备战中考中考数学新题分类汇编中考真题模拟新题全等三角形 19页

全等三角形 一、选择题 1. （2011安徽芜湖，6，4分）如图，已知 中， ， 是高 和 的交点， ，则线段 的长度为（ ）. A． B． 4 C． D． 【答案】B 2. （2011 山东威海，6，3 分）在△ABC 中，AB＞AC，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 F 在 BC 边上，连接 DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD 与△EDF 全等 （ ）． A． EF∥AB B．BF=CF C．∠A=∠DFE D．∠B=∠DFE 【答案】C 3. （2011 浙江衢州，1,3 分）如图， 平分 于点 ，点 是射线 上的一个动点，若 ，则 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D. 4 【答案】B 4. （2011 江西，7，3 分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD 的是（ ）. ABC△ 45ABC∠ =  F AD BE 4CD = DF 2 2 3 2 4 2 OP ,MON PA ON∠ ⊥ A Q OM 2PA = PQ （第 6 题） AO N M Q P A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC 第 7 题图 【答案】D 5. （2011 江苏宿迁,7,3 分）如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD 的条件是 （▲） A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠ BDA＝∠CDA 【答案】B 6. （2011 江西南昌，7，3 分）如图下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD 的是（ ）. A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC 第 7 题图 【答案】D 7. （2011 上海，5，4 分）下列命题中，真命题是（ ）． (A)周长相等的锐角三角形都全等； (B) 周长相等的直角三角形都全等； (C)周长相等的钝角三角形都全等； (D) 周长相等的等腰直角三角形都全等． 【答案】D 8. （2011安徽芜湖，6,4分）如图，已知 中， ， 是高 和 的 交点， ，则线段 的长度为（ ）. A． B． 4 C． D． ABC△ 45ABC∠ =  F AD BE 4CD = DF 2 2 3 2 4 2 【答案】B 9. 10． 二、填空题 1. （2011 江西，16，3 分）如图所示，两块完全相同的含 30°角的直角三角形叠放在一起， 且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC ；②△ADG≌△ACF； ③O 为 BC 的中点； ④AG：DE= ：4，其中正确结论的序号是 .（错填得 0 分，少填酌情给 分） 【答案】①②③ 2. （2011 广东湛江 19,4 分）如图，点 在同一直线上, , , （填“是”或“不是”） 的对顶角，要使 ，还需添加一个条件，这个 条件可以是 （只需写出一个）． 【答案】 3. 4. 5. 三、解答题 1. （2011 广东东莞，13，6 分）已知：如图，E,F 在 AC 上，AD∥CB 且 AD=CB，∠D＝∠B. 求证：AE=CF. 3 , , ,B C F E 1 2∠ = ∠ BC FE= 1∠ 2∠ ABC DEF∆ ≅ ∆ AC DF= 【答案】∵AD∥CB ∴∠A=∠C 又∵AD=CB，∠D=∠B ∴△ADF≌△CBE ∴AF=CE ∴AF+EF=CE+EF 即 AE=CF 2. （2011 山东菏泽，15（2），6 分）已知：如图，∠ ABC=∠DCB，BD、CA 分别是 ∠ABC、∠DCB 的平分线．求证：AB=DC 证明：在△ABC 与△DCB 中 （∵AC 平分∠BCD，BD 平分∠ABC） ∴△ABC≌△DCB ∴AB=DC 3. （2011 浙江省，19，8 分）如图，点 D，E 分别在 AC，AB 上． (1) 已知，BD=CE，CD=BE，求证：AB=AC； (2) 分别将“BD=CE”记为①，“CD=BE” 记为②，“AB=AC”记为③．添加条件①、③，以 ②为结论构成命题 1，添加条件②、③以①为结论构成命题 2．命题 1 是命题 2 的 命题， 命题 2 是 命题．（选择“真”或“假”填入空格）． (ABC DCB ACB DBC BC BC ∠ = ∠  ∠ = ∠  = 已知） （公共边） 【答案】 (1) 连结 BC，∵ BD=CE，CD=BE，BC=CB． ∴ △DBC≌△ECB （SSS） ∴ ∠DBC =∠ECB ∴ AB=AC (2) 逆， 假； 4. （2011 浙江台州，19,8 分）如图，在□ABCD 中，分别延长 BA，DC 到点 E，使得 AE=AB， CH=CD，连接 EH，分别交 AD，BC 于点 F,G。