专题11 空间中的平行与垂直（高考押题）-2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破 6页

专题11 空间中的平行与垂直（高考押题）‎ ‎2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破 ‎1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β(　　)‎ A．若l⊥β，则α⊥β　　　　 B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m 解析：选A.考生可借助笔和桌面，不难通过空间想象加以判断解决，也可借助正方体举反例，直观地排除不正确的选项，从而使问题获解．如：平面B1BCC1⊥平面ABCD，但B1C不垂直BC，可排除B；D1C1∥平面ABCD，但平面D1DCC1不平行于平面ABCD，可排除C；平面A1B1C1D1∥平面ABCD，但A1B1与AC不平行，可排除D，故选A.‎ ‎2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是(　　)‎ A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β 解析：选C.A中，若α⊥β，a⊥α，b∥β，则a∥β或a⊂β，不能得到a⊥b，故A错；B中，a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，则a∥b，故B错；C中，若b⊥β，α∥β，则b⊥α，又a⊂α，则a⊥b，故C正确；D中，a与b可能垂直、平行或异面，故D错．综上所述，故选C.‎ ‎3．在长方体A1B1C1D1ABCD中，直线A1C与平面BC1D交于点M，则M为△BC1D的(　　)‎ A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 ‎4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则(　　)‎ A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α 解析：选C.A，B，D中直线m可能在平面α内也可能与平面α相交或平行；由线面垂直的判定与性质可知C正确，故选C.‎ ‎5．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是(　　)‎ A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β C．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β 解析：选C.A项中可能出现α∥β，B项中可能出现α⊥β，C项正确，由m∥α知平面α内存在直线l，使得m∥l，则l∥n.因为n⊥β，所以l⊥β，因为l⊂α，所以α⊥β，故选C.‎ ‎6．对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是(　　)‎ A．m⊥n，n∥α B．m∥β，β⊥α C．m⊥β，n⊥β，n⊥α D．m⊥n，n⊥β，β⊥α ‎7．已知点E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有(　　)‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 解析：选B.如图，设D1E与平面AA1C1C相交于点M，在平面AA1C1C内过点M作MN∥AA1交C1F于点N，连接MN，由C1F与D1E为异面直线知MN唯一，且MN⊥平面ABCD，故选B.‎ ‎8．已知直线l与平面α平行，则下列结论错误的是(　　)‎ A．直线l与平面α没有公共点 B．存在经过直线l的平面与平面α平行 C．直线l与平面α内的任意一条直线都平行 D．直线l上所有的点到平面α的距离都相等 解析：选C.直线l与平面α平行，则直线l不可能与平面α内的任意一条直线都平行，故选C.‎ ‎9．已知a，b，c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是正确的，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎10．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是(　　)‎ A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β B．b⊂α，c⊄α，若c∥a，则b∥c C．b⊂β，若b⊥α，则β⊥α D．a，b⊂α，a∩b＝P，c⊥a，c⊥b，若α⊥β，则c⊂β 解析：选C.利用排除法求解．A的逆命题为：c⊥α，若α∥β，则c⊥β，成立；B的逆命题为：b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，成立；C的逆命题为：b⊂β，若β⊥α，则b⊥α，不成立；D的逆命题为：a，b⊂α，a∩b＝P，c⊥a，c⊥b，若c⊂β，则α⊥β，成立，故选C.‎ ‎11．已知平面α∥β，且α与β的距离为d(d＞0)，m⊂α，则在β内与直线m的距离为2d的直线共有(　　)‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 解析：选C.由题意得平面β内与直线m的距离为2d的直线为以直线m为中心线，半径为2d的圆柱面与平面β的交线，易知交线有2条，故选C.‎ ‎12．在棱长均相等的正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：‎ ‎①AC1⊥BC；‎ ‎②AF＝FC1；‎ ‎③平面DAC1⊥平面ACC1A1，其中正确的个数为(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎13.在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝，且AD⊥BC，对角线BD＝，AC＝，求AC和BD所成的角．‎ 解　如图，分别取AD，CD，AB，BD的中点E，F，G，H，连接EF，FH，HG，GE，GF.‎ 由三角形的中位线定理知，EF∥AC，‎ 且EF＝，GE∥BD，且GE＝.‎ GE和EF所成的锐角(或直角)就是AC和BD所成的角．‎ 同理，GH＝，HF＝，GH∥AD，HF∥BC.‎ 又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，‎ ‎∴GF2＝GH2＋HF2＝1.‎ 在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，‎ ‎∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角为90°.‎ ‎14．已知空间四边形ABCD中，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边BC，CD的中点．‎ ‎(1)求证：BC与AD是异面直线；‎ ‎(2)求证：EG与FH相交．‎ 证明　(1)假设BC与AD共面．‎ 不妨设它们所共平面为α，则B，C，A，D∈α.‎ ‎∴四边形ABCD为平面图形，‎ 这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾，‎ ‎∴BC与AD是异面直线．‎ ‎(2)如图，连接AC，BD，‎ 则EF∥AC，HG∥AC，‎ ‎∴EF∥HG.同理，EH∥FG，‎ 则EFGH为平行四边形．‎ 又EG，FH是▱EFGH的对角线，‎ ‎∴EG与HF相交．‎ ‎15．如图，圆O为三棱锥P－ABC的底面ABC的外接圆，AC是圆O的直径，PA⊥BC，点M是线段PA的中点．‎ ‎ (1)求证：BC⊥PB；‎ ‎(2)设PA⊥AC，PA＝AC＝2，AB＝1，求三棱锥P－MBC的体积；‎ ‎(3)在△ABC内是否存在点N，使得MN∥平面PBC？请证明你的结论．‎ ‎(1)证明　如图，因为AC是圆O的直径，所以BC⊥AB，‎ 因为BC⊥PA，又PA、AB⊂平面PAB，且PA∩AB＝A，‎ 所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，‎ ‎(2)解　如图，在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝1，‎ 所以BC＝，‎ 因此S△ABC＝，‎ 因为PA⊥BC，PA⊥AC，BC∩AC＝C，‎ 所以PA⊥平面ABC，‎ 所以， VP－MBC＝VP－ABC－VM－ABC＝··2－··1＝.‎