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- 2021-06-02 发布
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7.2.1
排列
(
一
)
创设情境
,
引出排列问题
探究
在
1.1
节的例
9
中我们看到
,
用分步乘法计数原理解决这个问题时
,
因做了一些重复性工作而显得繁琐
,
能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢
?
探究：
问题
1
：
从甲、乙、丙
3
名同学中选出
2
名参加一项活动，其中
1
名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题
2
：
从
1
，
2
，
3
，
4
这
4
个数中，每次取出
3
个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？
探究：
问题
1
：
从甲、乙、丙
3
名同学中选出
2
名参加一项活动，其中
1
名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
分析：
把题目转化为
从甲、乙、丙
3
名同学中选
2
名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？
上午
下午
相应的排法
甲
乙
丙
乙
甲
丙
丙
甲
乙
甲丙
甲乙
乙甲
乙丙
丙甲
丙乙
第一步：确定参加上午活动的同学即从
3
名中任 选
1
名，有
3
种选法
.
第二步：确定参加下午活动的同学，有
2
种方法
根据分步计数原理：
3×2=6
即共
6
种方法。
把上面问题中被取的对象叫做
元素
,
于是问题１就可以叙述为：
从
3
个不同的元素
a,b,c
中任取
2
个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
ab, ac, ba, bc, ca, cb
问题
2
：
从
1
，
2
，
3
，
4
这
4
个数中，每次取出
3
个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
从
4
个不同的元素
a,b,c,d
中任取
3
个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;
cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
有此可写出所有的三位数：
123
，
124
，
132
，
134
，
142
，
143; 213
，
214
，
231
，
234
，
241
，
243
，
312
，
314
，
321
，
324
，
341
，
342; 412
，
413
，
421
，
423
，
431
，
432
。
基本概念
1
、排列：
一般地，从
n
个不同中取出
m (m n)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列。
说明：
1
、元素不能重复。
n
个中不能重复，
m
个中也不能重复。
2
、
“
按一定顺序
”
就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。
3
、
两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。
4
、
m
＜
n
时的排列叫选排列，
m
＝
n
时的排列叫全排列。
5
、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用
“
树形图
”
。
例
1
、下列问题中哪些是排列问题？
（
1
）
10
名学生中抽
2
名学生开会
（
2
）
10
名学生中选
2
名做正、副组长
（
3
）从
2,3,5,7,11
中任取两个数相乘
（
4
）从
2,3,5,7,11
中任取两个数相除
（
5
）
20
位同学互通一次电话
（
6
）
20
位同学互通一封信
（
7
）以圆上的
10
个点为端点作弦
（
8
）以圆上的
10
个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线
（
9
）有
10
个车站，共需要多少种车票？
（
10
）有
10
个车站，共需要多少种不同的票价？
2
、排列数：
从
n
个不同的元素中取出
m(m≤n)
个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同的元素中取出
m
个元素的排列数。用符号 表示。
“
排列
”
和
“
排列数
”
有什么区别和联系？
排列数，而不表示具体的排列。
所有排列的个数，是一个数；
“
排列数
”
是指从
个不同元素中，任取
个元素的
所以符号
只表示
“
一个排列
”
是指：从
个不同元素中，任取
按照一定的顺序排成一列，不是数；
个元素
问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的排列数，记为
,
已经算得
问题
2
中是求从
4
个不同元素中取出
3
个元素的排列数，记为 ，已经算出
探究：
从
n
个不同元素中取出
2
个元素的排列数 是多少？
呢
？
呢
？
……
第
1
位
第
2
位
第
3
位
第
m
位
n
种
(n-1)
种
(n-2)
种
(n-m+1)
种
(1)
排列数公式（
1
）：
当
m
＝
n
时，
正整数
1
到
n
的连乘积，叫做
n
的阶乘，用 表示。
n
个不同元素的全排列公式：
(2)
排列数公式（
2
）：
说明：
1
、排列数
公式
的第一个常用来计算，第二个常用来证明。
为了使当
m
＝
n
时上面的公式也成立，规定：
2
、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。
例
1
、计算：
（
1
）
（
2
）
（
3
）
例
2
、解方程：
例
3
、求证：
例
5
、求 的值
.
例
4
．
若
，则
，
．
1
．计算：（
1
）
（
2
）
课堂练习
2
．从
4
种蔬菜品种中选出
3
种，分别种植在不同土质的
3
块土地
上进行试验，有
种不同的种植方法？
4
．信号兵用
3
种不同颜色的旗子各一面，每次打出
3
面，最多能
打出不同的信号有（ ）
3
．从参加乒乓球团体比赛的
5
名运动员中选出
3
名进行某场比赛，
并排定他们的出场顺序，有
种不同的方法？
排列问题，是取出
m
个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的
m
个元素，只要
排列顺序不同
，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．
小结
由排列的定义可知，
排列与元素的顺序有关
，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列．
思考题
三张卡片的正反面分别写着数字
2
和
3
，
4
和
5
，
7
和
8
，若将这三张卡片的正面或反面并列组成一个三位数，可以得到多少个不同的三位数？
