2018-2019学年河南省八市学评高二12月测评数学（理）试题 解析版 20页

绝密★启用前 河南省八市学评2018-2019学年高二12月测评数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知等差数列中，，，则的值是（ ）‎ A． 15 B． 30 C． 31 D． 64‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质“若，则”建立等式，即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 数列是等差，‎ ‎，即，‎ ‎，故选A .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于基础题.‎ ‎2．在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）‎ A． 1 B． 2 C． 4 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的下标性质、结合对数的运算法即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 等比数列中，每项均是正数，且，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质，以及对数的运算法则，属于基础题.解答与等比数列有关的问题时，往往利用等比数列的性质：“若，则”.‎ ‎3．在中，所对的边分别为，若，，，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可求得 ,利用正弦定理即可求得.‎ ‎【详解】‎ 在中，，‎ ‎，又，‎ 由正弦定理得：‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下四种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎4．若，则下列不等式中一定不成立的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】， ， 不正确； 正确； 正确； 时， 成立，故选A.‎ ‎5．已知成公比为2的等比数列，，且也成等比数列，则的值为（ ）‎ A． 或0 B． C． 或 D． 或或0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据成公比为2的等比数列，写出三个角之间的关系，把角都用来表示，根据三个角的正弦值成等比数列，写出正弦值之间的关系，把选项中的值代入验证即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 成公比为2的等比数列，，‎ ‎，‎ 因为等比数列中每一项都不为零，‎ 所以，‎ 也成等比数列，‎ ‎，‎ 即，‎ 把选项中的值代入以上等式进行检验，‎ 得到合题意,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质和特殊角的三角函数,以及特值法的应用，属于中档题.‎ ‎ 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.‎ ‎6．已知命题，则是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题“”的否定为特称命题“”即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，所以，全称命题 的否定为特称命题，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.‎ ‎7．若椭圆经过点，且焦点为，，则这个椭圆的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据焦点坐标求出的值，根据椭圆过的定点，结合性质得到的值，再利用椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 椭圆焦点为，‎ 设椭圆方程为，‎ 又椭圆经过点，‎ 解得或，‎ ‎，‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，以及椭圆的离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.‎ ‎8．数列中，如果数列是等差数列，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：因为是等差数列，因此得到，解得的值，然后利用关系式得到0，选B ‎9．给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，则；④当时，的最小值为；其中正确命题的个数为（ ）‎ A． 0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作差法判断①；利用特值法判断②、③；利用基本不等式等号成立的条件判断④.‎ ‎【详解】‎ ‎①因为，，，‎ ‎，‎ 所以，故此命题正确；‎ ‎②令，，命题不正确；‎ ‎③设， 成立，但是 均无意义，此命题不正确；‎ ‎④ 设，则，当且仅当，时等号成立，因为，所以最小值不是，此命题不正确，综上可得正确的命题个数为1，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查作差法比较大小以及特值法、基本不等式的应用，属于中档题. 利用已条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断；（4）作差法判断.‎ ‎10．、的双曲线的两焦点，在双曲线上，，则的面积是（ ）‎ A． 11 B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的方程根据双曲线定义可知的值，再根据，求得的值，利用配方法求得，进而可求得的面积.‎ ‎【详解】‎ 双曲线的，‎ 不妨设，则，而，‎ 得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的面积11，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程与简单性质、双曲线的定义与三角形的面积公式，属于中档题.解答与双曲线焦点有关的问题时，往往需要利用双曲线的定义：.‎ ‎11．在中，，在线段上且满足，又，则以为两焦点，且过点的双曲线的离心率为（ ）‎ A． 2 B． 3 C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，由双曲线通径的性质可得，利用二倍角的正切公式求得，化为，从而可求得双曲线的离心率 .‎ ‎【详解】‎ 如图，，，‎ 由通径的性质可得 又因为，‎ 所以直角三角形中，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得或（舍去），‎ 双曲线的离心率为2，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.‎ ‎12．在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点，一分钟后，其位置在点，且，再过二分钟后，该物体位于点，且，则的值等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如下图所示，物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，再过二分钟后，该物体位于R点 ‎∴设PQ=x，则QR=2x，‎ 又∵∠POQ=90°，∠QOR=60°‎ ‎∠OPQ+∠R=30°，即∠R=30°-∠OPQ 在△ORQ中，由正弦定理得，在△OPQ中，由正弦定理得OQ=•sin∠OPQ=xsin∠OPQ,因此可知，选C.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、解答题 ‎13．已知、满足约束条件，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 本题考查简单的线性规划的应用，表达式的几何意义是解题的关键，考查计算能力．‎ 画出约束条件表示的可行域，推出目标函数经过的点，求出最大值和最小值 ‎14．抛物线的顶点在原点，它的准线经过双曲线的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直.