数学理卷·2018届广西省桂林市中山中学高二下学期期中考试（2017-05） 8页

桂林市中山中学 2016－2017 学年度上学期 高二理科数学期中试卷 考试范围：选修 2-1 第三章、选修 2-2；考试时间：120 分钟；命题人：扈琨 审题 人：秦柔 第 I 卷（选择题共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题，共 60 分) 1.设复数 z 满足 z+i=3-i,则 = ( ) A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i 2.用反证法证明命题：“若 a，b∈N，ab 能被 5 整除，则 a，b 中至少有一个能被 5 整除”， 那么假设的内容是( ) A．a，b 都能被 5 整除 B．a，b 都不能被 5 整除 C．a，b 有一个能被 5 整除 D．a，b 有一个不能被 5 整除 3．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律， 写出后一种化合物的分子式是( ) A. C4H9 B． C4H10 C． C4H11 D． C6H12 4．曲线 y＝1 3 x3－2 在点(1，－5 3 )处切线的倾斜角为( ) A．30° B．45° C．135° D．150° 5. 函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图所示，则函数 f(x)( )． A.无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 6. 《论语》云：“名不正,则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴， 则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足。所以名不正，则民无所措手足。”上述理由用的 是（ ）. A、演绎推理 B、类比推理 C、合情推理 D、归纳推理 7．       e dxxx1 1 =（ ） A. 2e B. 2 12 e C. 2 1-2e D. 2 32 e 8.用数学归纳法证明 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 3n＋1 >1(n∈N＋)时，在验证 n＝1 时，左边的代数式 为( ) A．1 2 ＋1 3 ＋1 4 B．1 2 ＋1 3 C．1 2 D．1 9．函数 f(x)＝1＋x－sinx 在(0,2π)上是( ) A．增函数 B．在(0，π)上递增，在(π，2π)上递减 C．减函数 D．在(0，π)上递减，在(0,2π)上递增 10.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角 的余弦值为( ) A.1 2 B.2 3 C. 3 3 D. 2 2 11．如右图所示，空间四边形 OABC 中，OA→＝a ，OB→＝b ，OC→＝c ，点 M 在 OA 上，且 OM＝ 2MA，N 为 BC 中点，则MN→等于( )． A．1 2 a－2 3 b＋1 2 c B．－2 3 a＋1 2 b＋1 2 c C．1 2 a＋1 2 b－1 2 c D．－2 3 a＋2 3 b－1 2 c 12．已知定义在 R 上的可导函数 f（x）的导函数为 f'（x），满足 f'（x）＜f（x）， 且 f（0）=2，则不等式 f（x）-2ex＜0 的解集为（ ） A.（-2，+∞） B.（0，+∞） C.（1，+∞） D.（4，+∞） 第 I 卷（非选择题共 90 分） 二、填空题(本大题共 4 小题，共 20 分) 13.已知向量 =（2，-1，2）， =（1，m，n），若 ∥ ，则 m+n= ______ ． 14. 2 1 i  ． 15. 学校艺术节对同一类的 A，B，C，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前， 甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是 C 或 D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是 C 作品获得一等奖”． 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ______ ． 16．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线 y＝0 在原点处相切， 此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为27 4 ，则 a 的值为________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．（10 分）若 ，求证： 18．（12 分）已知函数 xbxaxxf 3)( 23  在 1x  处取得极值－2. （1）求函数 )(xf 的解析式； （2）求曲线 ( )y f x 在点 (2 , (2))f 处的切线方程； 19．（12 分）用总长为 14.8 米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面 的长比宽多 0.5 米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积． 20.(12 分)如图，四棱锥 P-ABCD 的底面为矩形，PA 是四棱锥的高，PA=AB=2，F 是 PB 的 中点，E 是 BC 上的动点．（Ⅰ）证明：PE⊥AF； （Ⅱ）若 BC=2BE=2 3 AB，求直线 AP 与平面 PDE 所成角的大小． 21．(12 分)用数学归纳法证明： 12 1×3 ＋ 22 3×5 ＋…＋ n2 （2n－1）（2n＋1） ＝ n（n＋1） 2（2n＋1） (n∈N*) 22．（12 分）已知     2,ln 23  xaxxxgxxxf (1)求函数  xf 的单调区间; (2)求函数  xf 在  , 2t t   0t  上的最小值; (3)对一切的   ,0x ,     22  xgxf 恒成立,求实数 a 的取值范围. 