高考数学复习专题练习第7讲 离散型随机变量的均值与方差 8页

第 7 讲 离散型随机变量的均值与方差 一、选择题 1．设 X 为随机变量，X～B n，1 3 ，若随机变量 X 的数学期望 EX＝2，则 P(X＝2) 等于( ) A.13 16 B. 4 243 C. 13 243 D. 80 243 解析 ∵X～B n，1 3 ，EX＝2，∴n·1 3 ＝2，∴n＝6， ∴P(X＝2)＝C26 1 3 2 1－1 3 4＝6×5 1×2 ×1 9 ×16 34 ＝ 80 243. 答案 D 2．签盒中有编号为 1、2、3、4、5、6 的六支签，从中任意取 3 支，设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个，则 X 的数学期望为( )． A．5 B．5.25 C．5.8 D．4.6 解析 由题意可知，X 可以取 3，4，5，6， P(X＝3)＝ 1 C36 ＝ 1 20 ，P(X＝4)＝C23 C36 ＝ 3 20 ， P(X＝5)＝C24 C36 ＝ 3 10 ，P(X＝6)＝C25 C36 ＝1 2. 由数学期望的定义可求得 EX＝5.25. 答案 B 3．若 p 为非负实数，随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 1 2 －p p 1 2 则 Eξ的最大值为( )． A．1 B.3 2 C.2 3 D．2 解析 由 p≥0，1 2 －p≥0，则 0≤p≤1 2 ，Eξ＝p＋1≤3 2. 答案 B 4．已知随机变量 X＋η＝8，若 X～B(10，0.6)，则 Eη，Dη分别是 ( )． A．6 和 2.4 B．2 和 2.4 C．2 和 5.6 D．6 和 5.6 解析 由已知随机变量 X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得 Eη＝8－EX＝8 －10×0.6＝2， Dη＝(－1)2DX＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 B 5．一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概 率为 c(a，b，c∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为 2，则2 a ＋ 1 3b 的最小 值为 ( )． A.32 3 B.28 3 C.14 3 D.16 3 解析 由已知得，3a＋2b＋0×c＝2， 即 3a＋2b＝2，其中 0Dξ2 B．Dξ1＝Dξ2 C．Dξ1Dξ2. 答案 A 二、填空题 7．某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望 Eξ＝8.9，则 y 的值为________． 解析 x＋0.1＋0.3＋y＝1，即 x＋y＝0.6.① 又 7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得 7x＋10y＝5.4.② 由①②联立解得 x＝0.2，y＝0.4. 答案 0.4 8．一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概 率为 c，a，b，c∈(0,1)，已知他投篮一次得分的数学期望为 1(不计其他得分 情况)，则 ab 的最大值为________． 解析 由已知 3a＋2b＋0×c＝1， ∴3a＋2b＝1， ∴ab＝1 6·3a·2b≤1 6·3a＋2b2 4 ＝ 1 24 ， 当且仅当 a＝1 6 ，b＝1 4 时取“＝”． 答案 1 24 9．随机变量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列．若 Eξ＝1 3 ，则 Dξ的值是________． 解析 根据已知条件： a＋b＋c＝1， 2b＝a＋c， －a＋c＝1 3 ， 解得：a＝1 6 ，b＝1 3 ，c＝1 2 ， ∴Dξ＝1 6 × －1－1 3 2 ＋1 3 × 0－1 3 2 ＋1 2 × 1－1 3 2 ＝5 9. 答案 5 9 10．设 l 为平面上过点(0，1)的直线，l 的斜率等可能地取－2 2，－ 3，－ 5 2 ， 0， 5 2 ， 3，2 2，用ξ表示坐标原点到 l 的距离，则随机变量ξ的数学期望 Eξ ＝________． 解析 当 l 的斜率 k 为±2 2时，直线 l 的方程为±2 2x－y＋1＝0，此时坐标 原点到 l 的距离 d＝1 3 ；当 k 为± 3时，d＝1 2 ；当 k 为± 5 2 时，d＝2 3 ；当 k 为 0 时，d＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下： ξ 1 3 1 2 2 3 1 P 2 7 2 7 2 7 1 7 所以 Eξ＝1 3 ×2 7 ＋1 2 ×2 7 ＋2 3 ×2 7 ＋1×1 7 ＝4 7. 答案 4 7 三、解答题 11．某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生 的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是1 2. 若某人获得两个“支持”，则给予 10 万元的创业资助；若只获得一个“支 持”，则给予 5 万元的创业资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表 示该公司的资助总额． (1)写出ξ的分布列；(2)求数学期望 Eξ. 解 (1)ξ的所有取值为 0,5,10,15,20,25,30.[来源:学|科|网] P(ξ＝0)＝ 1 64 ，P(ξ＝5)＝ 3 32 ，P(ξ＝10)＝15 64 ，P(ξ＝15)＝ 5 16 ，P(ξ＝20)＝15 64 ， P(ξ＝25)＝ 3 32 ，P(ξ＝30)＝ 1 64. 故ξ的分布列为： ξ 0 5 10 15 20 25 30 P 1 64 3 32 15 64 5 16 15 64 3 32 1 64 (2)Eξ＝5× 3 32 ＋10×15 64 ＋15× 5 16 ＋20×15 64 ＋25× 3 32 ＋30× 1 64 ＝15. 12．袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号． (1)求 X 的分布列、期望和方差； (2)若η＝aX＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求 a，b 的值． 解 (1)X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 ∴EX＝0×1 2 ＋1× 1 20 ＋2× 1 10 ＋3× 3 20 ＋4×1 5 ＝1.5. DX＝(0－1.5)2×1 2 ＋(1－1.5)2× 1 20 ＋(2－1.5)2× 1 10 ＋(3－1.5)2× 3 20 ＋(4－1.5)2 ×1 5 ＝2.75. (2)由 Dη＝a2DX，得 a2×2.75＝11，即 a＝±2. 又 Eη＝aEX＋b， 所以当 a＝2 时，由 1＝2×1.5＋b，得 b＝－2. 当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4. ∴ a＝2， b＝－2 或 a＝－2， b＝4， 即为所求． 13．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1 2 ，a，a(0