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- 2021-06-04 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河北省唐山一中高二（上）12月月考数学试卷（理科）
一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分）
1．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
2．设函数（e为自然底数），则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．0＜x＜1 B．0＜x＜4 C．0＜x＜3 D．3＜x＜4
3．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
4．若直线2ax+by﹣2=0（a，b∈R+）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（ ）
A．1 B．5 C．4 D．3+2
5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，∠ACB=90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则|PF1|•|PF2|=（ ）
A．b2 B．2b2 C．2b D．b
8．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（ ）
A． B． C． D．
9．下列四个结论：
①若x＞0，则x＞sinx恒成立；
②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；
③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；
④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，直线PF2交y轴于点A，△AF1P的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x
11．已知球的直径SC=2，A，B是该球球面上的两点，AB=1，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是的AA1中点，P为地面ABCD内一动点，设PD1、PE与地面ABCD所成的角分别为θ1、θ2（θ1、θ2均不为0），若θ1=θ2，则动点P的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
二．填空题（共4小题，每题5分，计20分）
13．曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
14．已知三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD=，AC=，BC⊥AD，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
15．若点F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，O为坐标原点，若F是△ABC的重心，△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3，则S12+S22+S32= ．
16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线
其中真命题的个数是 ．
三．解答题（共7小题，17-21题为必做题，22题为普通班和实验班必做，23题为英才班必做）
17．命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点；命题q：曲线﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，若p∧q为真命题，求实数k的取值范围．
18．已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
（1）求线段AP中点的轨迹方程；
（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC的中点
（1）求证：直线AF∥平面BEC1
（2）求A到平面BEC1的距离．
20．如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为．
（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．
21．已知圆O：x2+y2=4，点A（，0），以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD的中点时，求直线AB的方程．
22．已知抛物线C：x2=4y，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点（A在第一象限）．
（Ⅰ）当S△OFA=2S△OFB时，求直线l的方程；
（Ⅱ）过点A（2t，t2）作抛物线C的切线l1与圆x2+（y+1）2=1交于不同的两点M，N，设F到l1的距离为d，求的取值范围．
23．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．
（ I）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．
2016-2017学年河北省唐山一中高二（上）12月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分）
1．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），求得k+与2﹣的坐标，代入数量积的坐标表示求得k值．
【解答】解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），
∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），
2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），
又k+与2﹣互相垂直，
∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．
故选：D．
2．设函数（e为自然底数），则使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．0＜x＜1 B．0＜x＜4 C．0＜x＜3 D．3＜x＜4
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由f（x）＜1，可得x2﹣3x＜0，解得x范围，即可判断出结论．
【解答】解：由f（x）＜1，可得x2﹣3x＜0，解得0＜x＜3，
可得：0＜x＜1是使f（x）＜1成立的一个充分不必要条件．
故选：A．
3．设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C．
【解答】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；
故选：D．
4．若直线2ax+by﹣2=0（a，b∈R+）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（ ）
A．1 B．5 C．4 D．3+2
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】求出圆心，根据直线平分圆，得到直线过圆心，得到a，b的关系，利用基本不等式即可得到结论．
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=11，
即圆心为（1，2），
∵直线2ax+by﹣2=0（a，b∈R+）平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣6=0，
∴直线过圆心，
即2a+2b﹣2=0，
∴a+b=1，
