人教A版理科数学课时试题及解析（22）正、余弦定理和三角形面积公式B 5页

课时作业(二十二)B [第 22 讲 正、余弦定理和三角形面积公式] [时间：35 分钟 分值：80 分] 基础热身 1． 已知锐角△ABC 的面积为 3 3，BC＝4，CA＝3，则角 C 的大小为( ) A．75° B．60° C．45° D．30° 2．在△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，B＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2 或 3 D. 3 2 或 3 4 3． 如图 K22－1，在 2011 年日本地震引发的海啸灾难的搜救现场，一条搜救犬沿正北 方向行进 x m 发现生命迹象，然后向右转 105°，行进 10 m 发现另一个生命迹象，这时它向 右转 135°后继续前行回到出发点，那么 x＝( ) 图 K22－1 A．10 2 m B.10 3 3 m C.10 6 3 m D．10 m 4． 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 A＝π 3 ，a＝ 3，b＝1，则 c 等于________． 能力提升 5． 在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，若 a＝2，sinB＋sinC＝ 3sinA， 且△ABC 的面积为 4 3sinA，则角 A＝( ) A.π 6 B.π 3 C.π 2 D.5 3π 6． △ABC 中，a，b，c 分别为 A、B、C 的对边，如果 a，b，c 成等差数列，B＝30°， △ABC 的面积为 0.5，那么 b 为( ) A．1＋ 3 B．3＋ 3 C.3＋ 3 3 D．2＋ 3 7． 在△ABC 中，a，b，c 是角 A，B，C 的对边，若 a，b，c 成等比数列，A＝60°， 则bsinB c ＝( ) A.1 2 B．1 C. 2 2 D. 3 2 8．△ABC 中，三边之比 a∶b∶c＝2∶3∶4，则sinA－2sinB sin2C 等于( ) A.1 2 B．2 C．－1 2 D．－2 9．在△ABC 中，若 a＝3 2，cosC＝1 3 ，S△ABC＝4 3，则 b＝________. 10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 2，b＝2，sinB＋cosB ＝ 2，则角 A 的大小为________． 11．在锐角△ABC 中，BC＝1，B＝2A，则 AC cosA 的值等于________，AC 的取值范围为 ________． 12．(13 分)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且满足(2c－a)cosB－bcosA ＝0. (1)若 b＝7，a＋c＝13，求此三角形的面积； (2)求 3sinA＋sin C－π 6 的取值范围． 难点突破 13．(12 分)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，且满足 sinA＋ 3cosA ＝2. (1)求角 A 的大小； (2)现给出三个条件：①a＝2；②B＝45°；③c＝ 3b. 试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC 的面 积(只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分)． 课时作业(二十二)B 【基础热身】 1．B [解析] 由△ABC 的面积为 3 3，得1 2·BC·CAsinC＝3 3，得 sinC＝ 3 2 .又△ABC 是锐角三角形，则 C＝60°，故选 B. 2．D [解析] 由正弦定理，有 AB sinC ＝ AC sinB ，得 sinC＝ABsin30° AC ＝ 3 2 ，C＝60°或 C＝120°. 当 C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝1 2AB·AC＝ 3 2 ； 当 C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝1 2AB·ACsin30°＝ 3 4 ，故选 D. 3．C [解析] 如下图，在△ABC 中，∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，BC＝10，∴∠BAC ＝60°，∴ AB sin∠ACB ＝ BC sin∠BAC ， ∴AB＝BCsin∠ACB sin∠BAC ＝ 10× 2 2 3 2 ＝10 6 3 . 4．2 [解析] 由正弦定理，有 a sinA ＝ b sinB ，得 sinB＝ bsinπ 3 a ＝1 2.又 a>b，即 A>B，则 B＝π 6 ， C＝π－(A＋B)＝π 2. ∴c＝ a2＋b2＝2. 【能力提升】 5．B [解析] 由 sinB＋sinC＝ 3sinA 和正弦定理得 b＋c＝ 3a＝2 3， ∴b2＋c2＝12－2bc.又△ABC 的面积为 4 3sinA， ∴1 2bcsinA＝4 3sinA，∴bc＝8 3 ， 故 cosA＝b2＋c2－a2 2bc ＝1 2 ， 得 A＝π 3. 6．C [解析] 由题意得，2b＝a＋c，S△ABC＝1 2ac·1 2 ＝1 2 ⇒ac＝2，所以 a2＋c2＝4b2－4.由 余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2ac· 3 2 ⇒b2＝4＋2 3 3 ⇒b＝3＋ 3 3 ，故选 C. 7．D [解析] 因为 a，b，c 成等比数列，所以b c ＝a b ，于是 bsinB c ＝a b ×sinB＝sinA sinB ×sinB＝sinA＝sin60°＝ 3 2 ，故选 D. 8．B [解析] 由已知 a∶b∶c＝2∶3∶4，可设 a＝2m，b＝3m，c＝4m，则 cosC＝a2＋b2－c2 2ab ＝－1 4. 由正弦定理，有 a sinA ＝ b sinB ＝ c sinC ＝2R，则 sinA＝ a 2R ＝m R ，sinB＝ b 2R ＝3m 2R ，sinC＝ c 2R ＝2m R ， ∴sinA－2sinB sin2C ＝sinA－2sinB 2sinCcosC ＝ 1－2×3 2 2×2× －1 4 ＝2，故选 B. 9．2 3 [解析] ∵cosC＝1 3 ，∴sinC＝ 1－cos2C＝2 2 3 ， 又 S△ABC＝4 3，即 1 2absinC＝4 3，∴b＝2 3. 10.π 6 [解析] 由 sinB＋cosB＝ 2sin B＋π 4 ＝ 2，得 sin B＋π 4 ＝1，所以 B＝π 4. 由正弦定理，有 a sinA ＝ b sinB ，得 sinA＝asinB b ＝ 2·sinπ 4 2 ＝1 2 ，所以 A＝π 6 或5π 6 (舍去)． 11．2 ( 2， 3) [解析] 由正弦定理，得 AC sin2A ＝ BC sinA ，即 AC 2sinAcosA ＝ 1 sinA ，∴ AC cosA ＝ 2. ∵△ABC 是锐角三角形，∴0＜A＜π 2 ，0＜2A＜π 2 ，0＜π－3A＜π 2 ，解得π 6 ＜A＜π 4 ， 由 AC＝2cosA 得 AC 的取值范围为( 2， 3)． 12．[解答] 由已知及正弦定理，得 (2sinC－sinA)cosB－sinBcosA＝0， 即 2sinCcosB－sin(A＋B)＝0. 在△ABC 中，由 sin(A＋B)＝sinC， 则 sinC(2cosB－1)＝0. ∵C∈(0，π)，∴sinC≠0， ∴2cosB－1＝0，所以 B＝60°. (1)由余弦定理，有 b2＝a2＋c2－2accos60°＝(a＋c)2－3ac， 即 72＝132－3ac，得 ac＝40， 所以△ABC 的面积 S＝1 2acsinB＝10 3. (2) 3sinA＋sin C－π 6 ＝ 3sinA＋sin π 2 －A ＝ 3sinA＋cosA＝2sin A＋π 6 ， 又 A∈ 0，2π 3 ，∴A＋π 6 ∈ π 6 ，5π 6 ， 则 3sinA＋sin C－π 6 ＝2sin A＋π 6 ∈(1，2]. 【难点突破】 13．[解答] (1)依题意得 2sin A＋π 3 ＝2， 即 sin A＋π 3 ＝1， ∵01 不成立，这样的三角形不存在．