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- 2021-06-03 发布
2017-2018学年河南省周口市高二上学期第一次月考数学试题
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=4，A=60°，B=45°，则边b的值为（ ）
A．2 B．2+2 C． D．2+1
2．已知一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ）
A．它的首项是﹣2，公差是3 B．它的首项是2，公差是﹣3
C．它的首项是﹣3，公差是2 D．它的首项是3，公差是﹣2
3．已知△ABC三内角A、B、C满足sinA：sinB：sinC=4：5：6，且三角形的周长是7.5，则三边的长是（ ）
A．a=4，b=5，c=6 B．a=1，b=1.5，c=5
C．a=2，b=3，c=2.5 D．a=2，b=2.5，c=3
4．数列﹣1，，﹣，，…的一个通项公式an是（ ）
A． B．
C． D．
5．在△ABC中，角A、B、C的对边a，b，c满足b2+c2=a2+bc，且bc=8，则△ABC的面积等于（ ）
A． B．4 C． D．8
6．在等比数列{an}中，已知a1=3，an=48，Sn=93，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且a＞b，则正确的是（ ）
A．sinA＞sinB且cosA＞cosB B．sinA＜sinB且cosA＜cosB
C．sinA＞sinB且cosA＜cosB D．sinA＜sinB且cosA＞cosB
8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．24里 B．12里 C．6里 D．3里
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，a=2，c=，则C=（ ）
A． B． C． D．
10．已知{an}为公比q＞1的等比数列，若a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2007+a2008的值是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
11．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知数列{an}和{bn}满足：a1=1，a2=2，an＞0，bn=，且{bn}是以为公比的等比数列，若cn=a2n﹣1+2a2n，则数列{cn}的前n项和为（ ）
A．5×2n﹣5 B．3×2n﹣3 C．2n+1﹣2 D．2n﹣1
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，则△ABC的面积等于 ．
14．设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6= ．
15．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于 ．
16．△ABC中，角A、B、C的对边长分别为a、b、c，D是BC的中点，若a=4， AD=c﹣b，则△ABC的面积的最大值为 ．
三．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B=bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA=，求sinC的值．
18．（12分）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．
19．（12分）如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求sinα的值．
20．（12分）设数列{an}的前项和为Sn，且Sn=，{bn}为等差数列，且a1=b1，a2（b2﹣b1）=a1．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
21．（12分）在锐角△ABC中，A、B、C三内角所对的边分别为a、b、c．设，
（Ⅰ）若b=3，求△ABC的面积；
（Ⅱ）求b+c的最大值．
22．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=，an+2SnSn﹣1=0（n≥2）．
（1）判断是否为等差数列？并证明你的结论；
（2）求Sn和an；
（3）求证：．
2017-2018学年上期高二第一次月考
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．C． 2．A 3．D．4．D．5．A．6．B．7．C．8．C．9．：B．10．A．11．D．12．A．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．： 14．63． 15．9．
16．【解析】解：在△ABC中，∵角A、B、C的对边长分别为a、b、c，D是BC的中点，
若a=4，AD=c﹣b，
则，
∵∠ADB=π﹣∠ADC，
∴b2+c2=8+2（c﹣b）2，即b2+c2﹣4bc+8=0，
故cosA==，
故sinA==，
∴△ABC的面积S=bcsinA=≤，
即△ABC的面积的最大值为，
故答案为：
三．解答题（共6小题，满分70分）
【解答】解：（1）∵asin2B=bsinA，
∴2sinAsinBcosB=sinBsinA，
∴cosB=，∴B=．…（5分）
（2）∵cosA=，∴sinA=，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
==．…（10分）
18．【解答】解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列
∴设其公比为q，q＞0
∵a3=a2+4，a1=2
∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1
∵q＞0
∴q=2
∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n…（6分）
（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列
∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1
∴数列{an+bn}的前n项和
Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2…（12分）
19．【解答】解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．（2分）
在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC（4分）
=122+202﹣2×12×20×cos120°=784．
解得BC=28．（6分）
所以渔船甲的速度为海里/小时．
答：渔船甲的速度为14海里/小时．（7分）
（2）方法1：在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，
由正弦定理，得．（9分）
即．
答：sinα的值为．（12分）
方法2：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，
由余弦定理，得．（9分）
即．
因为α为锐角，所以=．
答：sinα的值为．（12分）
20．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（）﹣（ ）=，
经验证当n=1时，此式也成立，所以，从而b1=a1=1，，
又因为{bn}为等差数列，所以公差d=2，∴bn=1+（n﹣1）•2=2n﹣1，
故数列{an}和{bn}通项公式分别为：，bn=2n﹣1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
所以+（2n﹣1）•2n﹣1①
①×2得+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n②
①﹣②得：﹣（2n﹣1）•2n
==1+2n+1﹣4﹣（2n﹣1）•2n=﹣3﹣（2n﹣3）•2n．
∴数列{cn}的前n项和． …（12分）
21．【解答】解：（Ⅰ）
即，∵0＜2A＜π∴，
由a2=b2+c2﹣2bccosA
得c2﹣3c+2=0∴c=1或2∵c=1时，cosB＜0，∴c=1舍去，
∴c=2∴．…（6分）
（Ⅱ）方法一：a2=b2+c2﹣2bccosA∴b2+c2﹣bc=7
当且仅当时b=c取等号∴．…（12分）
方法二：，，由正弦定理得
,
=
==
，
，=
…（12分）
22．【解答】解：（1）S1=a1=，∴
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣2SnSn﹣1，∴
∴为等差数列，首项为2，公差为2…（4分）
（2）由（1）知=2+（n﹣1）×2=2n，∴
当n≥2时，
∴an=…（8分）
（3）==…（12分）