则+=（+）（a+b）=2+1+，
当且仅当，即a=时取等号，
故+的最小值是3+，
故选：D．
5．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，从而求两个体积之和即可．
【解答】解：这个几何体由半个圆锥与一个四棱锥组合而成，
半个圆锥的体积为××π×1×=；
四棱锥的体积为×2×2×=；
故这个几何体的体积V=；
故选D．
6．如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，∠ACB=90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，可得向量=（0，﹣2，2），=（﹣1，2，1），利用空间向量的夹角公式加以计算，即可得到异面直线AD与FG所成的角的余弦值．
【解答】解：根据题意，分别以CB、CA、CD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
可得A（0，2，0），D（0，0，2），G（1，0，0），F（0，2，1），
∴=（0，﹣2，2），=（﹣1，2，1），
设AD与FG所成的角大小为α，则
cosα=|cos＜，＞|==，
即AD与FG所成的角的余弦值为．
故选：A．
7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使，则|PF1|•|PF2|=（ ）
A．b2 B．2b2 C．2b D．b
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由F1、F2是椭圆的两个焦点，椭圆上存在点P，使，PF1⊥PF2，知=|PF1|•|PF2|=b2，由此能求出结果．
【解答】解：∵F1、F2是椭圆的两个焦点，
椭圆上存在点P，使，
∴PF1⊥PF2，
∴=|PF1|•|PF2|=b2tan=b2，
∴|PF1|•|PF2|=2b2．
故选B．
8．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1A=3，则A1C的长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】用空间向量解答．
【解答】解：∵=+﹣；
∴2=（+﹣）2；
即2=•+•﹣•+•+•﹣•﹣（•+•﹣•）
=1+0﹣3×1×cos60°+0+1﹣3×1×cos60°﹣（3×1×cos60°+3×1×cos60°﹣9）；
=1﹣+1﹣﹣+9=5，
∴A1C=．
故选A．
9．下列四个结论：
①若x＞0，则x＞sinx恒成立；
②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；
③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；
④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】令f（x）=x﹣sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定，可判断④．
【解答】解：令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，
故f（x）=x﹣sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0，
即x＞sinx恒成立，故①正确；
命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x﹣sinx=0”，故②错误；
“命题p或q为真”时，“命题p且q为真”不一定成立，
“命题p且q为真”时，“命题p或q为真”成立，
故“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的必要不充分条件，故③错误；
④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故正确．
其中正确结论的个数是2个，
故选：B
10．如图，已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，直线PF2交y轴于点A，△AF1P的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，|PF1|=m，|QF1|=n，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①运用对称性和切线的性质可得m﹣1=n，②，可得a=1，再由c=2，可得b，结合渐近线方程即可得到．
【解答】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，
|PF1|=m，|QF1|=n，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①
由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，
|MF2|=|NF1|=n，
即有m﹣1=n，②
由①②解得a=1，
由|F1F2|=4，则c=2，
b==，
由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，
即有渐近线方程为y=x．
故选D．
11．已知球的直径SC=2，A，B是该球球面上的两点，AB=1，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．
【分析】取SC的中点D，则D为球心，过A做AE⊥SC与E，连接BE，则BE⊥SC，∠BED=60°，棱锥S﹣ABC的体积：VS﹣ABC=VS﹣ABE+VC﹣ABE=
，由此能求出结果．
【解答】解：取SC的中点D，则D为球心，
则AD=BD=DS=1，∠ASC=∠BSC=∠SBD=30°，△ASC≌△BSC，
过A做AE⊥SC与E，连接BE，则BE⊥SC，∠BED=60°，
在△BDE中，DE=BDcos∠BED=，
BE=BDsin∠BED=，
∴==，
故三棱锥S﹣ABC的体积等于棱锥S﹣ABE和棱锥C﹣ABE的体积之和，
即棱锥S﹣ABC的体积：
VS﹣ABC=VS﹣ABE+VC﹣ABE
=
===．
故选：A．
12．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是的AA1中点，P为地面ABCD内一动点，设PD1、PE与地面ABCD所成的角分别为θ1、θ2（θ1、θ2均不为0），若θ1=θ2，则动点P的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
【考点】平面与圆柱面的截线．
【分析】通过建系如图，利用cosθ1=cosθ2，结合平面向量数量积的运算计算即得结论．
【解答】解：建系如图，设正方体的边长为1，则E（2，0，1），D1（0，0，2），
设P（x，y，0），则=（2﹣x，﹣y，1），=（﹣x，﹣y，2），
∵θ1=θ2， =（0，0，1），
∴cosθ1=cosθ2，即=，
代入数据，得： =，
整理得：x2+y2﹣x+=0，
变形，得： +y2=，
即动点P的轨迹为圆的一部分，
故选：B．
二．填空题（共4小题，每题5分，计20分）
13．曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
【考点】直线与圆相交的性质．
【分析】
先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．
【解答】解：可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．
直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点变为一个．
且kAP==，由直线与圆相切得d==2，解得k=
则实数k的取值范围为
故答案为：
14．已知三棱锥D﹣ABC中，AB=BC=1，AD=2，BD=，AC=，BC⊥AD，则三棱锥的外接球的表面积为 6π ．
【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．
