配套K12高考数学总复习讲练测专题43简单的三角恒等变换讲 16页

第03节 三角恒等变换 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 简单的三角恒等变换 ‎①掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公 式.‎ ‎②掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.‎ ‎2013浙江文6；理6；‎ ‎2014浙江文4,18；理4，18；‎ ‎2015浙江文11,16；理11；‎ ‎2016浙江文11；理10，16；‎ ‎2017浙江14，18.‎ ‎1.和（差）角公式；‎ ‎2.二倍角公式；‎ ‎3.和差倍半的三角函数公式的综合应用.‎ ‎4.备考重点：‎ ‎ (1) 掌握和差倍半的三角函数公式；‎ ‎(2) 掌握三角函数恒等变换的常用技巧.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1. 两角和与差的三角函数公式的应用 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；‎ C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；‎ S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；‎ S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；‎ T(α＋β)：tan(α＋β)＝；‎ T(α－β)：tan(α－β)＝.‎ 变形公式：‎ tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；‎ ‎.‎ 函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝‎ cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．‎ 对点练习：‎ ‎【2018广西南宁二中、柳州高中9月联考】若，且为第三象限角，则等于( )‎ A. 7 B. C. 1 D. 0‎ ‎【答案】A 本题选择A选项. ‎ ‎2. 二倍角公式的运用公式的应用 二倍角的正弦、余弦、正切公式：‎ S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；‎ C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ T2α：tan 2α＝.‎ 变形公式：‎ cos2α＝，sin2α＝ ‎1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2‎ 对点练习：‎ ‎【2017浙江，18】已知函数f（x）=sin2x–cos2x– sin x cos x（xR）．‎ ‎（Ⅰ）求的值．‎ ‎（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）由与得 所以的最小正周期是 由正弦函数的性质得 解得 所以的单调递增区间是．‎ ‎【考点深度剖析】‎ 对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等知识结合考查，在三角恒等变换过程中，准确记忆公式、适当变换式子、有效选取公式是解决问题的关键．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1两角和与差的三角函数公式的应用 ‎【1-1】【2018江西省赣州厚德外国语学校上学期第一次测试】的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】故选D.‎ ‎【1-2】【2018河南省名校联盟第一次段考】已知圆O：x2+y2=1，点A1213,513，B-35,45，记射线OA与x轴正半轴所夹的锐角为α，将点B绕圆心O逆时针旋转α角度得到点C，则点C的坐标为__________．‎ ‎【答案】-5665,3365‎ ‎【解析】设射线OB与x轴正半轴的夹角为β，有已知有cosα=1213,sinα=513,cosβ=-35,sinβ=45，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=-5665 ，且sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=3365 ，C点坐标为(-5665,3365) . ‎ ‎【1-3】已知：，，且，则=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎,‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练，准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．‎ ‎2．应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．‎ 提醒：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用诱导公式化简．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知均为锐角，且，．‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎∴ ==．‎ ‎【变式二】已知函数的部分图像如图所示. ‎ ‎（Ⅰ）求函数)的解析式，并写出的单调减区间；‎ ‎（Ⅱ）的内角分别是A,B,C.若,,求的值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由图象最高点得A=1， ‎ 由周期. ‎ 当时，，可得 ，‎ 因为，所以． ‎ ‎ . ‎ 由图象可得的单调减区间为. ‎ 考点2 二倍角公式的运用公式的应用 ‎【 2-1】【2017浙江ZDB联盟一模】已知， ，则__________， __________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为， ，所以 ‎ 因为，所以，因此 .‎ ‎【2-2】【江苏省淮安市五模】已知，且，则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【2-3】已知，且，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，，，又因为，所以.