求证：△AEF≌△CHG. 【答案】证明： ∵ □ABCD ∴ AB=CD,∠BAD=∠BCD AB∥CD ∴ ∠EAF=∠HCG ∠E=∠H ∵ AE=AB，CH=CD ∴ AE=CH ∴ △AEF≌△CHG. 5. （2011 四川重庆，19，6 分）如图，点 A、F、C、D 在同一直线上，点 B 和点 E 分别在直 线 AD 的两侧，且 AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．求证：BC∥EF． 【证明】∵AF＝DC，∴AC＝DF，又∠A＝∠D ， AB＝DE，∴△ABC≌△DEF， ∴∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF． 6.（2011 江苏连云港，20，6 分）两块完全相同的三角形纸板 ABC 和 DEF，按如图所示的方 式叠放，阴影部分为重叠部分，点 O 为边 AC 和 DF 的交点.不重叠的两部分△AOF 与 △DOC 是否全等？为什么？ 【答案】解：全等 .理由如下：∵两三角形纸板完全相同，∴BC=BF，AB=BD，∠A=∠D，∴ AB－BF=BD－BC，即 AF=DC.在△AOF 和△DOC 中，∵AF=DC，∠A=∠D，∠AOF=∠DOC，∴△AOF ≌△DOC（AAS）. 7. （2011 广东汕头，13，6 分）已知：如图，E,F 在 AC 上，AD∥CB 且 AD=CB，∠D＝∠B. 求证：AE=CF. 【答案】∵AD∥CB ∴∠A=∠C 又∵AD=CB，∠D=∠B ∴△ADF≌△CBE ∴AF=CE ∴AF+EF=CE+EF 即 AE=CF 8. （ 2011 重庆江津， 22，10 分）在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90º,F 为 AB 延长线上一 点,点 E 在 BC 上,且 AE=CF. (1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF; (2)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数. 【答案】（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°. 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中, ∵AE=CF, AB=BC, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL) (2)∵AB=BC, ∠ABC=90°, ∴ ∠CAB=∠ACB=45°. ∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°. 由（1）知 Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF=∠BAE=15°, AB C E F 第 22 题图 ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°. 9. （2011 福建福州，17（1），8 分）如图 6, 于点 , 于点 , 交 于点 ,且 . 求证 . 【答案】(1)证明:∵ , ∴ 在 和 中 ∴ ≌ ∴ 10．（2011 四川内江，18，9 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB，点 D 是 AC 的中点，将一块锐角为 45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与 A、D 重合，连结 BE、EC． 试猜想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想． 【答案】BE=EC，BE⊥EC ∵AC=2AB，点 D 是 AC 的中点 ∴AB=AD=CD ∵∠EAD=∠EDA=45° ∴∠EAB=∠EDC=135° ∵EA=ED ∴△EAB≌△EDC ∴∠AEB=∠DEC，EB=EC ∴∠BEC=∠AED=90° ∴BE=EC，BE⊥EC 11. （2011 广东省，13，6 分）已知：如图，E,F 在 AC 上，AD∥CB 且 AD=CB，∠D＝∠B. AB BD⊥ B ED BD⊥ D AE BD C BC DC= AB ED= A 图 6 B C D E AB BD⊥ ED BD⊥ 90ABC D∠ = ∠ =  ABC∆ EDC∆ ABC D BC DC ACB ECD ∠ = ∠ = ∠ = ∠ ABC∆ EDC∆ AB ED= A B C D E 求证：AE=CF. 【答案】∵AD∥CB ∴∠A=∠C 又∵AD=CB，∠D=∠B ∴△ADF≌△CBE ∴AF=CE ∴AF+EF=CE+EF 即 AE=CF 12. （2011 湖北武汉市，19，6 分）（本题满分 6 分）如图，D，E，分 别 是 AB，AC 上 的 点 ，且 AB=AC，AD=AE．