【分析】根据勾股定理可判断AD⊥AB，AB⊥BC，从而可得三棱锥的各个面都为直角三角形，求出三棱锥的外接球的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．
【解答】解：解：如图：∵AD=2，AB=1，BD=，满足AD2+AB2=SD2
∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB=B，
∴AD⊥平面ABC，
∵AB=BC=1，AC=，
∴AB⊥BC，
∴BC⊥平面DAB，
∴CD是三棱锥的外接球的直径，
∵AD=2，AC=，
∴CD=，
∴三棱锥的外接球的表面积为4π（）2=6π．
故答案为：6π，
15．若点F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，O为坐标原点，若F是△ABC的重心，△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3，则S12+S22+S32= 3 ．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】确定抛物线y2=4x的焦点F的坐标，求出S12+S22+S32，利用点F是△ABC的重心，即可求得结论．
【解答】解：设A、B、C三点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则
∵抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0），
∴S1=|y1|，S2=|y2|，S3=|y3|，
∴S12+S22+S32=（y12+y22+y32）=x1+x2+x3，
∵点F是△ABC的重心，
∴x1+x2+x3=3，
∴S12+S22+S32=3，
故答案为：3
16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线
其中真命题的个数是 3 ．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①，易知BC1∥平面AD1，BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，三棱锥A﹣D1PC的体积不变，可判断①；
②，当P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，可判断②．
③，当P在直线BC1上运动时，易知AP的轨迹是平面PAD1，可判断③．
④，平面A1B1C1D1上的直线D1A1，符合题意，可判断④．
【解答】解：①∵BC1∥AD1，BC1⊄平面AD1C，AD1⊂平面AD1C，
∴BC1∥平面AD1C，BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，
∴==，为定值，即点P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变，故①正确；
②P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，故②不正确．
③当P在直线BC1上运动时，AP的轨迹是平面ABC1，即平面PAD1，即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，故③正确．
④∵M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，而DD1=C1D1，
∴M点的轨迹是直线D1A1，故④正确．
综上所述，真命题为①③④，共3个，
故答案为：3．
三．解答题（共7小题，17-21题为必做题，22题为普通班和实验班必做，23题为英才班必做）
17．命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点；命题q：曲线﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，若p∧q为真命题，求实数k的取值范围．
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，可得圆心到直线的距离，解得k范围．命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，可得，解得k范围．由于p∧q为真命题，可得p，q均为真命题，即可得出．
【解答】解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，
∴圆心到直线的距离，∴，
∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，
∴，解得k＜0，
∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，
∴，
解得k＜﹣2．
18．已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
（1）求线段AP中点的轨迹方程；
（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【考点】轨迹方程．
【分析】（1）设出AP的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．
（2）利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到|PN|=|BN|，利用圆心与弦中点连线垂直弦，利用勾股定理得到
|OP|2=|ON|2+|PN|2，利用两点距离公式求出动点的轨迹方程．
【解答】解：（1）设AP中点为M（x，y），
由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）
∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．
故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．
（2）设PQ的中点为N（x，y），
在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，
设O为坐标原点，则ON⊥PQ，
所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，
所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．
19．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC的中点
（1）求证：直线AF∥平面BEC1
（2）求A到平面BEC1的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取BC1
的中点H，连接HE、HF，利用三角形中位线定理和棱柱的性质证出四边形AFHE为平行四边形，从而得到AF∥HE，结合线面平行判定定理即可证出直线AF∥平面BEC1；
（2）由VA﹣BEC1=VC1﹣BEC利用等体积法建立关系式，根据正三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质，结合题中数据算出△BEC1和△ABE的面积，以及C1到平面AA1B1B的距离，代入前面的等式即可解出A到平面BEC1的距离．
【解答】解：（1）取BC1的中点H，连接HE、HF，
则△BCC1中，HF∥CC1且HF=CC1
又∵平行四边形AA1C1C中，AE∥CC1且AE=CC1
∴AE∥HF且AE=HF，可得四边形AFHE为平行四边形，
∴AF∥HE，
∵AF⊄平面REC1，HE⊂平面REC1
∴AF∥平面REC1．…
（2）等边△ABC中，高AF==，所以EH=AF=
由三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，得C1到平面AA1B1B的距离等于
∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE，∴EC1=EB，得EH⊥BC1
可得S△=BC1•EH=××=，
而S△ABE=AB×BE=2
由等体积法得VA﹣BEC1=VC1﹣BEC，
∴S△×d=S△ABE×，（d为点A到平面BEC1的距离）
即××d=×2×，解之得d=
