江西省南昌市2020届高三模拟考试数学（文）试题 9页

南昌市第二次模拟测试卷 文科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上，并在相应位置贴好条形码．‎ ‎2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．‎ ‎3．非选择题必须用黑色水笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．‎ ‎4．考生必须保证答题卡整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．‎ 一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数，，，则（ ）‎ A． B．‎2 C． D．4‎ ‎2．集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知空间内两条不同的直线a，b，则“”是“a与b没有公共点”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知，则不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知函数的图象关于原点对称，则（ ）‎ A． B．‎1 C． D．‎ ‎6．已知中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则角A等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知、为不共线的两个单位向量，且在上的投影为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．直线被圆截得最大弦长为（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎9．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知抛物线的焦点为F，是抛物线上一点，过A作抛物线准线的垂线，垂足为B，若，则（ ）‎ A．3 B． C．4 D．‎ ‎11．春秋以前中国已有“抱瓮而出灌”的原始提灌方式，使用提水吊杆——桔槔，后发展成辘轳．19世纪末，由于电动机的发明，离心泵得到了广泛应用，为发展机械提水灌溉提供了条件．图形所示为灌溉抽水管道在等高图上的垂直投影，在A处测得B处的仰角为37度，在A处测得C处的仰角为45度，在B处测得C处的仰角为53度，A点所在等高线值为‎20米，若BC管道长为‎50米，则B点所在等高线值为（参考数据）‎ A．‎30米 B．‎50米 C．‎60米 D．‎‎70米 ‎12．已知函数在区间上有且仅有2个最小值点，下列判断：‎ ‎①在上有2个最大值点；②在上最少3个零点，最多4个零点；‎ ‎③；④在上单调递减．其中所有正确判断的序号是（ ）‎ A．④ B．③④ C．②③④ D．①②③‎ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．若变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为________．‎ ‎14．已知函数，，则的最小值为________．‎ ‎15．已知，分别是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线的渐近线的一个公共点为P，若，则双曲线的离心率为________．‎ ‎16．已知四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，则________，四边形EMBN的面积为________．‎ 三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22，23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）甲、乙两位战士参加射击比赛训练．从若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：‎ 甲82 81 79 78 95 88 93 84‎ 乙92 95 80 75 83 80 90 85‎ ‎（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据，并分别求两组数据的中位数；‎ ‎（Ⅱ）现要从中选派一人参加射击比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位战士参加合适？请说明理由．‎ ‎18．（12分）已知等差数列的公差为，前n项和为，且满足________（从①﹔②，，成等比数列；⑧，这三个条件中任选两个 补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）．‎ ‎（Ⅰ）求﹔‎ ‎（Ⅱ）若，求数列的前n项和．‎ ‎19．（12分）如图所示，四棱柱，底面ABCD是以AB，CD为底边的等腰梯形，且，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面ABCD；‎ ‎（Ⅱ）若，求三棱锥的体积．‎ ‎20．（12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论在区间上的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求实数a的最大值．（e为自然对数的底）‎ ‎21．（12分）已知椭圆，过点的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点．‎ ‎（Ⅰ）求以AB为直径的圆的方程：‎ ‎（Ⅱ）设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系xOy中，抛物线E顶点在坐标原点，焦点为．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线E的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）过点倾斜角为的直线l交E于M，N两点，若，求．‎ ‎23．（10分）选修4-5：不等式选讲 已知，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）求证：．‎ 参考答案 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C A A A C D D C D B A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．3 14． 15． 16．；‎ 三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17．【解析】（Ⅰ）作出茎叶图如下：‎ 从茎叶图中得出甲的中位数为，‎ 而乙的中位数为； （茎叶图3分) 5分 ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， （均值各1分，方差各1.5分) 10分 ‎，，甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．‎ 注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分，如派乙参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率，乙获得85分以上（含85分）的概率，，所以派乙参赛比较合适． 12分 ‎18．【解析】（Ⅰ）①由，得，即；‎ ‎②由，，成等比数列，得，，即﹔‎ ‎③由，得，即； （每个条件转化1.5分）‎ 选择①②、①③、②③条件组合，均得、，即﹔ 6分 ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ 两式相减得：， 9分 得 12分 ‎19．【解析】（Ⅰ）中，，，，得， 2分 则，即， 4分 而，故平面，‎ 又面ABCD，所以平面平面ABCD． 6分 ‎（Ⅱ）取BD的中点O，由于，所以，‎ 由（Ⅰ）可知平面面ABCD，故面ABCD．‎ 因为，，则，‎ 因为平面ABCD， 9分 所以 ‎． 12分 ‎20．【解析】（Ⅰ），时，﹔时，．‎ ‎①当时，在上单调递增；‎ ‎②当时，在上单调递减，上递增；‎ ‎③当时，在的单调递减； （每段讨论1.5分) 6分 ‎（Ⅱ），即，‎ 由（Ⅰ）知：在上递减，在上递增，‎ 则，即， 9分 令，，即在R单调递增，‎ 而，，‎ 所以，即a的最大值为． 12分 ‎21．【解析】（Ⅰ）由已知，则，故AB方程：，‎ 联立直线AB与椭圆方程，消去y可得：，得，即，‎ 从而以AB为直径的圆方程为：，‎ 即． 4分 ‎（Ⅱ）（1）当CD斜率存在时，并设CD方程：，设，‎ 由，消去y得：，‎ 故，，从而，‎ ‎， 7分 而以CD为直径的圆方程为：，‎ 即， ①‎ 且以AB为直径的圆方程为， ②‎ 将两式相减得直线，‎ 即，‎ 可得：，两条直线互异，则，‎ 即， 9分 令，解得，即直线MN过定点； 10分 ‎（2）当CD斜率不存在时，CD方程：，知，，‎ 则以CD为直径的圆为，‎ 而以AB为直径的圆方程，‎ 两式相减得MN方程：，过点；‎ 综上所述，直线MN过定点． 12分 ‎22．【解析】（Ⅰ）由题意抛物线E的焦点为，所以标准方程为，‎ 故极坐标方程为﹔ 4分 ‎（Ⅱ）设过点A的直线l参数方程为（t为参数），‎ 代入，化简得，‎ ‎，，‎ 且 6分 由，A在E内部，知，‎ 得或，‎ 所以，当时，解得，‎ 所以，当时，解得 （每个结果1.5分）‎ 所以或． 10分 ‎23．【解析】（Ⅰ）当时，不等式为，平方得，‎ 则，得，即或，‎ 所以，所求不等式的解集； 5分 ‎（Ⅱ）因为 ‎，‎ 又，‎ 所以，不等式得证．‎