2020九年级数学上册第1章一元二次方程 7页

第1章　一元二次方程 ‎1.4　第3课时　动态几何问题 知识点 1　三角形中的动点问题 ‎1．教材“问题‎6”‎变式如图1－4－7，在△ABC中，AC＝‎50 m，BC＝‎40 m，∠C＝90°，点P从点A开始沿AC边向点C以‎2 m/s的速度匀速移动，同时，另一点Q由点C开始以‎3 m/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于‎300 m2‎时，运动时间为(　　)‎ A．5秒 B．20秒 ‎ C．5秒或20秒 D．不确定 图1－4－7‎ ‎　　　‎ 图1－4－8‎ ‎2．如图1－4－ 8，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝‎16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D的方向以 cm/s的速度向点D运动，四边形PDFE为矩形，其中点E在AC上，点F在BC上．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动的时间为t s，则t＝________时，S1＝2S2.‎ ‎3．如图1－4－9，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝‎8 cm，AB＝‎10 cm，点P，Q同时由A，C两点出发，分别沿AC，CB方向向点C，B移动，它们的速度都是‎1 cm/s，经过几秒，P，Q两点相距‎2 cm？并求此时△PCQ的面积．‎ 图1－4－9‎ 知识点 2　矩形中的动点问题 ‎4．如图1－4－10，在矩形ABCD中，AB＝‎16 cm，AD＝‎6 cm，‎ 7‎ 图1－4－10‎ 动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以‎2 cm/s的速度向点B移动，到达点B后停止运动，点Q以‎1 cm/s的速度向点D移动，到达点D后停止运动，P，Q两点出发后，经过________s，线段PQ的长是‎10 cm.‎ ‎5．如图1－4－11，在矩形ABCD中，AB＝‎6 cm，BC＝‎8 cm，点E从点A出发，沿AB方向以‎1 cm/s的速度向点B移动，同时，点F从点B出发，沿BC方向以‎2 cm/s的速度向点C移动，当点F到达点C时，两点同时停止运动．经过几秒后△EBF的面积为‎5 cm2?‎ 图1－4－11‎ ‎6. [2016·兴化校级期末] 如图1－4－12，在矩形ABCD中，AB＝‎6 cm，BC＝‎12 cm，点P从点A出发沿AB边以‎1 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC边以‎2 cm/s的速度向点C移动，几秒钟后△DPQ的面积等于‎28 cm2?‎ 图1－4－12‎ ‎ ‎ ‎7．如图1－4－13，甲、乙两物体分别从正方形广场ABCD的顶点B，C同时出发，甲由点C向点D运动，乙由点B向点C运动，图中点F，E分别对应甲、乙某时刻的位置，甲的速度为‎1 km/min，乙的速度为‎2 km/min，当乙到达点C时，甲随之停止运动．若正方形广场的周长为‎40 km.‎ ‎(1)几分钟后两物体相距‎2 km?‎ ‎(2)△CEF的面积能否等于‎7 km2？请说明理由．‎ 7‎ 图1－4－13‎ ‎8．如图1－4－14所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B沿顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系：l＝t2＋t(t≥0)，乙以‎4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为‎21 cm.‎ ‎(1)甲运动4 s后的路程是________ cm；‎ ‎(2)求甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间．‎ 图1－4－14‎ ‎9．如图1－4－15所示，在平面直角坐标系中，四边形OACB为矩形，OA＝‎3 cm，点C的坐标为(3，6)，点P，Q分别从点O，A同时出发，若点P从点O沿OA向点A以‎1 cm/s的速度运动，点Q从点A沿AC以‎2 cm/s的速度运动，当点P运动到点A时停止运动，点Q也随之停止运动．‎ ‎(1)经过多长时间，△PAQ的面积为‎2 cm2?‎ ‎(2)△PAQ的面积能否达到‎3 cm2?‎ ‎(3)经过多长时间，P，Q两点之间的距离为 cm?‎ 图1－4－15‎ 7‎ ‎10．如图1－4－16，在边长为‎12 cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒‎1 cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒‎2 cm的速度移动．若点P，Q分别从点A，B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动．‎ ‎(1)经过6秒后，BP＝________ cm，BQ＝________ cm；‎ ‎(2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？‎ ‎(3)经过几秒后，△BPQ的面积为‎10 cm2?‎ 图1－4－16‎ 7‎ 详解详析 ‎1．C　[解析] 设运动时间为t s．由题意知AP＝2t，CQ＝3t，∴PC＝50－2t.