求证∠B=∠C． 【答案】证明：在△ABE 和△ACD 中， AB＝AC ∠A＝∠A AE＝AD ∴△ABE≌△ACD ∴∠B=∠C 13. （2011 湖南衡阳，21，6 分）如图，在△ABC 中，AD 是中线，分别过点 B、C 作 AD 及其 延长线的垂线 BE、CF，垂足分别为点 E、F．求证：BE=CF． 【证明】∵在△ABC 中，AD 是中线， ∴BD=CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90° ，在△BED 与△CFD 中，∵∠BED＝∠ CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD，∴BE=CF． 14. (20011 江苏镇江,22,5 分)已知:如图,在△ABC 中,D 为 BC 上的一点,AD 平分∠EDC,且∠ E=∠B,ED=DC. 求证:AB=AC 【答案】证明∵AD 平分∠EDC,∴∠ADE=∠ADC,又 DE=DC,AD=AD, ∴△ADE≌△ADC, ∴∠E=∠C, 又∠E=∠B, ∴∠B =∠C, ∴AB=AC. 15. （2011 湖北宜昌，18，7 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 中点，AE 的延长线 与 DC 的延长线相交于点 F. (1)证明：∠DFA = ∠FAB； (2)证明: △ABE≌△FCE. （第 18 题图） 【答案】证明：（1）∵AB 与 CD 是平行四边形 ABCD 的对边，∴AB∥CD，（1 分）∴∠F=∠ FAB．（3 分）（2）在△ABE 和△FCE 中， ∠FAB=∠F （4 分）∵ ∠AEB=∠FEC （5 分）BE=CE （6 分）∴ △ABE≌△FCE．（7 分） 三角形全等 一、选择题 1. （2011 深圳市全真中考模拟一）如图，将两根钢条 、 的中点 O 连在一起，使 、 可以绕着点 0 自由转动，就做成了一个测量工件，则 的长等于内槽宽 AB，那么 判定△AOB △ 的理由是 (A)边角边 (B)角边角 (C)边边边 (D)角角边 答案;A 二、填空题 1、（2011 北京四中模拟 8）如图，∠ACB=∠ADB，要使△ACB≌△BDA，请写出一个符合要求 'AA 'BB 'AA 'BB ' 'A B ≅ ' 'A OB 第 1 题 DC BA （第 2 题） ① ② ③ A D F C BE （ 第 3 题 ） 图） 的条件 答案 ∠CAB=∠DBA 或∠CBA=DAB [来源:学科网 ZXXK] 2、（2011 年北京四中模拟 28） 如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃， 最省事的办法是带编号为 的碎片去． 答案：③ 3．（2011 年海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为 4 的正方形 塑料摸板 ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落 在 点，两条直角边分别与 交于点 ，与 延长线交于 点 ．则四边形 的面积是　　　　 　　　． 答案：16 三、解答题 A 组 1、（浙江省杭州市2011年中考数学模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与B，C 重合），F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE． 请你添加一个条件，使△BDE≌△ CDF（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明． 【根据习题改编】 （1）你添加的条件是： ； （2）证明： 答案： 解：（1） (或点 D 是线段 BC 的中点)， ， 中任选一个 ABCD A CD F CB E AECF A CB D F E ( 第 1 题 ) 图) DCBD = EDFD = BECF = 即可﹒ （2）以 为例进行证明： ∵ CF∥BE， ∴ ∠FCD﹦∠EBD． 又∵ ，∠FDC﹦∠EDB， ∴ △BDE≌△CDF． [来源:学&科&网] 2、（2011 年北京四中三模） 如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB 和 AD 上的点，已知 CE⊥BF，垂足为 M，请 找出和 BE 相等的线段，并证明你的结论。 答案：和 BE 相等的线段是：AF 通过证明△ABF≌△BCE 得证 BE=AF 3、（2011 年如皋市九年级期末考）如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，在不添加任何辅 助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是： ，并给予 证明． 答案：答案不惟一．添加条件为 AE＝AF 或∠EDA＝∠FDA 或∠AED＝∠AFD． 以添加条件 AE＝AF 为例证明．