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- 2021-06-02 发布
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第六章 数 列
第1讲 数列的概念与简单表示法
一、选择题
1．数列{an}的前n项积为n2，那么当n≥2时，{an}的通项公式为( )
A．an＝2n－1 B．an＝n2
C．an＝ D．an＝
解析 设数列{an}的前n项积为Tn，则Tn＝n2，当n≥2时，an＝＝.
答案 D
2．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＋Sn＋1＝an＋1(n∈N*)，则此数列是 ( )．
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．摆动数列
解析 ∵Sn＋Sn＋1＝an＋1，∴当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an.
两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an，∴an＝0(n≥2)．
当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，
∴an＝0(n∈N*)，故选C.
答案 C
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5＝ ( )．
A．－16 B．16 C．31 D．32
解析 当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1，
又Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，∴Sn－Sn－1＝an＝2(an－an－1)．
∴＝2.∴an＝1×2n－1，∴a5＝24＝16.
答案 B
4．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2…)”是“{an}为递增数列”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析 由an＋1>|an|可得an＋1>an.∴{an}是递增数列．
∴“an＋1>|an|”是“{an}为递增数列”的充分条件．
当数列{an}为递增数列时，不一定有an＋1>|an|，如：－3，－2，－1,0,1，….
∴“an＋1>|an|”不是“{an}为递增数列”的必要条件．
答案 B
5．数列{an}满足下列条件：a1＝1，且对于任意的正整数n(n≥2，n∈N＋)，
恒有2an＝2nan－1，则a100的值为( )
A．1 B．299
C．2100 D．24 950
解析 由2an＝2nan－1可得＝2n－1(n≥2)，
∴a100＝××…×××a1＝299×298×…×22×21×1＝2＝24 950.
答案 D
6．定义运算“*”，对任意a，b∈R，满足①a*b＝b*a；②a*0＝a；(3)(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(c*b)．设数列{an}的通项为an＝n**0，则数列{an}为( )．
A．等差数列 B．等比数列
C．递增数列 D．递减数列
解析 由题意知an＝*0＝0]n·＋(n*0)＋)＝1＋n＋，显然数列{an}
既不是等差数列也不是等比数列；又函数y＝x＋在[1，＋∞)上为增函数，
所以数列{an}为递增数列．
答案 C
二、填空题
7．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前________项的和最大．
解析 易知a1＝20>0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，这样只需求数列{an}的最末一个非负项．令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10或11项和最大．
答案 10或11
8．已知数列{an}满足a1＝1，且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则a2＝________；an＝________.
解析 由an＝n(an＋1－an)，可得＝，
则an＝···…··a1＝×××…××1＝n，∴a2＝2，an＝n.
答案 2 n
9．函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________
解析 函数y＝x2(x>0)在点(a1，a)处(a1＝16)即点(16,256)处的切线方程为y－256＝32(x－16)．令y＝0，得a2＝8；同理函数y＝x2(x>0)在点(a2，a)处(a2＝8)即点(8,64)处的切线方程为y－64＝16(x－8)．令y＝0，得a3＝4，依次同理求得a4＝2，a5＝1.所以a1＋a3＋a5＝21.
答案 21
10．在数列{an}中，若a1＝，an＝(n≥2，n∈N＋)，则a2 011＝________.
解析 ∵a1＝，an＝(n≥2，n∈N＋)，
∴a2＝2，a3＝－1，a4＝.
∴{an}是以3为周期的数列．
∴a2011＝a670×3＋1＝a1＝.
答案
三、解答题
11．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明 当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．
(2)解 由(1)可得＝2n，∴Sn＝.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
当n＝1时，a1＝不适合上式．
故an＝
12．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.
(1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围．
解 (1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
又S1－31＝a－3(a≠3)，故数列{Sn－3n}是首项为a－3，公比为2的等比数列，
因此，所求通项公式为bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
当n＝1时，a1＝a不适合上式，
故an＝
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2，
当n≥2时，an＋1≥an⇔12·n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1.
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．
13．在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数
列{bm}的前m项和Sm.
解 (1)因为{an}是一个等差数列，
所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28.
设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.
由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)．
(2)对m∈N*，若9m＜an＜92m，
则9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1，
故得bm＝92m－1－9m－1.
于是Sm＝b1＋b2＋b3＋…＋bm
＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1)
＝－
＝.
14．已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，x∈R)，有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N＋)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝1－(n∈N＋)，定义所有满足cm·cm＋1<0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，求数列{cn}的变号数．
解 (1)依题意，Δ＝a2－4a＝0，∴a＝0或a＝4.
又由a>0得a＝4，
∴f(x)＝x2－4x＋4.∴Sn＝n2－4n＋4.
当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.[来源:学|科|网]
∴an＝
(2)由题设cn＝
由1－＝可知，当n≥5时，恒有an>0.
又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，
即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0，
∴数列{cn}的变号数为3.