∴点A到平面BEC1的距离等于．…
20．如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为．
（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；
（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．
【分析】（1）取AB的中点O，连结OC，OD，则OC⊥面ABD，∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．求出BD=2．以O为原点，建立空间直角坐标系．取BC的中点为G，则AG⊥面BCD，利用，证明EF⊥面DBC．
（2）求出平面DEC的一个法向量和平面BCE的一个法向量．利用两个法向量的夹角求二面角D﹣EC﹣B的平面角
【解答】解：（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OD．
∵DB⊥平面ABC，DB⊂面ABD，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．
取AB的中点O，连结OC，OD．
∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，
根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD，
∴OD是CD在平面ABDE上的射影，
∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．
∴sin∠CDO=，而OC=，
∴CD=2，∴BD=2．
取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，
取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，
所以，所以EF⊥面DBC．
（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，
又，
取平面DEC的一个法向量
设平面BCE的一个法向量，则
又，
所以，令x=1，则y=，z=2．
由此得平面BCE的一个法向量．
则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．
21．已知圆O：x2+y2=4，点A（
，0），以线段AB为直径的圆内切于圆O，记点B的轨迹为Γ．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）直线AB交圆O于C，D两点，当B为CD的中点时，求直线AB的方程．
【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．
【分析】（Ⅰ）设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，通过|OM|+|MN|=|ON|=2，推出|OM|+|MN|=2．说明点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为4的椭圆．然后求解曲线Γ的方程．
（Ⅱ）推出OB⊥CD，设B（x0，y0），然后利用直线与椭圆方程联立求出B的坐标，即可求解直线AB的方程．
【解答】解：（Ⅰ）设AB的中点为M，切点为N，连OM，MN，则|OM|+|MN|=|ON|=2，取A关于y轴的对称点A′，连A′B，
故|A′B|+|AB|=2（|OM|+|MN|）=4．
所以点B的轨迹是以A′，A为焦点，长轴长为4的椭圆．
其中，a=2，c=，b=1，则曲线Γ的方程为+y2=1．
（Ⅱ）因为B为CD的中点，所以OB⊥CD，
则⊥．设B（x0，y0），
则x0（x0﹣）+y=0．
又+y=1
解得x0=，y0=±．
则kOB=±，kAB=∓，
则直线AB的方程为y=±（x﹣），
即x﹣y﹣=0或x+y﹣=0．
22．已知抛物线C：x2=4y，过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点（A在第一象限）．
（Ⅰ）当S△OFA=2S△OFB时，求直线l的方程；
（Ⅱ）过点A（2t，t2）作抛物线C的切线l1与圆x2+（y+1）2=1交于不同的两点M，N，设F到l1的距离为d，求的取值范围．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）由S△OFA=2S△OFB，可得|AF|=2|FB|．设A，B
，利用，解出即可；
（2）由于，因此y′=，可得切线l1的方程为y﹣t2=t（x﹣2t），圆心（0，﹣1）到l1的距离为d1=，且d1＜1，故0＜t2＜3．则|MN|=2=2|t|，点F到l1的距离d=， =，通过换元利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）∵S△OFA=2S△OFB，∴|AF|=2|FB|．
设A，B，则，
故=2，
∴A．
因此直线l的方程为．
（2）由于，因此y′=，
故切线l1的方程为y﹣t2=t（x﹣2t），
化简得tx﹣y﹣t2=0，
则圆心（0，﹣1）到l1的距离为d1=，且d1＜1，故0＜t2＜3．
则|MN|=2=，
则点F到l1的距离d=，
则=，
令z==﹣1+=﹣1+，（m=5t2+1∈（1，16）．
则z=﹣1+，
故∈．
23．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．
（ I）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）分类讨论当斜率不存在时，设x=﹣r，代入椭圆方程求得A、B点坐标，以AB为直径的圆恒过原点，⊥，利用向量数量积的坐标，求得r2，求得丨AB丨；
当斜率不存在时，设出直线方程，将直线方程代入椭圆方程得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及向量垂直，求得圆的方程，进而表达出丨AB丨，综上即可求得丨AB丨的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，
∵，
∴a2=2c2，
∴a2=2b2，
设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，
又∵弦长为，
∴，
∴，
又a2=2b2，
解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．
（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±
∴A（r，），B（r，﹣），
∵以AB为直径的圆恒过原点，
∴⊥，
∴r2﹣=0，
∴r2=，
∴圆O的方程为x2+y2=，
此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），
（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，
∵l与圆O相切
∴=r，即m2=（1+k2）r2，
将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①
△=8k2+4﹣m2＞0，②
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：
x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，
∵以AB为直径的圆恒过原点，
∴⊥，
∴x1x2+y1y2=0，
∴+=0，
∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），
又∵m2=（1+k2）r2，
∴3（1+k2）r2=8（1+k2），
∴r2=，
此时m2=（1+k2），代入②式后成立，
∴圆O的方程为x2+y2=，
此时|AB|=•，
=•，
=••，
=••，
=•，
=•，
=•；
（i）若k=0，则|AB|=，
（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，
综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．