2020九年级数学上册 第21章 一元二次方程单元测试卷（含解析）（新版）新人教版 15页

第21章 一元二次方程 考试时间：120分钟；满分：150分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）‎ ‎1．（4分）下列方程中是一元二次方程的是（　　）‎ A．xy+2=1 B． C．x2=0 D．ax2+bx+c=0‎ ‎2．（4分）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x的一次项系数是（　　）‎ A．﹣5 B．﹣‎9 ‎C．0 D．5‎ ‎3．（4分）已知一元二次方程x2+kx﹣3=0有一个根为1，则k的值为（　　）‎ A．﹣2 B．‎2 ‎C．﹣4 D．4‎ ‎4．（4分）方程x2﹣9=0的解是（　　）‎ A．x=3 B．x=﹣‎3 ‎C．x=±9 D．x1=3，x2=﹣3‎ ‎5．（4分）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（　　）‎ A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=‎1 ‎C．（y+）2= D．（y﹣）2=‎ ‎6．（4分）设x1为一元二次方程2x2﹣4x=较小的根，则（　　）‎ A．0＜x1＜1 B．﹣1＜x1＜‎0 ‎C．﹣2＜x1＜﹣1 D．﹣5＜x1＜﹣‎ ‎7．（4分）解方程x2+2x+1=4较适宜的方法是（　　）‎ A．实验法 B．公式法 C．因式分解法 D．配方法 ‎8．（4分）一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（　　）‎ A．﹣2 B．‎1 ‎C．2 D．0‎ ‎9．（4分）如图，有一张矩形纸片，长‎10cm，宽‎6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是‎32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　）‎ 15‎ A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32 ‎ C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32‎ ‎10．（4分）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　）‎ A．2% B．4.4% C．20% D．44%‎ ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）‎ ‎11．（5分）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=　 　．‎ ‎12．（5分）对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}=1，min{﹣2，﹣3}=﹣3，若min{（x+1）2，x2}=1，则x=　 　．‎ ‎13．（5分）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，则m的值是　 　．‎ ‎14．（5分）某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是　 　元（结果用含m的代数式表示）．‎ ‎　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三．解答题（共9小题，满分90分）‎ ‎15．（8分）解方程：2x2﹣4x﹣30=0．‎ ‎16．（8分）已知x=2是关于x的方程x2﹣mx﹣‎4m2‎=0的一个根，求m（‎2m+1）的值．‎ ‎17．（8分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（‎2m+3）x+m2+‎3m+2=0．‎ ‎（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；‎ ‎（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC=时，△‎ 15‎ ABC是等腰三角形，求此时m的值．‎ ‎18．（8分）阅读下列材料，解答问题 ‎（2x﹣5）2+（3x+7）2=（5x+2）2‎ 解：设m=2x﹣5，n=3x+7，则m+n=5x+2‎ 则原方程可化为m2+n2=（m+n）2‎ 所以mn=0，即（2x﹣5）（3x+7）=0‎ 解之得，x1=，x2=﹣‎ 请利用上述方法解方程（4x﹣5）2+（3x﹣2）2=（x﹣3）2‎ ‎19．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0．‎ ‎（1）求证：此方程总有两个实数根；‎ ‎（2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围．‎ ‎20．（10分）若关于x的一元二次方程x2﹣（‎2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．‎ ‎21．（12分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．‎ 假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．‎ ‎（1）求每个月生产成本的下降率；‎ ‎（2）请你预测4月份该公司的生产成本．‎ ‎22．（12分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．‎ ‎（1）若降价3元，则平均每天销售数量为　 　件；‎ ‎（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？‎ ‎23．（14分）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．‎ ‎（1）求n的值；‎ 15‎ ‎（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；‎ ‎（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．‎ ‎　‎ 15‎ ‎2018年九年级上学期 第21章 一元二次方程 单元测试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）‎ ‎1．‎ ‎【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数是2次的整式方程，即可判断答案．‎ ‎【解答】解：根据一元二次方程的定义：A、是二元二次方程，故本选项错误；‎ B、是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；‎ C、是一元二次方程，故本选项正确；‎ D、当a b c是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了对一元二次方程和一元一次方程的理解，关键是知道一元二次方程含有3个条件：①整式方程，②含有一个未知数，③所含未知数的项的次数是1次．