∵PC·CQ＝300，∴(50－2t)·3t＝300，解得t＝20或5，∴当运动时间为20 s或5 s时，△PCQ的面积为‎300 m2‎.故选C.‎ ‎2．6　[解析] ∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝‎16 cm，AD为BC边上的高，∴AD＝BD＝CD＝‎8 cm.又∵AP＝t cm，∴S1＝AP·BD＝×t×8 ＝8t(cm2)，PD＝(8 －t )cm.易知∠PAE＝∠PEA＝45°，∴PE＝AP＝t cm，∴S2＝PD·PE＝[(8 －t)·t]cm2.∵S1＝2S2，∴8t＝2(8 －t)·t，解得t＝6或0(舍去)．故答案是6.‎ ‎3．解：设经过x s，P，Q两点相距‎2 cm.‎ 由题意，得(8－x)2＋x2＝(2)2，‎ 解得x1＝2，x2＝6.‎ 当x＝2时，S△PCQ＝×(8－2)×2＝6(cm2)；‎ 当x＝6时，S△PCQ＝×(8－6)×6＝6(cm2)．‎ 答：经过2 s或4 s，P，Q两点相距‎2 cm，此时△PCQ的面积为‎6 cm2.‎ ‎4．8或　[解析] 连接PQ，过点Q作QM⊥AB于点M，设经过x s，线段PQ的长是‎10 cm.‎ ‎∵点P以‎2 cm/s的速度向点B移动，点Q以‎1 cm/s的速度向点D移动，‎ ‎∴PM＝|16－3x|cm，QM＝‎6 cm.‎ 根据勾股定理，得|16－3x|2＋62＝102，‎ 解得x1＝8，x2＝.‎ ‎5．解：设经过t s后△EBF的面积为‎5 cm2，‎ 则×2t×(6－t)＝5，‎ 整理，得t2－6t＋5＝0，解得t1＝1，t2＝5.‎ ‎∵0＜t≤4，∴t＝5舍去．‎ 答：经过1 s后△EBF的面积为‎5 cm2.‎ ‎6．解：设x s后△DPQ的面积等于 ‎28 cm2，则△DAP，△PBQ，△QCD的面积分别为×12x，×2x(6－x)，×6×(12－2x)．‎ 根据题意，得6×12－×12x－×2x(6－x)－×6×(12－2x)＝28，‎ 即x2－6x＋8＝0，‎ 解得x1＝2，x2＝4.‎ 答：2 s或4 s后△DPQ的面积等于‎28 cm2.‎ ‎7．解：(1)设x min后两车相距‎2 km.‎ 7‎ ‎∵正方形广场的周长为‎40 km，‎ ‎∴正方形广场的边长为‎10 km.‎ 由甲运动到点F，乙运动到点E，可知FC＝x，EC＝10－2x，‎ 在Rt△ECF中，x2＋(10－2x)2＝(2)2，‎ 解得x1＝2，x2＝6.‎ 当x＝2时，FC＝2，EC＝10－4＝6＜10，符合题意；‎ 当x＝6时，FC＝6，EC＝10－12＝－2＜0，不符合题意，舍去．‎ 答：2 min后，两物体相距‎2 km.‎ ‎(2)△CEF的面积不能等于‎7 km2.理由如下：‎ 设t min后△CEF的面积等于‎7 km2.‎ ‎∵甲的速度为‎1 km/min，乙的速度为‎2 km/min，‎ ‎∴CF＝t，CE＝10－2t，∴·t·(10－2t)＝7，‎ 整理，得t2－5t＋7＝0.‎ ‎∵(－5)2－4×7＜0，∴此方程无实数根，‎ ‎∴△CEF的面积不能等于‎7 km2.‎ ‎8．解：(1)当t＝4时，‎ l＝t2＋t＝8＋6＝14.‎ 故答案为14.‎ ‎(2)由图可知，甲、乙第一次相遇时走过的路程和为一个半圆的长度，‎ 故t2＋t＋4t＝21，‎ 解得t＝3或t＝－14(不符合题意，舍去)．‎ 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s.‎ ‎9 解：(1)设经过x s，△PAQ的面积为‎2 cm2.‎ 由题意，得(3－x)·2x＝2，‎ 解得x1＝1，x2＝2.‎ 所以经过1 s或2 s，△PAQ的面积为‎2 cm2.‎ ‎(2)设经过y s，△PAQ的面积为‎3 cm2.‎ 由题意，得(3－y)·2y＝3，‎ 即y2－3y＋3＝0，‎ 在此方程中b2－‎4ac＝－3＜0，‎ 所以此方程没有实数根，‎ 所以△PAQ的面积不能达到‎3 cm2.‎ ‎(3)设经过t s，P，Q两点之间的距离为 cm，‎ 则AP＝(3－t)cm，AQ＝2t cm.‎ 由勾股定理，得(3－t)2＋(2t)2＝()2，‎ 解得t1＝2，t2＝－(不符合题意，舍去)．‎ 所以经过2 s，P，Q两点之间的距离为 cm.‎ 7‎ ‎10． (1)6　12‎ ‎(2)设经过x秒后，△BPQ是直角三角形．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AB＝BC＝‎12 cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°.‎ 由题意，知BP＝(12－x)cm，BQ＝2x cm.‎ ‎①当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，‎ ‎∴BP＝2BQ，即12－x＝2×2x，‎ ‎∴x＝.‎ ‎②当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，‎ ‎∴BQ＝2BP，∴2x＝2(12－x)，∴x＝6.‎ 即经过6秒或秒后，△BPQ是直角三角形．‎ ‎(3)设经过y秒后，△BPQ的面积为‎10 cm2.如图，过点Q作QD⊥AB于点D，∴∠QDB＝90°，∴∠DQB＝30°，∴DB＝BQ＝y cm.‎ 在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ＝y cm，‎ ‎∴＝10 ，解得y1＝10，y2＝2.‎ ‎∵当y＝10时，2y＞12，故舍去，∴y＝2.‎ 答：经过2秒后，△BPQ的面积为‎10 cm2.‎ 7‎