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- 2021-06-07 发布
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2017-2018学年江苏省苏州市高二下学期学业质量阳光指标调研数学理试题
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答卷卡相应的位置.
1.已知复数(为虚数单位),则 .
2.双曲线的离心率为 .
3.函数的极值点为,则 .
4.“”是“”的 条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)
5.现有5个人排成一排,则甲恰在正中间的排法有 种.(用数字作答)
6.抛物线上位于第一象限内的一点到焦点的距离是3,则该点坐标是 .
7.若离散型随机变量的分布列为
0
1
2
则的数学期望 .
8.若(为正整数且),则 .
9.已知,则的值是 .
10.已知圆的圆心在直线上,且经过,两点,则圆的标准方程是 .
11.如图,在体积为的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥,剩余部分的体积为,则 .
12.若函数在其定义域上单调递减,则称函数是“函数”.已知是“函数”,则实数的取值范围是 .
13.过曲线上的点向圆:作两条切线,,切点为,,且,若这样的点有且只有两个,则实数的取值范围是 .
14.已知,函数,,若存在一条直线与曲线和均相切,则使不等式恒成立的最小整数的值是 .
二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡区域内作答,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.如图,在三棱锥中,是正三角形,,分别为,的中点,.
求证:(1)平面;
(2).
16.某公司年会举行抽奖活动,每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下:一只盒子里装有大小相同的6个小球,其中3个白球,2个红球,1个黑球,抽奖时从中一次摸出3个小球,若所得的小球同色,则获得一等奖,奖金为300元;若所得的小球颜色互不相同,则获得二等奖,奖金为200元;若所得的小球恰有2个同色,则获得三等奖,奖金为100元.
(1)求小张在这次活动中获得的奖金数的概率分布及数学期望;
(2)若每个人获奖与否互不影响,求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.
17.已知,.
(1)当时,求展开式中的常数项;
(2)若二项式的展开式中含有的项,当取最小值时,展开式中含的正整数次幂的项的系数之和为10,求实数的值.
18.如图,在正三棱柱中,底面的边长为2,侧棱长为4,是线段上一点,是线段的中点,为的中点.以为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)若,求直线和平面所成角的正弦值;
(2)若二面角的正弦值为,求的长.
19.如图,在平面直角坐标系中,椭圆:的离心率为,焦点到相应准线的距离为,,分别为椭圆的左顶点和下顶点,为椭圆上位于第一象限内的一点,交轴于点,交轴于点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,求的值;
(3)求证:四边形的面积为定值.
20.已知函数,为的导函数,其中.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若方程有三个互不相同的根0,,,其中.
①是否存在实数,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
②若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.
苏州市2018年学业质量阳光指标调研卷
高二数学(理科附加)
A组(选修4-2:矩阵与变换)
A1
若圆:在矩阵对应的变换下变成椭圆:.
(1)求,的值;
(2)求矩阵的逆矩阵.
A2
已知,为矩阵的两个特征向量.
(1)求矩阵;
(2)若,求.
B组(选修4-4:坐标系与参数方程)
B1
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(其中为参数).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆的方程为.
(1)分别写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程;
(2)若直线与圆相切,求实数的值.
B2
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(其中为参数,).在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程是,等边的顶点都在上,且点,,依逆时针次序排列,点的极角为.
(1)求点,,的直角坐标;
(2)设为上任意一点,求点到直线距离的取值范围.
苏州市2018年学业质量阳光指标调研卷
高二数学(理科)参考答案
一、填空题
1. 2. 2 3. 4. 必要不充分 5. 24 6.
7. 8. 6 9. 100 10. 11.
12. 13. 14. 3
二、解答题
15.证:(1)因为,分别为,的中点,
所以,
又平面,平面,
所以平面.
(2)连结,因为,又,所以.
又,为的中点,所以,
又,所以平面.
因为平面,所以.
16.解:(1)小张在这次活动中获得的奖金数的所有可能取值为100,200,300.
,
,
,
(或)
所以奖金数的概率分布为
100
200
300
奖金数的数学期望(元).
(2)设3个人中获二等奖的人数为,则,
所以,
设该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖为事件,
则.
答:该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为.
17.解:二项式的展开式通项为
,
(1)当,时,的展开式的常数项为.
(2)令,则,所以的最小值为6,
当时,二项式的展开式通项为
,
则展开式中含的正整数次幂的项为,,,它们的系数之和为
,
即,解得或.
18.解:根据题意得,,,
所以,,
(1)当是线段的中点时,,,
设平面的一个法向量为,
则,得,
即,取,得,
设和平面所成角为,
则,
所以和平面所成角的正弦值为.
(2)设,则,,
设平面的一个法向量为,
则,得,
即,取,得,
显然是平面的一个法向量,
设二面角的大小为,则,
所以,
解得或3,所以的长为1或3.
19.解:(1)设右焦点,因为椭圆的离心率为,所以,①
又因为右焦点到右准线的距离为,所以,②
由①②得,,,,
所以椭圆的标准方程是.
(2)因为,所以,直线的方程为,
由,得,解得(舍)或,
可得,
直线的方程为,令,得,
所以.
(3)设,则,即.
直线的方程为,令,得.
直线的方程为,令,得.
所以四边形的面积
为定值.
20.解:(1)当时,,
令,得或,
所以的单调增区间为和;
令,得,
所以的单调减区间为.
(2)①由题意知,是方程的两个实根,
所以,得.
且,,,
由成立得,,
化简得,
代入得,即,
解得,因为,所以这样的实数不存在.
②因为对任意的,恒成立.
由,,且,
1.当时,有,所以对,,
所以,解得.
所以.
2.当时,有,
,其判别式.
由,得或,
此时存在极大值点,且.
由题得,
将代入化简得,解得.
因此.
综上,的取值范围是.
理科附加题
A1
解:设点为圆:上任意一点,经过矩阵变换后对应点为,
则,所以,代入椭圆方程得,
又圆方程为,故,即,
又,,所以,.
(2)设,则,
即,所以,解得,所以.
A2
解:(1)设矩阵的特征向量对应的特征值为,特征向量对应的特征值为,
则由,得,即,
可解得,,,,所以.
(2)因为,
所以.
B1
解:(1)直线的直角坐标系方程是,
圆的直角坐标方程是.
(2)由(1)知圆心为,半径,
设圆心到直线的距离为,因为直线与圆相切,
所以,解得.
B2
解:(1)由,可得点的直角坐标,
由已知,点的极坐标为,可得点的直角坐标为,
点的极坐标为,可得点的直角坐标为.
(2)直线的方程为,
设点,则点到直线的距离
(其中,),
因为,所以,所以,
所以.