‎ ‎　‎ ‎2．‎ ‎【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项．‎ ‎【解答】解：化为一般式，得 x2﹣5x﹣9=0，‎ 一次项系数为﹣5，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．‎ ‎　‎ ‎3．‎ ‎【分析】根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0，然后解一次方程即可．‎ ‎【解答】解：把x=1代入方程得1+k﹣3=0，‎ 15‎ 解得k=2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．‎ ‎　‎ ‎4．‎ ‎【分析】先移项得到x2=9，然后利用直接开平方法解方程．‎ ‎【解答】解：x2=9，‎ x=±3，‎ 所以x1=3，x2=﹣3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．‎ ‎　‎ ‎5．‎ ‎【分析】根据配方法即可求出答案．‎ ‎【解答】解：y2﹣y﹣=0‎ y2﹣y=‎ y2﹣y+=1‎ ‎（y﹣）2=1‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎6．‎ ‎【分析】求出方程的解，求出方程的最小值，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：2x2﹣4x=，‎ ‎8x2﹣16x﹣5=0，‎ 15‎ ‎，‎ ‎∵x1为一元二次方程2x2﹣4x=较小的根，‎ ‎，‎ ‎∵5＜＜6，‎ ‎∴﹣1＜x1＜0．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小．‎ ‎　‎ ‎7．‎ ‎【分析】先移项，再将方程左边进行因式分解，转化成一次方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：移项得：x2+2x﹣3=0，‎ 方程左边因式分解得：（x+3）（x﹣1）=0，‎ x+3=0或x﹣1=0，‎ 解得：x1=﹣3，x2=1，‎ 较适宜的方法是因式分解法，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查解一元二次方程，掌握多种方法解一元二次方程，并针对不同的题目找到最适宜的方法是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．‎ ‎【分析】根据根与系数的关系可得出x1x2=0，此题得解．‎ ‎【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，‎ ‎∴x1x2=0．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键．‎ ‎　‎ 15‎ ‎9．‎ ‎【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是‎32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．‎ ‎【解答】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10﹣2x）cm，宽为（6﹣2x）cm，‎ 根据题意得：（10﹣2x）（6﹣2x）=32．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．‎ ‎【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，‎ 根据题意得：2（1+x）2=2.88，‎ 解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．‎ 答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）‎ ‎11．‎ ‎【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+‎2m+2n=0得n+m=﹣2，然后利用整体代入的方法进行计算．‎ ‎【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，‎ ‎∴4+‎2m+2n=0，‎ ‎∴n+m=﹣2，‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】‎ 15‎ 本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．‎ ‎　‎ ‎12．‎ ‎【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．‎ ‎【解答】解：当（x+1）2＜x2，即x＜﹣时，方程为（x+1）2=1，‎ 开方得：x+1=1或x+1=﹣1，‎ 解得：x=0（舍去）或x=﹣2；‎ 当（x+1）2＞x2，即x＞﹣时，方程为x2=1，‎ 开方得：x=1或x=﹣1（舍去），‎ 综上，x=1或﹣2，‎ 故答案为：1或﹣2‎ ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．‎ ‎【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=0，‎ ‎∴22﹣‎4m=0，‎ ‎∴m=1，‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，则可得△=0，此题难度不大．‎ ‎　‎ ‎14．‎ ‎【分析】设每次降价的百分率都是m，根据某商品的原价为120元，经过两次降价后的价格可用代数式表示出．‎ ‎【解答】解：设每次降价的百分率都是m，‎ 该商品现在的价格是；120（1﹣m）2．‎ 15‎ 故答案为：120（1﹣m）2．‎ ‎【点评】本题考查理解题意的能力，知道原来的价格，知道降价的百分率，经过两次降价后可求出现在的价格，是个增长率问题．‎ ‎　‎ 三．解答题（共9小题，满分90分）‎ ‎15．‎ ‎【分析】利用因式分解法解方程即可；‎ ‎【解答】解：∵2x2﹣4x﹣30=0，‎ ‎∴x2﹣2x﹣15=0，‎ ‎∴（x﹣5）（x+3）=0，‎ ‎∴x1=5，x2=﹣3．‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的解法，属于中考基础题．‎ ‎　‎ ‎16．‎ ‎【分析】根据x=2是关于x的方程x2﹣mx﹣‎4m2‎=0的一个根，将x=2代入方程变形即可求得所求式子的值．‎ ‎【解答】解：∵x=2是关于x的方程x2﹣mx﹣‎4m2‎=0的一个根，‎ ‎∴22﹣‎2m﹣‎4m2‎=0，‎ ‎∴4=‎4m2‎+‎2m，‎ ‎∴2=m（‎2m+1），‎ ‎∴m（‎2m+1）=2．‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确题意，利用方程的思想解答．‎ ‎　‎ ‎17．‎ ‎【分析】（1）把x=2代入方程x2﹣（‎2m+3）x+m2+‎3m+2=0得到关于m的一元二次方程，然后解关于m的方程即可；‎ ‎（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到x1=m+2，x2=m+1，则AC=m+2，AB=m+1．然后讨论：当AB=BC时，有m+1=；当AC=BC时，有m+2=，再分别解关于m的一次方程即可．‎ 15‎ ‎【解答】解：（1）∵x=2是方程的一个根，‎ ‎∴4﹣2（‎2m+3）+m2+‎3m+2=0，‎ ‎∴m=0或m=1；‎ ‎（2）∵△=（‎2m+3）2﹣4（m2+‎3m+2）=1，‎ ‎=1；‎ ‎∴x=‎ ‎∴x1=m+2，x2=m+1，‎ ‎∵AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，‎ ‎∴AC=m+2，AB=m+1．‎ ‎∵BC=，△ABC是等腰三角形，‎ ‎∴当AB=BC时，有m+1=，‎ ‎∴m=﹣1；‎ 当AC=BC时，有m+2=，‎ ‎∴m=﹣2，‎ 综上所述，当m=﹣1或m=﹣2时，△ABC是等腰三角形．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了等腰三角形的判定．‎ ‎　‎ ‎18．‎ ‎【分析】设m=4x﹣5，n=3x﹣2，则m﹣n=（4x﹣5）﹣（3x﹣2）=x﹣3，代入后求出mn=0，即可得出（4x﹣5）（3x﹣2）=0，求出即可．‎ ‎【解答】解：（4x﹣5）2+（3x﹣2）2=（x﹣3）2，‎ 设m=4x﹣5，n=3x﹣2，则m﹣n=（4x﹣5）﹣（3x﹣2）=x﹣3，‎ 原方程化为：m2+n2=（m﹣n）2，‎ 整理得：mn=0，‎ 即（4x﹣5）（3x﹣2）=0，‎ ‎4x﹣5=0，3x﹣2=0，‎ 15‎ x1=，x2=．‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成（4x﹣5）（3x﹣2）=0是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．‎ ‎【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求得判别式△≥0恒成立，因此得证，‎ ‎（2）利用求根公式求根，根据有一个跟大于0且小于1，列出关于k的不等式组，解之即可．‎ ‎【解答】（1）证明：△=b2﹣‎4ac=[﹣（k+1）]2﹣4×（2k﹣2）=k2﹣6k+9=（k﹣3）2，‎ ‎∵（k﹣3）2≥0，即△≥0，‎ ‎∴此方程总有两个实数根，‎ ‎（2）解：‎ 解得 x1=k﹣1，x2=2，‎ ‎∵此方程有一个根大于0且小于1，‎ 而x2＞1，‎ ‎∴0＜x1＜1，‎ 即0＜k﹣1＜1．‎ ‎∴1＜k＜2，‎ 即k的取值范围为：1＜k＜2．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程总有两个实数根”，（2）正确找出不等量关系列不等式组．‎ ‎　‎ ‎20．‎ ‎【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（‎2a+1）x+a2=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=[﹣（‎2a+1）]2﹣‎4a2=‎4a+1＞0，‎ 解得：a＞﹣．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．‎ ‎　‎ 15‎ ‎21．‎ ‎【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；‎ ‎（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，‎ 根据题意得：400（1﹣x）2=361，‎ 解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．‎ 答：每个月生产成本的下降率为5%．‎ ‎（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．‎ 答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．‎ ‎　‎ ‎22．‎ ‎【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；‎ ‎（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．‎ 故答案为26；‎ ‎（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．‎ 根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）=1200，‎ 整理，得x2﹣30x+200=0，‎ 解得：x1=10，x2=20．‎ ‎∵要求每件盈利不少于25元，‎ ‎∴x2=20应舍去，‎ 解得：x=10．‎ 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．‎ ‎【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．‎ 15‎ ‎　‎ ‎23．‎ ‎【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，得出等式求出答案；‎ ‎（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案；‎ ‎（3）利用n的值即可得出关于a的等式求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：40n=12，‎ 解得：n=0.3；‎ ‎（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，‎ 解得：m1=，m2=﹣（舍去），‎ ‎∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），‎ ‎（3）设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，‎ 则（30﹣a）+‎2a=39.5，‎ 解得：a=9.5，‎ 则Q=20.5．‎ 设第一年用甲方案整理降低的Q值为x，‎ 第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，‎ 解法一：（30﹣a）+‎2a=39.5‎ a=9.5‎ x=20.5‎ 解法二：‎ 解得：‎ ‎【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．‎ 15‎ ‎　‎ 15‎