专题30 空间几何体中三视图和简单几何体表面积和体积的综合问题问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板 19页

‎【高考地位】‎ 在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断，考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题. 在高考中主要的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题. 因此，牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何体的表面积和体积的计算方法.‎ ‎【方法点评】‎ 类型一 三视图的识别与还原问题 使用情景：空间几何体的三视图问题 解题模板：第一步 首先弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理；‎ 第二步 然后根据已知空间几何体画出其视图并验证其是否正确；‎ 第三步 得出结论.‎ 例1. 【2018河南郑州第一中学模拟】如下左图所示的一个正三棱柱被平面截得的几何体,其中,几何体的俯视图如下右图所示,则该几何体的正视图是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【变式演练1】如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的正视图，以面AA1D1D为投影面，则得到的正视图可以为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】显然AB1、AC、B1D1、CD1分别投影得到正视图的外轮廓，B1C为可见实线，AD1为不可见虚线．‎ 本题选择A选项.‎ ‎【变式演练2】“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 类型二 以三视图为载体考查空间几何体的表面积、体积等问题 使用情景：空间几何体的三视图问题 解题模板：第一步 首先从熟知的某一视图出发，想象出该几何体的直观图；‎ 第二步 然后根据其他视图验证所得的空间几何体的直观图是否正确；‎ 第三步 根据简单的空间几何体的表面积和体积的计算公式即可求出所求的结果.‎ 例2. 已知一个四棱锥的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【变式演练3】一个几何体的三视图如图所示, 且其侧视图是一个等边三角形, 则这个几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为，底面为正方形；半圆锥高为 ‎，底面为半径为1的半圆，因此体积为，选D. ‎ 考点：三视图 ‎【变式演练4】【河北省衡水中学2017届高三摸底联考，6】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知，该几何体为底面半径为、高为的圆锥的，所以该几何体的体积，故选D. ‎ 考点：三视图.‎ ‎【高考再现】‎ ‎1. 【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ 2. 【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎ 3. 【2017北京，文6】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ‎（A）60 （B）30‎ ‎（C）20 （D）10‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：该几何体是三棱锥，如图：‎ 图中红色线围成的几何体为所求几何体，该几何体的体积是，故选D.‎ ‎【考点】1.三视图；2.几何体的体积.‎ ‎【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:‎ 如果我们死记硬背，不会具体问题具体分析，就会选错，实际上，这个题的俯视图不是几何体的底面，因为顶点在底面的射影落在了底面的外面，否则中间的那条线就不会是虚线. ‎ ‎4. 【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单.‎ ‎5. 【2017山东，文13】由一个长方体和两个 圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 .‎ ‎【答案】‎ ‎ 6. 【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体平面内只有两个相同的梯形的面，则含梯形的面积之和为，故选B. ‎ ‎【 考点】简单几何体的三视图 ‎【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.‎ ‎7. 【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整．‎ ‎8. 【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 ‎（A）3 （B）2 （C）2 （D）2‎ ‎【答案】B ‎ ‎ 或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题. ‎ ‎9.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】简单几何体的体积 ‎【名师点睛】对于三棱锥最值问题，肯定需要用到函数的思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导得方式进行解决.‎ ‎【反馈练习】‎ ‎1. 【2018四川南充嘉陵一中期中】一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位： ）为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎2．【2018黑龙江佳木斯第一中学第五次调研】如图是实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ 3．【2018江西抚州临川区第一中学模拟】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. 80 B. 160 C. 240 D. 480‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可得该几何体是如图所示的四棱锥，且该四棱锥的底面四边形为矩形，其中，高为到的距离，即。所以该几何体的体积为。选B。‎ ‎4．【2018河北衡水中学模拟】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎5．【2018河北邢台育才中学模拟】已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】该几何体的直观图如图所示，据此可得该几何体的体积为：‎ 本题选择B选项.‎ ‎6．【2018四川德阳联考】已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 7. 【2018福建名校联考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　 ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C 本题选择C选项.‎ ‎8. 【2018黑龙江牡丹江模拟】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由三视图知：几何体为三棱锥，如图，其中平面平面， 几何体的体积，故选B.‎ ‎9. 【2018湖北八校联考】已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ 10. 【2018河北衡水联考】如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度： ），在此几何体的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】三视图复原的组合体是下部是棱长为的正方体，上部是底面边长为的正方形，高为的四棱锥，组合体的表面积为 故选 ‎11. 【2018黑龙江齐齐哈尔第八中格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎12. 【2018华大新高考联盟】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，几何体为下面一个直三棱柱，上面一个三棱锥 三棱柱的底面面积为：，侧面积为：；‎