2020九年级数学上册 第二十二章 二次函数 例析二次函数与一元二次方程的转化同步辅导素材 1页

例析二次函数与一元二次方程的转化 ‎ 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）密切相关，当函数值y=0时，可得到一元二次方程ax2+bx+c=0.从图象上看，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.‎ ‎ 对于二次函数y=ax2+bx+c的图象和一元二次方程ax2+bx+c=0：当图象与x轴有一个公共点时，方程有两个相等实数根，即Δ=b2‎-4ac=0；当图象与x轴有两个公共点时，方程有两个不等的实数根，即Δ=b2‎-4ac>0;当图象与x轴没有公共点时,方程没有实数根,即 Δ=b2‎-4ac<0.‎ ‎ 例1 （2016•宿迁）若二次函数y=ax2‎-2ax+c的图象经过点（-1，0），则方程ax2-2ax+c=0的解为（　　）‎ A． x1=-3，x2=-1 B．x1=1，x2=‎3 C．x1=-1，x2=3 D．x1=-3，x2=1‎ ‎ 解析：∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0）， ∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为x=-1， ∵抛物线的对称轴是x=-=1， ∴二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0）. ∴方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1，x2=3． 故选C．‎ ‎ 例2（2016•徐州）若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是______.‎ ‎ 解析：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点， ∴方程x2+2x+m=0没有实数根. ∴=22-4×1×m＜0，解得m＞1.‎ ‎ 例3（2015•南通）关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是__________ ‎ 解析：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根,‎ ‎∴=（-3）2-4×a×（-1）＞0，解得a＞−.‎ 设y=ax2-3x-1，如图，‎ ‎∵实数根都在-1和0之间，‎ ‎∴-1＜−＜0，解得a＜−.‎ 当x=-1时,y<0，即a×（-1）2-3×（-1）-1＜0. 解得a＜-2.‎ 综上可得−＜a＜-2．‎ 1‎