[来源:学科网 ZXXK] 证明：在△AED 与 △AFD 中， ∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）． 4、（北京四中模拟） 已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC=DC，CF 平分∠BCD，DF∥AB，BF 的延长线 交 DC 于点 E． 求证：（1）△BFC≌△DFC； （2）AD=DE． C D M F E B A DCBD = DCBD = B A E F D C （第 3 题） 答案：略 2、（2011 杭州模拟 26） 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边分别在 x 轴和 y 轴 上，OA=10cm，OC=6cm。P 是线段 OA 上的动点，从点 O 出发，以 1cm/s 的速度沿 OA 方向作 匀速运动，点 Q 在线段 AB 上。已知 A、Q 两点间的距离是 O、P 两点间距离的 a 倍。若用 （a，t）表示经过时间 t(s)时，△OCP、△PAQ 、△CBQ 中有两个三角形全等。请写出（a， t）的所有可能情况 . 答案：（0，10），（1，4），（ ，5） 3、（北京四中模拟）如图，已知 ．求证： ． 证明： ． ．[来源:学科网 ZXXK] 又 ， ． 4、（2011 年北京四中模拟 26）已知：如图，D 是 AC 上一点，BE∥AC，BE=AD，AE 分 别交 BD、BC 于点 F、G，∠1=∠2。 （1）图中哪个三角形与△FAD 全等？证明你的结论；[来源:学§科§网] 6 5 AB DC AC DB= =， 1 2∠ = ∠ AB DC AC DB BC BC =  =  =  ， ， ， ABC DCB∴△ ≌△ A D∴∠ = ∠ AOB DOC∠ = ∠ 1 2∴∠ = ∠ 答案：解：（1）△ 。证明： 。 又 5、（2011 年北京四中模拟 28） 如图，点 F 是 CD 的中点，且 AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC． （1）求证：AB=AE； （2）连接 BE，请指出 BE 与 AF、BE 与 CD 分别有怎样的关系？ （只需写出结论，不必证明）． 答案： （1） 证明：联结 AC、AD----------------------------------------------------------------1 分 ∵点 F 是 CD 的中点，且 AF⊥CD，∴AC=AD---------------1 分 ∴∠ACD=∠ADC------------------------------------------------------1 分 ∵∠BCD＝∠EDC, ∴∠ACB＝∠ADE-------------------------1 分 ∵BC=DE，AC=AD ∴△ABC≌△AED, -------------- -----------------------------------------1 分 ∴AB=AE-------------------------------------- -----------------------------1 分 （2） BE⊥AF,BE//CD,AF 平分 BE-- ------------------------------------1 分，1 分，2 分 （注：写出一个得 1 分，写出两个得 2 分，写出三个得 4 分） 6、（2011 年北京四中中考模拟 20）(本题 8 分)如图，AB∥CD (1)用直尺和圆规作 的平分线 CP，CP 交 AB 于点 E(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)中作出的线段 CE 上取一点 F，连结 AF。要使△ACF≌△AEF，还需要添加一个什么 条件？请你写出这个条件(只要给出一种情况即可；图中不再增加字母和线段；不要求证明)。 解：(1)作图略； (2)取点 F 和画 AF 正确(如图)； 添加的条件可以是：F 是 CE 的中点； AF⊥CE；∠CAF=∠EAF 等。(选一个即可) [来源:学.科.网 Z.X.X.K] C∠ FAB FAD≅ ∆ , 1AD BE E∴∠ = ∠  , ,EFB AFD BE AD FEB FAD∠ = ∠ = ∴∆ ≅ ∆ A B C D E F A B C D A C D B C A B D E P F 7. （2011 年黄冈市浠水县中考调研试题）已知：如图，在△ABC、△ADE 中，∠BAC＝∠DAE ＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点 C、D、E 三点在同一直线上，连结 BD. 求证：(1)△BAD≌△CAE； (2)试猜想 BD、CE 有何特殊位置关系，并证明. 答案：（1）AB＝AC，易证∠BAD＝∠CAE ，AD＝AE，所以△BAD≌△CAE（SAS） （2）BD⊥CE，证明略. 8. （2011 年北京四中中考全真模拟 17）已知：如图，已知：D 是△ABC 的边 AB 上一点，CN ∥AB，DN 交 AC 于，若 MA=MC. 求证：CD=AN. 