江西省吉安一中2013届高三最后一模 数学（理） 11页

江西省吉安一中2013届高三最后一模 数学（理）试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1. 设，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）‎ ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎2. 设集合，若集合只有一个子集，则k的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 已知一个算法的程序如图所示，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数是 ‎ ‎ ‎ A. 1 B. ‎2 ‎ C. 3 D. 4‎ ‎4. 函数（共中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（ ）‎ ‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 ‎ C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎5. 已知p：存在，使；q：对任意，恒有。若p或q为假命题，则实数m的取值范围为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎6. 如图，已知某几何体的三视图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如下图所示。设观察者从点A开始随动点P变化的视角为＝∠AOF（＞0），练车时间为t，则函数的图象大致为 ‎9. 某铁路货运站对6列运煤列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（ ）‎ ‎ A. 162种 B. 216种 C. 108种 D. 432种 ‎10. 给出定义：若（其中m为整数），则m叫做实数x的“亲密的整数”，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数在上是增函数；②函数的图象关于直线对称；③函数是周期函数，最小正周期为1；④当时，函数有两个零点。其中正确命题的序号是（ ）‎ ‎ A. ②③④ B. ②③ C. ①② D. ②④‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎11. 已知向量，的夹角为60°，且，则向量与的夹角为___________。‎ ‎12. 设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若，则展开式中x的系数为__________。‎ ‎13. 已知数列是以3为公差的等差数列，是其前n项和，若是数列中的唯一最小项，则数列的首项的取值范围是___________。‎ ‎14. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价x（元）‎ ‎8‎ ‎8.2‎ ‎8.4‎ ‎8.6‎ ‎8.8‎ ‎9‎ 销量y（件）‎ ‎90‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎68‎ 由表中数据，求得线性回归方程为。若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为_____________。‎ 三、选做题（请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题5分）‎ ‎15. （1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，设圆（为参数）上的点到直线的距离为d，则d的最大值是__________。‎ ‎（2）（不等式选做题）不等式的解集是_________。‎ 四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16. （本小题满分12分）‎ 已知函数。‎ ‎（1）求函数在上的单调递增区间；‎ ‎（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为，且，若向量与向量共线，求的值。‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知数列满足。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，记数列的前n项和为，若恒为一个与n无关的常数，试求常数a和。‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为。从正四棱柱的12条棱中任取两条，设为随机变量，当两条棱相交时，记；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，记。‎ ‎（1）求概率；‎ ‎（2）求的分布列，并求其数学期望。‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为CD的中点，F为AE的中点，现在沿AE将三角形ADE向上折起，在折起的图形中解答下列两问：‎ ‎（1）在线段AB上是否存在一点K，使BC∥面DFK？若存在，请证明你的结论：若不存在，请说明理由；‎ ‎（2）若面ADE⊥面ABCE，求二面角E－AD－B的余弦值。‎ ‎20. （本小题满分13分）‎ 在直角坐标平面中，三角形ABC的两个顶点的坐标分别为，，两动点M，N满足＝，向量与共线。‎ ‎（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；‎ ‎（2）若过点P（0，a）的直线与（1）的轨迹相交于E、F两点，求·的取值范围；‎ ‎（3）若G（－a，0）、H（‎2a，0），Q为C点轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数，使得∠QHG＝λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 已知函数，。‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数上是减函数，求实数a的最小值；‎ ‎（3）若存在，使，求实数a的取值范围。‎ 参考答案 ‎1-5 CBCCA 6-10 ADDBA ‎11. 30° 12. 150 13. （－30，－27） 14. ‎ 三、选做题（本题共5分）‎ ‎15. ①2 ②‎ ‎16. 解：（1）‎ ‎ 3分 由得：‎ 所以，在上的单调递增区间为 6分 ‎（2），则 ‎ 8分 ‎∵向量与向量共线，，‎ 由正弦定理得， 10分 由余弦定理得，，即 ‎ ‎12分 ‎17. 解：（1）由题 ①‎ ‎ ②‎ 由①－②得：，即 3分 当时，‎ 所以，数列是首项为1，公比为2的等差数列，故 5分 ‎（2） ‎ ‎2，‎ 是以为首项，以为公差的等差数列， 8分 ‎ 10分 恒为一个与n无关的常数 解之得： 12分 ‎18. 解：（Ⅰ）若两条棱相交，则交点必为正四棱柱8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，共有＝24对相对棱。‎ 所以，即任取两条棱相交的概率为。 5分 ‎（Ⅱ）若两条棱平行时，则它们的距离有4种，分别是：距离是的有4对，距离是2的有4对，距离是的有2对，距离为1的共有8对，两条棱为异面的共有24对，于是=＝。‎ 随机变量η的分布列是：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎10分 所以数学期望 ‎。‎ ‎12分 ‎19. 解：（1）线段AB上存在一点K，且当时，BC∥面DFK 1分 证明如下：设H为AB的中点，连结EH，则BC∥EH，又因为，F为AE的中点 所以KF∥EH，所以KF∥BC， 4分 ‎ 5分 ‎（2）∵H为AB的中点，为AE的中点，。‎ 面ADE⊥面ABCE，面ABCE 由此可以FA，FH，FD分别为轴，建立坐标系如图 7分 因为DF⊥面ABCE，所以DF⊥FH，又∵FH⊥AE，，‎ ‎⊥面ADE，则为面ADE的一个法向量。‎ 因为，所以， 9分 又可得：，所以 设面ADB的法向量为 由，即，令，则 11分 所以，故二面角E－AD－B的余弦值为 12分 ‎20. 提示：（Ⅰ）设，由，知，是△ABC的重心，。 1分 又且向量与共线，在边AB的中垂线上，。2分 而，‎ ‎，‎ 即。 3分 ‎（Ⅱ）设，过点的直线方程为，代入得，‎ ‎，即。‎ ‎。‎ ‎。 6分 ‎。 8分 ‎（Ⅲ）设，则，即。‎ 当轴时，，即∠QHG＝2∠QGH，故猜想。 9分 当QH不垂直x轴时，，‎ ‎。‎ 又与同在内，。‎ 故存在，使恒成立。 13分 ‎21. （1）解：由已知函数的定义域均为，且。‎ ‎1分 函数，‎ 当且时，；当时，。‎ 所以函数的单调减区间是（0，1），，增区间是。 3分 ‎（2）因在上为减函数，故在上恒成立。‎ 所以当时，。‎ 又，‎ 故当，即时，。‎ 所以，于是，故a的最小值为。 6分 ‎（3）命题“若，使成立”等价于 ‎“当时，有”。‎ 由（2），当时，。‎ 问题等价于：“当时，有”。 8分 ‎10 当时，由（Ⅱ），在上为减函数，‎ 则，故。 10分 ‎20 当时，由于在上为增函数，‎ 故的值域为，即。‎ ‎（i）若，即在恒成立，故在上为增函数，‎ 于是，，不合题意。 11分 ‎（ii）若，即，由的单调性和值域知，‎ 存在唯一，使，且满足： 12分 当时，为减函数；当时，为增函数；‎ 所以，。‎ 所以，，与矛盾，不合题意。‎ 综上，得。 14分