‎ ‎【领悟技法】‎ 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：‎ ‎（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；‎ ‎（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【变式二】已知，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由二倍角公式得，整理得，‎ 因此，由于，，，‎ ‎，故答案为A．‎ 考点3 三角恒等式的证明 ‎【3-1】求证：＝sin 2α.‎ ‎【解析】∵左边＝＝＝＝ ‎ ＝cos αsincos＝sin αcos α ‎ ＝sin 2α＝右边．‎ ‎∴原式成立．‎ ‎【3-2】求证：＝－2cos (α＋β).‎ ‎【3-3】已知，，且，.‎ ‎ 证明：.‎ ‎【解析】，即，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎，，，‎ ‎.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.三角恒等式的证明主要有两种类型：绝对恒等式与条件恒等式．‎ ‎(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，变更论证，通过三角恒等式变换，使等式的两边化异为同．‎ ‎(2)条件恒等式的证明则要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当途径．常用代入法、消元法、两头凑等方法．‎ ‎（3）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．‎ ‎2.变换技巧：(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；β＝－；＝.‎ ‎（3）化简技巧：切化弦、“1”的代换等 ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】求证：.‎ ‎【解析】左边＝＋‎ 故原式得证．‎ ‎【变式二】已知，证明：.‎ ‎【解析】左边 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 右边.‎ 故原命题成立.‎ 考点4三角函数的综合应用 ‎【4-1】【2018湖北省部分重点中学起点】设函数f(x)=sinθ3x3+3cosθ2x2+tanθ，其中θ∈[0,5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是________．‎ ‎【答案】[2，2]‎ ‎【4-2】【2017浙江温州二模】已知函数f(x)=3sinxcosx+cos2x．‎ ‎（1）求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎（2）若-π2<α<0，f(α)=56，求sin2α的值.‎ ‎【答案】（1）π；（2）3-226.‎ ‎【解析】试题解析：‎ ‎（1）f(x)=32sin2x+cos2x+12=sin(2x+π6)+12‎ ‎∴函数f(x)的最小正周期是π ‎（2）f(α)=sin(2α+π6)+12=56 ∴sin(2α+π6)=13，‎ ‎-π2<α<0，∴-5π6<2α+π6<π6，又sin(2α+π6)>0.‎ ‎∴0<2α+π6<π6 ∴cos(2α+π6)=223，‎ ‎∴sin2α=sin((2α+π6)-π6)=32sin(2α+π6)-12cos(2α+π6)=3-226.‎ ‎【4-3】【2018江苏海安上学期第一次测试】已知向量a=(cosx,sinx)，b=(3,-3)，x∈[0,π].‎ ‎（1）若a//b，求x的值；‎ ‎（2）记f(x)=a⋅b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ ‎【答案】(1) x=5π6;(2) 当x=0时，f(x)取到最大值3；当x=5π6时，f(x)取到最小值-23..‎ ‎【解析】试题分析：（1）依据题设条件a//b建立方程-3cosx=3sinx分析求解；（2）先运用向量的坐标形式的数量积公式建立函数fx=a⋅b=3cosx-3sinx=23cos(x+π6)，然后借助余弦函数的图像和性质进行探求：‎ 解：（1）因为a=(cosx,sinx)，b=(3,-3)，a//b，‎ 所以-3cosx=3sinx.‎ 若cosx=0，则sinx=0，与sin2x+cos2x=1矛盾，故cosx≠0.‎ 于是tanx=-33.‎ 又x∈[0,π]，所以x=5π6.‎ ‎【领悟技法】 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2017浙江湖州、衢州、丽水三市4月联考】函数的部分图象如图所示,M为最高点,该图象与y轴交于点,与x轴交于点B,C, 且的面积为．‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式；‎ ‎(Ⅱ)若,求的值.‎ ‎【答案】( Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎( Ⅰ)因为,‎ 所以周期，，‎ 由,得, ‎ 因为,所以, ‎ 所以；‎ ‎(Ⅱ)由,得, ‎ 所以.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：若sin θ，cos θ是关于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常数)的两根，θ∈(0，π)，求cos 2θ的值．‎ 易错分析：不注意挖隐含条件，角的取值范围，处理好开方、平方关系，避免出现增解与漏解的错误．‎ 正确解析：由题意知：sin θ＋cos θ＝，‎ 温馨提醒：求解三角函数问题，应灵活运用公式，特别注意已知等式中角的取值范围，涉及开方求值问题，注意正负号的选取.‎ ‎【学科素养提升之思想方法篇】‎ 数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想 我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休。""数"与"形"反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.‎ 向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解答向量问题时，要注意恰当地运用数形结合思想，将复杂问题简单化、将抽象问题具体化，达到事半功倍的效果.‎ ‎【典例】在平面坐标系中，直线与圆相交于,（在第一象限）两个不同的点，且则的值是 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎∴．‎