2020年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式达标检测新人教A版选修4-5 7页

第一讲 不等式和绝对值不等式 达标检测　‎ 时间：120分钟　满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若a>b>c，则－(　　)‎ A．大于0　　　　　　 B．小于0‎ C．小于等于0 D．大于等于0‎ 解析：∵a>b>c，∴a－c>b－c>0，‎ ‎∴<，∴－>0.故选A.‎ 答案：A ‎2．已知a＋b>0，b<0，那么a，b，－a，－b的大小关系是(　　)‎ A．a>b>－b>－a B．a>－b>－a>b C．a>－b>b>－a D．a>b>－a>－b 解析：∵a＋b>0，b<0，‎ ‎∴a>－b>0,0>b>－a，‎ ‎∴a>－b>b>－a.‎ 答案：C ‎3．若logxy＝－2，则x＋y的最小值是(　　)‎ A. B． C. D． 解析：由logxy＝－2得y＝，而x＋y＝x＋＝＋＋≥3＝3＝.‎ 答案：A ‎4．已知|x－a|0，b>0，a＋b＝1，则的最小值是(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ 解析： ‎＝ ‎＝＝＋1，‎ ‎∵a＋b＝1，∴2≤1.‎ ‎∴ab≤，∴≥9.‎ 答案：D ‎11．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－‎3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)‎ B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)‎ C．[1,2]‎ D．(－∞，1]∪[2，＋∞)‎ 解析：因为－4≤|x＋3|－|x－1|≤4，且|x＋3|－|x－1|≤a2－‎3a对任意x恒成立，‎ 所以a2－‎3a≥4，即a2－‎3a－4≥0，‎ 解得a≥4，或a≤－1.‎ 答案：A ‎12．设0时，原不等式转化为4x≤6⇒x≤；‎ 当－≤x≤时，原不等式转化为2≤6，恒成立；‎ 当x<－时，原不等式转化为－4x≤6⇒x≥－.‎ 由上综合知，原不等式的解集为.‎ 法二：原不等式可化为|x－|＋|x＋|≤3，其几何意义为数轴上到，－两点的距离之和不超过3的点的集合．数形结合知，当x＝或x＝－时，到，－两点的距离之和恰好为3，故当－≤x≤时，满足题意，则原不等式的解集为.‎ 答案： ‎14．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是________．‎ 解析：因为x，a，b，y成等差数列，所以x＋y＝a＋b，‎ 又x，c，d，y成等比数列，所以xy＝cd，＝＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时，取等号．‎ 答案：4‎ ‎15．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________．‎ 解析：(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，‎ ‎∴1＋a＋2≥9，即a＋2－8≥0，故a≥4.‎ 答案：4‎ ‎16. 下面四个命题：①若a>b，c>1，则alg c>blg c；‎ 7‎ ‎②若a>b，c>0，则alg c>blg c；‎ ‎③若a>b，则a·‎2c>b·‎2c；‎ ‎④若a0，则>.‎ 其中正确命题有________．(填序号)‎ 解析：②不正确，因为00，且x＋3y＋4z＝6，求x2y3z的最大值．‎ 解析：∵6＝x＋3y＋4z＝＋＋y＋y＋y＋4z≥6，‎ ‎∴x2y3z≤1(当＝y＝4z时，取“＝”)．‎ ‎∴x＝2，y＝1，z＝时，x2y3z取得最大值1.‎ ‎18．(12分)已知ab≠0，且a>b，试比较与的大小．‎ 解析：－＝，‎ ‎∵ab≠0，a>b，∴b－a<0，‎ 如果ab<0，>0，∴>，‎ 如果ab>0，<0，∴<.‎ ‎19．(12分)解不等式|2x－4|－|3x＋9|<1.‎ 解析：①当x>2时，原不等式等价于 ⇒x>2.‎ ‎②当－3≤x≤2时，原不等式等价于 ⇒－0，b>0，求证：≥9.‎ 证明：因为a>0，b>0，所以 7‎ a＋b＋≥3＝3>0. ①‎ 同理可证a2＋＋≥3>0. ②‎ 由①，②结合不等式的性质得 ‎≥3×3＝9，‎ 当a＝b＝1时，取等号．‎ ‎21．(13分)已知函数f(x)＝|x－a|.‎ ‎(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解析：(1)由f(x)≤3得|x－a|≤3，‎ 解得a－3≤x≤a＋3.‎ 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，‎ 所以解得a＝2.‎ ‎(2)法一：当a＝2时，f(x)＝|x－2|.‎ 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，‎ 于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝ 所以当x<－3时，g(x)>5；‎ 当－3≤x≤2时，g(x)＝5；‎ 当x>2时，g(x)>5.‎ 综上所述，g(x)的最小值为5.‎ 从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立．‎ 则m的取值范围为(－∞，5]．‎ 法二：当a＝2时，f(x)＝|x－2|.‎ 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．‎ 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得，g(x)的最小值为5.‎ 从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为 ‎(－∞，5]．‎ ‎22．(13分)在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM‎1M‎2‎M3‎N与路径MN1N都是M到N的“L 7‎ 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点A(3,20)，B(－10,0)，C(14,0)处．现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心．‎ ‎(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；‎ ‎(2)若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．‎ 解析：设点P的坐标为(x，y)．‎ ‎(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x－3|＋|y－20|，‎ x∈R，y∈[0，＋∞)．‎ ‎(2)由题意知，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值．‎ ‎①当y≥1时，d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋2|y|＋|y－20|.‎ 因为d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|≥|x＋10|＋|x－14|，(*)‎ 当且仅当x＝3时，不等式(*)中的等号成立．‎ 又因为|x＋10|＋|x－14|≥24，(**)‎ 当且仅当x∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立，‎ 所以d1(x)≥24，当且仅当x＝3时，等号成立．‎ d2(x)＝2|y|＋|y－20|≥21，当且仅当y＝1时，等号成立．‎ 故点P的坐标为(3,1)时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.‎ ‎②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|，此时，d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|，‎ d2(y)＝1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|＝22－y≥21.‎ 由①知，d1(x)≥24，故d1(x)＋d2(y)≥45，当且仅当x＝3，y＝1时等号成立．‎ 综上所述，在点P(3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．‎ 7‎