【数学】2020一轮复习北师大版（理）35　综合法、分析法、反证法作业 6页

课时规范练35　综合法、分析法、反证法 ‎　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 基础巩固组 ‎1.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”过程应用了(　　)‎ A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法 ‎2.(2018吉林梅河口五中三模,5)给出下列两个论断:‎ ‎①已知:p3+q3=2,求证:p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q>2.‎ ‎②设a为实数,f(x)=x2+ax+a,求证:|f(1)|与|f(2)|至少有一个不小于‎1‎‎2‎.用反证法证明时可假设|f(1)|≥‎1‎‎2‎且|f(2)|≥‎1‎‎2‎.‎ 以下说法正确的是(　　)‎ A.①与②的假设都错误 B.①与②的假设都正确 C.①的假设正确,②的假设错误 D.①的假设错误,②的假设正确 ‎3.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明(　　)‎ A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-a‎4‎‎+‎b‎4‎‎2‎≤0‎ C.‎(a+b‎)‎‎2‎‎2‎-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0‎ ‎4.设a=‎3‎‎-‎‎2‎,b=‎6‎‎-‎‎5‎,c=‎7‎‎-‎‎6‎,则a,b,c的大小顺序是(　　)‎ A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b ‎5.若a>b>0,且x=a+‎1‎b,y=b+‎1‎a,则(　　)‎ A.x>y B.x0,则f(x1)+f(x2)的值(　　)‎ A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 ‎8.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不同的x1,x2∈[0,1],当|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|时,求证:|f(x1)-f(x2)|<‎1‎‎2‎.那么他的反设应该是 ‎ ‎　. ‎ ‎9.分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明‎1+x<1+x‎2‎时,索的因是　　　　　. ‎ ‎10.已知正数a,b,c满足a+b+c=1,求证:a‎+b+c≤‎‎3‎.‎ 综合提升组 ‎11.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则(　　)‎ A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形 D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形 ‎12.已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2∈R,均有f(x‎1‎)+f(x‎2‎)‎‎2‎≥fx‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎.‎ ‎13.(2018四川南充模拟,17)已知数列{an}中,a1=1,其前n项和为Sn,且满足an=‎2‎Sn‎2‎‎2Sn-1‎(n≥2).‎ ‎(1)求证:数列‎1‎Sn是等差数列;‎ ‎(2)证明:当n≥2时,S1+‎1‎‎2‎S2+‎1‎‎3‎S3+…+‎1‎nSn<‎3‎‎2‎.‎ 创新应用组 ‎14.(2018河南郑州一中月考,18)若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a-2),使函数h(x)=‎1‎x+2‎是区间[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.‎ 参考答案 课时规范练35　综合法、分析法、反证法 ‎1.B　因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论.故选B.‎ ‎2.C　①用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定,所以p+q≤2的假命题应为p+q>2,故①的假设正确;②|f(1)|与|f(2)|至少有一个不小于‎1‎‎2‎的否定为|f(1)|与|f(2)|都小于‎1‎‎2‎,故②的假设错误.故选C.‎ ‎3.D　在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.