答案：证明：如图， 因为 AB∥CN，所以 在 和 中 ≌ 是平 行四边形 21 ∠=∠ AMD∆ CMN∆    ∠=∠ = ∠=∠ CMNAMD CMAM 21 AMD∆ CMN∆ CNAD =∴ CNAD //又 ADCN四边形∴ ANCD =∴ A Q C D B P B 组 1 ． （ 2011 天 一 实 验 学 校 二 模 ） 如 图 ， 已 知 中 ， 厘米， 厘米，点 为 的中点． （1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同 时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动． ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， 与 是否全等，请说明理由； ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为 多少时，能够使 与 全等？ （2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都 逆时针沿 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 的哪条边上相 遇？ 答案： ⑴ ①全等。 理由：∵AB=AC,∴∠B=∠C,运动 1 秒时 BP=3,CP=5,CQ=3 ∵D 为 AB 中点，AB=10，∴BD=5. ∴BP=CQ,BD=CP,∴△BPD≌△ CQP ②若 Q 与 P 的运动速度不等，则 BP≠CQ,若△BPD 与△CQP 全等，则 BP=CP=4 CQ=5,Q 的运动速度为 5× cm/s ⑵设经过 t 秒两点第一次相遇则 （ -3）t=20 t= 3t=80, 80÷28=2 ×28=24,所以在 AB 边上。 即经过 两点第一次相遇，相遇点在 AB 上。 2．（2011年安徽省巢湖市七中模拟）如图， 是平行四边形 的对角线 上的 点， ． 请你猜想： 与 有怎样的位置关系和数量关系？ 并对你的猜想加以证明． 猜想： ABC△ 10AB AC= = 8BC = D AB BPD△ CQP△ BPD△ CQP△ ABC△ ABC△ 4 15 4 3 = 4 15 3 80 7 6 7 6 3 80 E F， ABCD AC CE AF= BE DF A B C D E F (第 2 题) H E D CB A 证明： 答案：猜想：BE∥DF BE=DF 证明：在平行四边形ABCD中，AB=CD、AB∥CD ∴∠BAC=∠DCA 又∵ AF=CE ∴AE=CF ∴△ABE≌△CDF (SAS) ∴BE=DF ∠AEB=∠CFD[来源:学科网ZXXK] ∴∠BEF=∠DFE ∴BE∥DF 3．（2011 北京四中一模）如图，在 △ABC 中，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，连结 AD，请你添加一个条件， 使△ABD≌△ACD，并说明全等的理由． 你添加的条件是 证明： 答案： 本题答案不唯一，添加的条件可以是 ①AB＝AC，②∠B＝∠C，③BD＝DC（或 D 是 BC 中点），[来源:学_科_ 网 Z_X_X_K] ④∠BAD＝∠CAD（或 AD 平分∠BAC）等． 4.（2011 浙江杭州义蓬一模）(本小题满分 10 分) 图 1,在△ABC 中，∠ ACB=90°， ∠ CAB=30°, △ABD 是等边三角形，E 是 AB 的中点，连结 CE 并延长交 AD 于 F. （1）求证：① △AEF≌△BEC；② 四边形 BCFD 是平行四边形； （2）如图 2，将四边形 ACBD 折叠,使 D 与 C 重合，HK 为折痕，求 sin∠ ACH 的值. [来源:Z§xx§k.Com] 答案：（1）求证：① △AEF≌△BEC； ∠ABC=90°，E 是 AB 的中点，AE=BE,∠FAB=∠EBC=60°，∠FEB=∠BEC 所以△AEF≌△BEC； ② 四边形 BCFD 是平行四边形； 可得 DF∥BC,FC∥DB,或 DF∥BC，且 DF=BC 均可 图 1 A B C D EF 30° 图 2 A B C D K H 30° （2）设 BC=1，则 AC= ,AD=AB=2 设 DH=x,由折叠得 DH=CH=x,(2-x) +3=x X= 所以 Sin∠ACH= 5. （2011 深圳市全真中考模拟一） 如图 l，已知正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 点 O，E 是 AC 上一点，连结 EB，过点 A 作 AM BE，垂足为 M，AM 交 BD 于点 F． (1)求证：OE=OF； (2)如图 2，若点 E 在 AC 的延长线上，AM BE 于点 M，交 DB 的延长线于点 F，其它 条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理 由． 答案：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形． ∴ BOE= AOF＝90 ．