桂林市中山中学 2016－2017 学年度上学期 高二理科数学期中试卷 考试范围：选修 2-1 第三章、选修 2-2；考试时间：120 分钟；命题人：扈琨 审题 人：秦柔 第 I 卷（选择题共 60 分） 二、选择题(本大题共 12 小题，共 60 分) 1.设复数 z 满足 z+i=3-i,则 = (C ) A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i 2.用反证法证明命题：“若 a，b∈N，ab 能被 5 整除，则 a，b 中至少有一个能被 5 整除”， 那么假设的内容是( B ) A．a，b 都能被 5 整除 B．a，b 都不能被 5 整除 C．a，b 有一个能被 5 整除 D．a，b 有一个不能被 5 整除 3．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是( B ) A. C4H9 B． C4H10 C． C4H11 D． C6H12 4．曲线 y＝1 3 x3－2 在点(1，－5 3 )处切线的倾斜角为( B ) A．30° B．45° C．135° D．150° 5. 函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图所示，则函数 f(x)( C )． A.无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 6. 《论语》云：“名不正,则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴， 则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足。所以名不正，则民无所措手足。”上述理由用的 是（ A ）. A、演绎推理 B、类比推理 C、合情推理 D、归纳推理 7． =（ B） A.e2 B. C. D. 8.用数学归纳法证明 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 3n＋1 >1(n∈N＋)时，在验证 n＝1 时，左边的代数式 为( A) A．1 2 ＋1 3 ＋1 4 B．1 2 ＋1 3 C．1 2 D．1 9．函数 f(x)＝1＋x－sinx 在(0,2π)上是( A ) A．增函数 B．在(0，π)上递增，在(π，2π)上递减 C．减函数 D．在(0，π)上递减，在(0,2π)上递增 10.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角 的余弦值为( B ) A.1 2 B.2 3 C. 3 3 D. 2 2 11．如右图所示，空间四边形 OABC 中，OA→＝a ，OB→＝b ，OC→＝c ，点 M 在 OA 上，且 OM＝ 2MA，N 为 BC 中点，则MN→等于( B )． A．1 2 a－2 3 b＋1 2 c B．－2 3 a＋1 2 b＋1 2 c C．1 2 a＋1 2 b－1 2 c D．－2 3 a＋2 3 b－1 2 c 12．已知定义在 R 上的可导函数 f（x）的导函数为 f'（x），满足 f'（x）＜f （x）， 且 f（0）=2，则不等式 f（x）-2ex＜0 的解集为（ B） A.（-2，+∞） B.（0，+∞） C.（1，+∞） D.（4，+∞） 第 I 卷（非选择题共 90 分） 二、填空题(本大题共 4 小题，共 20 分) 13.已知向量 =（2，-1，2）， =（1，m，n），若 ∥ ，则 m+n= ___ 2 1 ___ ． 14. 2 1 i  2 ． 15. 学校艺术节对同一类的 A，B，C，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前， 甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是 C 或 D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”； 丙说：“A，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是 C 作品获得一等奖”． 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ____B__ ． 16．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与直线 y＝0 在原点处相切， 此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为27 4 ，则 a 的值为___-3_____． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17．（10 分）若 ，求证： 证明： 3 3 4 3 3 4( )( )a b a b a a b ab b      4 2 2 4( )a ab a b b    ………5 分 4 4 2 2 22 ( )a ab ab b a b      所以，原不等式得证。………………10 分 18．（12 分）已知函数 xbxaxxf 3)( 23  在 1x  处取得极值－2. （1）求函数 )(xf 的解析式； （2）求曲线 ( )y f x 在点 (2 , (2))f 处的切线方程； 解：（1） 323)( 2  bxaxxf ，………………1 分 依题意有， (1) 0 (1) 2 f f     ，即 3 2 3 0 3 2 a b a b        ，………………3 分 解得 0,1  ba ．………………5 分 ∴ xxxf 3)( 3  ………………6 分 （2） 2( ) 3 3f x x   ∴k= 2(2) 3 2 3 9f      ，又 3(2) 2 3 2 2f     ……9 分 故曲线 ( )y f x 在点 (2 , (2))f 处的切线方程为 2 9( 2)y x   ，即 9 16 0x y   ………………12 分 19．（12 分）用总长为 14.8 米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面 的长比宽多 0.5 米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积． 解：设容器底面宽为 xm，则长为(x＋0.5)m，高为(3.2－2x)m. 由 0 3.2 2 0 x x    解得 00；1