‎ ‎4.A　因为a=‎3‎-‎2‎=‎1‎‎3‎‎+‎‎2‎,b=‎6‎-‎5‎=‎1‎‎6‎‎+‎‎5‎,‎ c=‎7‎-‎6‎=‎1‎‎7‎‎+‎‎6‎,且‎7‎+‎6‎>‎6‎+‎5‎>‎3‎+‎2‎>0,所以a>b>c.故选A.‎ ‎5.A　因为a+‎1‎b-b+‎1‎a=(a-b)1+‎1‎ab>0.所以a+‎1‎b>b+‎1‎a.故选A.‎ ‎6.D　因为a>0,b>0,c>0,‎ 所以a+‎1‎b+b+‎1‎c+c+‎1‎a=a+‎1‎a+b+‎1‎b+c+‎1‎c≥6,当且仅当a=b=c时,等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.‎ ‎7.A　由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)递减,可知f(x)是R上的减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)0　因为x>0,所以要证‎1+x<1+x‎2‎,只需证(‎1+x)2<1+x‎2‎2,即证00,因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立.‎ ‎10.证明 欲证a+b+c≤‎3‎,则只需证(a+b+c)2≤3,‎ 即证a+b+c+2(ab+bc+ac)≤3,‎ 即证ab+bc+ac≤1.‎ 又ab+bc+ac≤a+b‎2‎+b+c‎2‎+a+c‎2‎=1,‎ ‎∴原不等式a+b+c≤‎3‎成立.‎ ‎11.D　由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不可能是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形.‎ 由sin A‎2‎=cos A‎1‎=sin(π‎2‎-A‎1‎),‎sin B‎2‎=cos B‎1‎=sin(π‎2‎-B‎1‎),‎sin C‎2‎=cos C‎1‎=sin(π‎2‎-C‎1‎),‎ 得A‎2‎‎=π‎2‎-A‎1‎,‎B‎2‎‎=π‎2‎-B‎1‎,‎C‎2‎‎=π‎2‎-C‎1‎,‎ 则A2+B2+C2=π‎2‎,‎ 这与三角形内角和为π相矛盾.‎ 因此假设不成立,‎ 故△A2B2C2是钝角三角形.‎ ‎12.证明 要证f(x‎1‎)+f(x‎2‎)‎‎2‎≥fx‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎,‎ 即证‎(‎3‎x‎1‎-2x‎1‎)+(‎3‎x‎2‎-2x‎2‎)‎‎2‎≥‎3‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎-2·x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎,‎ 因此只要证‎3‎x‎1‎‎+‎‎3‎x‎2‎‎2‎-(x1+x2)≥‎3‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎-(x1+x2),‎ 即证‎3‎x‎1‎‎+‎‎3‎x‎2‎‎2‎≥‎3‎x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎,‎ 因此只要证‎3‎x‎1‎‎+‎‎3‎x‎2‎‎2‎≥‎3‎x‎1‎‎·‎‎3‎x‎2‎,‎ 由于x1,x2∈R时,‎3‎x‎1‎>0,‎3‎x‎2‎>0,‎ 因此由基本不等式知‎3‎x‎1‎‎+‎‎3‎x‎2‎‎2‎≥‎3‎x‎1‎‎·‎‎3‎x‎2‎显然成立,‎ 故原结论成立.‎ ‎13.证明 (1)当n≥2时,Sn-Sn-1=‎2‎Sn‎2‎‎2Sn-1‎,Sn-1-Sn=2SnSn-1,‎ ‎1‎Sn‎-‎1‎Sn-1‎=2,从而‎1‎Sn构成以1为首项,2为公差的等差数列.‎ ‎(2)由(1)可知,‎1‎Sn=‎1‎S‎1‎+(n-1)×2=2n-1,‎ ‎∴Sn=‎1‎‎2n-1‎,‎ ‎∴当n≥2时,‎1‎nSn=‎1‎n(2n-1)‎<‎1‎n(2n-2)‎=‎1‎‎2‎·‎1‎n(n-1)‎=‎1‎‎2‎‎1‎n-1‎-‎1‎n,‎ 从而S1+‎1‎‎2‎S2+‎1‎‎3‎S3+…+‎1‎nSn<1+‎1‎‎2‎1-‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎+…+‎1‎n-1‎-‎1‎n<‎3‎‎2‎-‎1‎‎2n<‎3‎‎2‎.‎ ‎14.解 (1)由题设得g(x)=‎1‎‎2‎(x-1)2+1,其图像的对称轴为x=1,区间[1,b]在对称轴的右边,所以函数在区间[1,b]上单调递增.‎ 由“四维光军”函数的定义可知,g(1)=1,g(b)=b,‎ 则‎1‎‎2‎b2-b+‎3‎‎2‎=b,解得b=1或b=3.‎ 因为b>1,所以b=3.‎ ‎(2)假设函数h(x)=‎1‎x+2‎在区间[a,b](a>-2)上是“四维光军”函数,‎ 因为h(x)=‎1‎x+2‎在区间(-2,+∞)上单调递减,‎ 所以有h(a)=b,‎h(b)=a,‎即‎1‎a+2‎‎=b,‎‎1‎b+2‎‎=a.‎ 解得a=b,这与已知矛盾.‎ 故不存在常数a,b,使函数h(x)=‎1‎x+2‎是区间[a,b]上的“四维光军”函数.‎