OB＝OA ……………… (1 分) 又∵AM BE，∴ MEA+ MAE＝90 = AFO+ MAE ∴ MEA＝ AFO………………（2 分） ∴Rt△BOE≌ Rt△AOF ……………… (3 分) ∴OE=OF ………………(4 分) (2)OE＝OF 成立 ……………… (5 分) 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BOE= AOF＝90 ．OB＝OA ……………… (6 分) 又∵AM BE，∴ F+ MBF＝90 = B+ OBE 又∵ MBF＝ OBE ∴ F＝ E………………（7 分） ∴R t△BOE≌ Rt△AOF ……………… (8 分) ∴OE=OF ………………(9 分) 6.（河南新乡 2011 模拟）（10 分）.如图，在直角坐标系中放入一个边长 OC 为 9 的矩形纸 片 ABCO．将纸片翻折后，点 B 恰好落在 x 轴上，记为 B′，折痕为 CE，已知 tan∠OB′C＝ ． （1）求 B′ 点的坐标； （2）求折痕 CE 所在直线的解析式． 答案：解：（1）在 Rt△B′OC 中，tan∠OB′C＝ ，OC＝9， ͼ1 F M O C D B A E ͼ2F M O C D B A E 3 4 4 3 3 2 2 4 7 7 1 ⊥ ⊥ ∠ ∠ ° ⊥ ∠ ∠ ° ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ° ⊥ ∠ ∠ ° ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∴ ． ………………………………………………………………………３分 解得 OB′＝12，即点 B′ 的坐标为（12，0）． ………………………………………４分 （2）将纸片翻折后，点 B 恰好落在 x 轴上的 B ′ 点，CE 为折痕， ∴ △CBE≌△CB′E，故 BE＝B′E，CB′＝CB＝OA． 由勾股定理，得 CB′＝ ＝15． … …………………………………５分 设 AE＝a，则 EB′＝EB＝9－a，AB′＝AO－OB′＝15－12=3． 由勾股定理，得　a2+32＝(9－a)2，解得 a＝4． ∴点 E 的坐标为（15，4），点 C 的坐标为（0，9）． ５分 设直线 CE 的解析式为 y＝kx+b，根据题意，得 …………… ８分 解得 ∴CE 所在直线的解析式为　y＝－ x+9． …… 7、（2011 年黄冈市浠水县）如图，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，AE=EC，CF∥AB． 求证：AD=CF． 答案：证明： ， ．…………（2 分） 又 ， ， ．………………………（5 分） ．…………………………………（6 分） 8. （2011 年浙江省杭州市模 2）（本小题满分 10 分） 如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边∆ABC 边 AB、BC 上的动点，点 P 从顶点 A， 点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s， （1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，则说明 理由，若不变，则求出它的度数； （2）何时∆PBQ 是直角三角形？ 9 3 4OB =′ 2 2OB OC′ + 9 , 4 15 . b k b =  = + 9, 1.3 b k = = − 3 1 AB CF ∥ A ECF∴∠ = ∠ AED CEF∠ = ∠ AE CE= AED CEF∴△ ≌△ AD CF∴ = A B C D E F （3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP 交点 为 M，则∠CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； 答案：（1） 不变。 又由条件得 AP=BQ，∴ ≌ (SAS) ∴ ∴ （2）设时间为 t，则 AB=BQ=t，PB=4-t 当 当 ∴当第 秒或第 2 秒时，∆PBQ 为直角三角形 （3） 不变。 ∴ 又由条件得 BP=CQ，∴ ≌ (SAS) ∴ 又 ∴ 060=∠CMQ 060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中， ABQ∆ CAP∆ ACPBAQ ∠=∠ 060=∠=∠+∠=∠+∠=∠ BACCAMBAQCAMACPCMQ 3 4,24,2,6090 00 ==−=∴=∠=∠ tttBQPBBPQB 得时， 2),4(22,2,6090 00 =−==∴=∠=∠ tttPQBQBBPQ 得时， 3 4 0120=∠CMQ 060=∠=∠= CAPBACAB ，等边三角形中， 0120=∠=∠ ACQPBC PBC∆ ACQ∆ MQCBPC ∠=∠ MCQPCB ∠=∠ 0120=∠=∠ PBCCMQ A P B Q C M 第 8 题图 1 A P B QC M 第 8 题图 2