情况，将所得的数据整理后，画出了
频率分布直方图（如图），已知图中从左到
右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第
1小组的频数为6，则报考飞行员的学生人数是
A.36 B.40 C.48 D.50
6.已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7.给出命题：若是正常数，且，，则
(当且仅当时等号成立)．根据上面命题，可
以得到函数（）的最小值及取最小值时的
值分别为( )
A.， B.，
C.， D.，
8.设等差数列的公差，前项和为，则是递减数列的充要条件是( )
A. B.
C. D.
9.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节课至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有( )
A.36种 B.30种 C.24种 D.6种
10. 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为( )
A． B． C. D．2
11. 设函数为定义域为的奇函数，且，
，则函数在区间上的所有零点
的和为( )
A． B． C． D．
12.已知函数的两个极值点分别为.若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二．填空题（本题共4小题,每题5分,共20分）
13.设曲线在点处的切线与直线垂直，则_______.
14.设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则___________.
15.若直线与圆恒有公共点，则的取值范围是_______.
16．已知函数，其中e是自然对数的底数．若，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）
17.（本小题满分10分）的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．
（1）求角； （2）若，求的面积．
18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）若二面角为，设，试确定 的值．
19.（本小题满分12分）经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x(单位:t,100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量.T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.
（1）将T表示为x的函数；
（2）根据直方图估计利润T，不少于57000元的概率；
（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，
需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入的频率），求T的数学期望.
20.（本小题满分12分）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝.证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
21.（本小题满分12分）已知椭圆：（）经过与两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足．
O
A
B
M
x
y
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：为定值．
22. （本小题满分12分）
设，函数．
（1若无零点，求实数的取值范围；
（2）若有两个相异零点，，求证：．
长安一中2017-2018学年第二学期期中考试
高二理科数学答案
一、选择题：BABBC ADCBD AA
二、填空题： 13、-2； 14、24/7； 15、（2,） 16、
三、解答题：
17解：（Ⅰ）因为，所以，
由正弦定理，得
又，从而，由于，所以
（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得
而
得，即 因为，所以．
故的面积为．
18.
.19
20.(1)证明 由已知an＋1＝2an＋2n，
得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.
∴bn＋1－bn＝1，又b1＝a1＝1.
∴{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
(2)解 由(1)知，bn＝n，＝bn＝n.∴an＝n·2n－1.
∴Sn＝1＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，
两边同时乘以2得：
2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
两式相减得：－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝2n－1－n·2n＝(1－n)2n－1，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.
21．（1）将与代入椭圆的方程，得
解得，．…………（5分）
所以椭圆的方程为．…………（5分）
（2）由，知在线段的垂直平分线上，
由椭圆的对称性知、关于原点对称．
①若点、在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上，此时
．
同理，若点、在椭圆的长轴顶点上，则点在椭圆的短轴顶点上，此时
．
②若点、、不是椭圆的顶点，设直线的方程为（），
则直线的方程为．设，，
由，解得， ，
所以，同理可得，
所以为定值．…………（12分）
22.