已知双曲线与抛物线的交点为，求抛物线的方程和双曲线的方程.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：首先根据抛物线的准线过双曲线的焦点，可得p=2c，再利用抛物线与双曲线同过交点，求出c、p的值，进而结合双曲线的性质，求解即可 试题解析：由题意可知，抛物线的焦点在x轴，又由于过点，所以可设其方程为 ‎ ∴‎ 所以所求的抛物线方程为 所以所求双曲线的一个焦点为（1，0），所以c=1，所以，设所求的双曲线方程为 而点在双曲线上，所以解得 所以所求的双曲线方程为.‎ 考点：抛物线的标准方程；双曲线的标准方程 ‎15．在中，角的对边分别为，角.‎ ‎（1）若，求角；‎ ‎（2）若，求周长的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）6.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由，利用正弦定理可得，结合，可得，解得，从而可得结果；(2)利用（1），由余弦定理得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以由正弦定理，得 ‎ 由于，故 ‎ 解得.‎ 所以角，角.‎ ‎（2）由余弦定理得 所以 故，‎ 当且仅当时等号成立，‎ ‎.‎ 故周长的最大值为6.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用以及基本不等式的应用，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎16．已知各项均为正数的数列满足，且是、的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将－－2＝0分解因式得，因为数列的各项均为正数，，数列是以2为公比的等比数列，再根据是a2，a4的等差中项，列关系可求出通项公式；（2）由（1）得，计算出，利用错位相减法求解.‎ 试题解析：（1）1分 ‎∵数列的各项均为正数，2分 ‎，∴数列是以2为公比的等比数列 3分 ‎∵是a2，a4的等差中项，‎ ‎，∴数列的通项公式为6分 ‎（2）由（1）及，得7分 ‎12分 考点：等差中项、等比数列、对数式的计算、错位相减法.‎ ‎17．如图，公园有一块边长为2的等边的边角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上.‎ ‎（1）设，，求用表示的函数关系式；‎ ‎（2）如果是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，的位置应在哪里？如果是参观线路，则希望它最长，的位置又该在哪里？请说明理由.‎ ‎【答案】（1）y＝（1≤x≤2）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先根据三角形面积求出AE：，即，再根据余弦定理得，最后根据边长限制条件确定定义域：（Ⅱ）由基本不等式可得当且仅当取最小值，由对勾函数值，当且仅当取最大值.‎ 试题解析：（1）在中，①‎ 又 ②‎ ‎②代入①得，‎ ‎∴‎ ‎（2）如果是水管，‎ 当且仅当，即时“=”成立，故，且.‎ 如果是参观线路，记，‎ 可知函数在上递减，在上递增，‎ 故，∴.‎ 即为中线或中线时，最长.‎ 考点：函数实际应用，基本不等式求最值 ‎【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.‎ ‎18．已知椭圆的一个焦点，且点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被点平分，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 根据椭圆的一个焦点，且点在椭圆上，结合性质 ，列出关于 、的方程组，求出 、即可得结果； (2) 设，即.由得 ‎,利用韦达定理以及中点坐标公式列方程可求得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为椭圆的一个焦点，且点在椭圆上，‎ 所以，解得，‎ 即椭圆的方程为.‎ ‎（2）易知直线的斜率一定存在，设，即.‎ 设，，由得.‎ ‎、为上述方程的两根，则①‎ ‎.‎ 的中点为，，.‎ ‎，解得.‎ 代入①中，‎ 直线符合要求.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系，属于中档题. 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出 ‎，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎19．设、分别是椭圆的左、右焦点.‎ ‎（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；‎ ‎（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】（1）最小值-2，最大值1；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆方程求出焦点坐标，是第一象限内该椭圆上的一点设为，利用，结合在椭圆上，可求的最大值和最小值；（2）设直线，与椭圆方程联立，整理得，利用韦达定理以及平面向量数量积公式，可得，结合判别式大于零可求直线的斜率取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆知，，，‎ 所以，.设，则，‎ 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值-2.‎ 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1.‎ ‎（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，，，‎ 联立消去，整理得.‎ ‎，.由，‎ 得或.①‎ 又，.‎ 又，‎ ‎，即..②‎ 故由①②得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、二次函数配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.‎ 评卷人 得分 三、填空题 ‎20．“点在曲线上”是“点到两坐标轴距相等”的________条件.（填充分不必要，必要不充分，充要.既不充分又不必要）‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由曲线的性质可得，充分性成立；通过举反例可得必要性不成立，从而得出结论.‎ ‎【详解】‎ 由“点在曲线上”一定能推出“点到两坐标轴距离相等”,‎ 但当“点到两坐标轴距离相等”时，点不一定在曲线上，‎ 此时,点也可能在曲线上，‎ 故“点在曲线上”是“点到两坐标轴距离相等” 的充分不必要条件，‎ 故答案为充分不必要.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件、充要条件的定义和判断方法,属于基础题. 判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎21．如图甲是第七届国际数学 教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图可知，由勾股定理可得,利用等差数列的通项公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 根据图形，‎ 因为都是直角三角形，‎ ‎,‎ 是以1为首项，以1为公差的等差数列，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.‎ ‎22．在中，角的对边分别为，已知的长度是底面半径为3，侧面积为的圆锥的母线长，又，且为锐角，则面积的最大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆锥的侧面积求得，由利用正弦定理可得，由余弦定理结合基本不等式可得，利用三角形面积公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎ ，‎ 即最大面积为，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