2020八年级数学下册 专题突破讲练 利用不等式解决实际问题试题 （新版）青岛版 6页

利用不等式解决实际问题 一、利用不等式解决实际问题 利用一元一次不等式解决实际问题的基本步骤与利用一元一次方程解决实际问题的基本步骤类似，即：‎ 第一步：审 认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，找出符合题目全部意义的不等关系，要抓住题目中的关键字眼，如：“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等；‎ 第二步：设 设出适当的未知数，一般是直接设未知数，也可根据题目实际间接设未知数； ‎ 第三步：列 根据找出的不等关系，列出不等式；‎ 第四步：解 解出所列的不等式；‎ 第五步：答 检验答案是否符合题意，并写出答案。‎ 在以上步骤中，审题是基础，根据不等关系列出不等式是关键，而根据题意找出不等关系是解题难点。‎ 例题1 甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条b元，后来他又以每条元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）‎ A. a > b B. a < b C. a＝b D. 与a和b的大小无关 解析：分别表示出两次买鱼的钱和卖鱼的钱，根据“赔了钱”，列不等式，推导出a与b的关系。‎ 答案：解：两次买鱼的钱为：‎3a＋2b，卖鱼的钱为：。‎ 根据题意，得：‎3a＋2b＞‎ 解得，a > b。‎ 所以选 A。‎ 点拨：“赔了钱”表明买鱼的钱大于卖鱼的钱，这是本题的不等关系。‎ 例题2 为支援四川雅安地震灾区，某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，现准备租用甲、乙两种货车，将这批救灾物资一次性全部运往灾区，它们的载货量和租金如下表：‎ 甲种货车 乙种货车 载货量（吨/辆）‎ ‎45‎ ‎30‎ 租金（元/辆）‎ ‎400‎ ‎300‎ 如果计划租用6辆货车，且租车的总费用不超过2300元，求最省钱的租车方案。‎ 解析：根据设租用甲种货车x辆，则租用乙种6－x辆，利用某市民政局组织募捐了240吨救灾物资，以及每辆货车的载重量得出不等式求出即可，进而根据每辆车的运费求出最省钱方案。‎ 6‎ 答案：解：设租用甲种货车x辆，则租用乙种6－x辆，‎ 根据题意得出：‎ ‎45x＋30（6－x）≥240，‎ 解得：x≥4，‎ 则租车方案为：甲4辆，乙2辆；甲5辆，乙1辆；甲6辆，乙0辆；‎ 租车的总费用分别为：4×400＋2×300＝2200（元），5×400＋1×300＝2300（元），‎ ‎6×400＝2400（元）＞2300（不合题意舍去），‎ 答：最省钱的租车方案是租用甲货车4辆，乙货车2辆。‎ 点拨：此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据已知找出不等关系，列不等式求出所有方案是解题关键。‎ 例题3 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞100。‎ ‎（1）根据题题意，填写下表（单位：元）‎ 累计购物 实际花费 ‎130‎ ‎290‎ ‎…‎ x 在甲商场 ‎127‎ ‎…‎ 在乙商场 ‎126‎ ‎…‎ ‎（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？‎ ‎（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？‎ 解析：（1）根据已知得出100＋（290－100）×90%以及50＋（290－50）×95%，进而得出答案，同理即可得出累计购物x元的实际花费；‎ ‎（2）根据题中已知条件，求出，相等，从而得出正确结论；‎ ‎（3）根据与相比较，从而得出正确结论。‎ 答案：解：（1）在甲商场：100＋90%×（290－100）＝271，‎ ‎；‎ 在乙商场：50＋95%×（290－50）＝278，‎ ‎；‎ ‎（2）根据题意得出：‎ ‎＝，‎ 解得：x＝150，‎ ‎∴当x＝150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同。‎ ‎（3）由＜，‎ 解得：x＞150，‎ ‎＞，‎ 解得：x＜150，‎ ‎∴当小红累计购物大于150元时，选择甲商场实际花费少；‎ 当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少。‎ 点拨：在解决实际问题时，要注意区分题目中体现的是相等关系还是不等关系：如果是相等关系（如本题中的（2）），就应列方程；如果是不等关系（如本题中的（3）），就应列不等式。‎ 6‎ 不等式及其解法在解决数学问题和实际问题时都有广泛的应用，比如利用不等式可以比较两个代数式的大小。‎ 满分训练 已知A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，试比较A与B的大小。‎ 解析：求出A与B的差，再根据x的取值范围确定A与B的大小。‎ 答案：A－B＝（2x2＋3x＋2）－（2x2－4x－5）‎ ‎ ＝2x2＋3x＋2－2x2＋4x＋5‎ ‎ ＝7x＋7‎ ‎①若7 x＋7>0，则x>－1，即当x>－1时，A> B； ‎ ‎②若7 x＋7＝0，则x＝－1，即当x＝－1时，A＝B；‎ ‎③若7 x＋7<0，则x<－1，即当x<－1时，A< B。‎ 点拨：比较两个数（或整式）的大小，通常用“作差法”，即求出这两个数（或整式）的差，根据差的正负，确定大小.本例中差是一个代数式，其正负不确定，因此还要根据x的取值范围进行分类讨论。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 若实数a＞1，则实数M＝a，N＝，P＝的大小关系是（　　）‎ A. P＞N＞M B. M＞N＞P C. N＞P＞M D. M＞P＞N ‎2. 设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平称两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（ ）‎ A. ■、●、▲ B. ▲、■、● C. ■、▲、● D. ●、▲、■‎ ‎3. 已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（　　）‎ A. m＞6 B. m＜‎6 ‎ C. m＞－6 D. m＜－6‎ ‎﹡4. 某种出租车的收费标准：起步价7元（即行驶距离不超过‎3千米都需付7元车费），超过‎3千米后，每增加‎1千米，加收2.4元（不足‎1千米按‎1千米计）。某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，那么甲地到乙地路程的最大值是（　　）‎ A. ‎5千米 B. ‎7千米 C. ‎8千米 D. ‎‎15千米 二、填空题 ‎5. 有人问一位老师所教班级有多少学生，老师说：“一半学生在做数学，四分之一的学生在画画，七分之一的学生在读英语，还剩不足七位同学在操场上玩”‎ 6‎ ‎。试问这班最多有学生 个。‎ ‎6. 已知（x－2）2 ＋｜2x－3y－a｜＝0，y是正数，则a的取值范围是__ 。‎ ‎7. 九年级（1）班的几个同学毕业前合影留念，每人交0.70元。一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张。在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有 人。 ‎ ‎﹡8. 已知方程组的解满足x＋y＜0，则m的取值范围是_________。‎ 三、解答题 ‎9. 某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？‎ ‎10. 小刚星期天与同学一起去登山，计划上午9时出发，到达山顶后游玩2h，吃午饭与休息共半小时，下午4点30分要赶回出发点，已知各座山峰与出发点间的距离如图所示，他们上山的速度为‎3.2km/h，下山的速度为‎4.5km/h，他们最远可以登上哪座山峰？‎ ‎﹡11. 为支援雅安灾区，某学校计划将“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元。‎ ‎（1）若购买这批学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？‎ ‎（2）若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？‎ ‎**12. 四川省第十二届运动会将于‎2014年8月18日在遂宁市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务。为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商。经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元。经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费。另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人。‎ ‎（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的关系式；‎ ‎（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由。‎ 6‎ 一、选择题 ‎1. D 解析：∵a＞1，∴M－P＝a－＝，，‎ ‎∴M＞P，P＞N，∴M＞P＞N，故选D。‎ ‎2. C 解析：从左图看出一个▉重于一个▲，一个▲等于两个●，故选C。‎ ‎3. A 解析：根据题意得：，解得：，则6－m＜0，解得：m＞6。故选A。‎ ‎4. C 解析：设他乘此出租车从甲地到乙地的路程为x千米，根据题意得：7＋2.4（x－3）≤19，解得，所以甲地到乙地路程的最大值是8。故选C。‎ 二、填空题 ‎5. 56 解析：设这个班有x个人，依题意列不等式x－（）≤6，解得x≤56，故填56。 ‎ ‎6. 解析：根据非负数的性质“若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为‎0”‎，得：x－2＝0，且2x－3y－a＝0。解得：x＝2，，由y是正数，得：，解得：。‎ ‎7. 4 解析：设这张相片上的同学有x人，依题意得：‎ ‎0.68＋0.5x≤0.7x 解之得，x≥3.4，‎ ‎∵人数为整数，‎ ‎∴这张相片上的同学最少有4人。‎ ‎8. m＜－1 解析：①＋②得3（x＋y）＝2＋‎2m。∵x＋y＜0。∴2＋‎2m＜0。∴m＜－1。‎ 三、解答题 ‎9. 解：设应答对x道，则：10x－5（20－x）＞90‎ 解得x＞12，‎ ‎∵x取整数，‎ ‎∴x最小为13。‎ 答：他至少要答对13道题。‎ ‎10. 解：设他们要登的山峰距出发点有x（km），则上山时间为（h），下山时间为，根据题意，得，解之得。‎ 答：他们最远可去的山峰是C。‎ ‎11. 解：（1）设购买A型学习用品x件，则B型学习用品为。 ‎ 根据题意，得 解方程，得x＝400。 ‎ 6‎ 则。‎ 答：购买A型学习用品400件，购买B型学习用品600件。 ‎ ‎（2）设最多购买B型学习用品x件，则购买A型学习用品为件。‎ 根据题意，得 解不等式，得。‎ 答：最多购买B型学习用品800件。‎ ‎12. 解：（1）总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的关系式分别是：‎ y1＝0.7[120x＋100（2x－100）]＋2200＝224x－4800，‎ y2＝0.8[100（3x－100）]＝240x－8000；‎ ‎（2）由题意，得 当y1＞y2时，即224x－4800＞240x－8000，解得：x＜200；‎ 当y1＝y2时，即224x－4800＝240x－8000，解得：x＝200 ‎ 当y1＜y2时，即224x－4800＜240x－8000，解得：x＞200 ‎ 即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；‎ 当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任选一家公司购买；‎ 当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算。‎ 6‎